Номер 11, страница 68 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 11, страница 68.

Условие.

11. Разложите на множители ($n$ – натуральное число):

1) $7^{2n} + 7^n = 7^n($ + $)$;

2) $125^n - 3 \cdot 25^n + 6 \cdot 5^{n+1} = (5^3)^n - $

3) $a^{2n+1}b^{n+4} - a^{2n-1}b^{n+2} = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $7^{2n} + 7^n$

Для разложения на множители необходимо найти общий множитель и вынести его за скобки. Воспользуемся свойством степеней $a^{m \cdot k} = (a^m)^k$. Представим $7^{2n}$ как $(7^n)^2$.

$7^{2n} + 7^n = (7^n)^2 + 7^n$

Общим множителем является $7^n$. Вынесем его за скобки:

$(7^n)^2 + 7^n = 7^n \cdot (7^n + 1)$

Ответ: $7^n(7^n + 1)$

2) $125^n - 3 \cdot 25^n + 6 \cdot 5^n + 1$

Данное выражение, скорее всего, содержит опечатку, так как в этом виде оно не раскладывается на множители стандартными школьными методами. Вероятно, имелось в виду выражение, которое сворачивается по формуле куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$. Наиболее близкое по виду выражение — это $125^n - 3 \cdot 25^n + 3 \cdot 5^n - 1$. Решим задачу для этого исправленного выражения.

Представим числа 125 и 25 в виде степеней числа 5: $125 = 5^3$, $25 = 5^2$.

$125^n - 3 \cdot 25^n + 3 \cdot 5^n - 1 = (5^3)^n - 3 \cdot (5^2)^n + 3 \cdot 5^n - 1$

Используя свойство степени $(a^m)^k = (a^k)^m$, перепишем выражение:

$(5^n)^3 - 3 \cdot (5^n)^2 + 3 \cdot 5^n - 1$

Это выражение соответствует формуле куба разности $(a-b)^3$ при $a = 5^n$ и $b=1$:

$(5^n)^3 - 3 \cdot (5^n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5^n \cdot 1^2 - 1^3 = (5^n - 1)^3$

Ответ: $(5^n - 1)^3$ (в предположении, что в условии опечатка и оно должно выглядеть как $125^n - 3 \cdot 25^n + 3 \cdot 5^n - 1$)

3) $a^{2n+1}b^{n+4} - a^{2n-1}b^{n+2}$

Для разложения на множители найдем общий множитель, выбрав для каждого основания ($a$ и $b$) наименьшую из имеющихся степеней, и вынесем его за скобки.

Для основания $a$ степени равны $2n+1$ и $2n-1$. Наименьшая степень: $2n-1$.

Для основания $b$ степени равны $n+4$ и $n+2$. Наименьшая степень: $n+2$.

Общий множитель выражения: $a^{2n-1}b^{n+2}$. Вынесем его за скобки, используя правило деления степеней $a^m/a^k = a^{m-k}$:

$a^{2n+1}b^{n+4} - a^{2n-1}b^{n+2} = a^{2n-1}b^{n+2} \cdot (a^{(2n+1)-(2n-1)}b^{(n+4)-(n+2)} - 1)$

Упростим показатели степеней в скобках:

$a^{2n-1}b^{n+2} \cdot (a^2b^2 - 1)$

Выражение в скобках $a^2b^2 - 1$ является разностью квадратов. Применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x=ab$ и $y=1$:

$a^2b^2 - 1 = (ab)^2 - 1^2 = (ab - 1)(ab + 1)$

Окончательный вид разложения:

$a^{2n-1}b^{n+2}(ab - 1)(ab + 1)$

Ответ: $a^{2n-1}b^{n+2}(ab - 1)(ab + 1)$