Номер 8, страница 67 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 12. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки - номер 8, страница 67.

Условие.

8. Докажите, что значение выражения:

1) $11^4 + 11^3$ делится нацело на 12;

2) $8^6 - 2^{14}$ делится нацело на 15;

3) $7^{1017} - 5 \cdot 7^{1016} + 3 \cdot 7^{1015}$ делится нацело на 17;

4) $24^4 - 8^5$ делится нацело на 73.

Решение.

1) $11^4 + 11^3 = 11^3($ + $)$

2) $8^6 - 2^{14} = (2^3)^6 - 2^{14}=$

3) $7^{1017} - 5 \cdot 7^{1016} + 3 \cdot 7^{1015}=$

4) $24^4 - 8^5 = (8 \cdot 3)^4 - 8^5=$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $11^4 + 11^3$ делится нацело на 12, необходимо преобразовать его. Для этого вынесем общий множитель $11^3$ за скобки:

$11^4 + 11^3 = 11^3 \cdot 11^1 + 11^3 \cdot 1 = 11^3(11 + 1) = 11^3 \cdot 12$

В результате мы получили произведение, в котором один из множителей равен 12. Следовательно, все выражение делится на 12 без остатка, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $8^6 - 2^{14}$ делится нацело на 15, приведем степени к общему основанию. Заметим, что $8 = 2^3$. Тогда выражение можно переписать так:

$8^6 - 2^{14} = (2^3)^6 - 2^{14} = 2^{3 \cdot 6} - 2^{14} = 2^{18} - 2^{14}$

Теперь вынесем за скобки общий множитель в наименьшей степени, то есть $2^{14}$:

$2^{14}(2^{18-14} - 1) = 2^{14}(2^4 - 1)$

Вычислим значение выражения в скобках: $2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.

Таким образом, исходное выражение равно $2^{14} \cdot 15$. Так как один из множителей равен 15, все выражение делится на 15 нацело.

Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что значение выражения $7^{1017} - 5 \cdot 7^{1016} + 3 \cdot 7^{1015}$ делится нацело на 17, вынесем за скобки общий множитель в наименьшей степени, то есть $7^{1015}$:

$7^{1015}(7^{1017-1015} - 5 \cdot 7^{1016-1015} + 3) = 7^{1015}(7^2 - 5 \cdot 7^1 + 3)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$49 - 5 \cdot 7 + 3 = 49 - 35 + 3 = 14 + 3 = 17$

Получаем, что исходное выражение равно $7^{1015} \cdot 17$. Так как один из множителей равен 17, все выражение делится на 17 нацело.

Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что значение выражения $24^4 - 8^5$ делится нацело на 73, преобразуем его, представив 24 как $3 \cdot 8$:

$24^4 - 8^5 = (3 \cdot 8)^4 - 8^5 = 3^4 \cdot 8^4 - 8^5$

Вынесем за скобки общий множитель $8^4$:

$8^4(3^4 - 8^1) = 8^4(3^4 - 8)$

Вычислим значение выражения в скобках: $3^4 - 8 = 81 - 8 = 73$.

В результате исходное выражение равно $8^4 \cdot 73$. Так как один из множителей равен 73, все выражение делится на 73 нацело.

Ответ: Доказано.