Номер 5, страница 58 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 11. Умножение многочлена на многочлен - номер 5, страница 58.

Условие.

5. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $-3a^2(a - 3)(a + 2) = -3a^2(a^2 + 2a - 3a - 6) = -3a^2(a^2 - a - 6) = $

2) $4m(m^2 - 6)(m^2 + 8) = $

3) $(a + 1)(a - 2)(a + 9) = (a + 1)((a - 2)(a + 9)) = (a + 1)(a^2 + 9a - 2a - 18) = $

4) $(2x - 5y)(x + 6y)(3x - y) = $

5) $(x^2 + x - 1)(x^2 - 3x + 7) = $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $-3a^2(a-3)(a+2)$
Сначала перемножим выражения в скобках $(a-3)$ и $(a+2)$, следуя примеру в задании:
$(a-3)(a+2) = a \cdot a + a \cdot 2 - 3 \cdot a - 3 \cdot 2 = a^2 + 2a - 3a - 6 = a^2 - a - 6$.
Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $-3a^2$:
$-3a^2(a^2 - a - 6) = (-3a^2) \cdot a^2 + (-3a^2) \cdot (-a) + (-3a^2) \cdot (-6) = -3a^4 + 3a^3 + 18a^2$.
Ответ: $-3a^4 + 3a^3 + 18a^2$.

2) $4m(m^2 - 6)(m^2 + 8)$
Сначала перемножим выражения в скобках $(m^2 - 6)$ и $(m^2 + 8)$:
$(m^2 - 6)(m^2 + 8) = m^2 \cdot m^2 + m^2 \cdot 8 - 6 \cdot m^2 - 6 \cdot 8 = m^4 + 8m^2 - 6m^2 - 48 = m^4 + 2m^2 - 48$.
Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $4m$:
$4m(m^4 + 2m^2 - 48) = 4m \cdot m^4 + 4m \cdot 2m^2 + 4m \cdot (-48) = 4m^5 + 8m^3 - 192m$.
Ответ: $4m^5 + 8m^3 - 192m$.

3) $(a+1)(a-2)(a+9)$
Перемножим две последние скобки $(a-2)$ и $(a+9)$, как показано в задании:
$(a-2)(a+9) = a \cdot a + a \cdot 9 - 2 \cdot a - 2 \cdot 9 = a^2 + 9a - 2a - 18 = a^2 + 7a - 18$.
Теперь умножим результат на первую скобку $(a+1)$:
$(a+1)(a^2 + 7a - 18) = a \cdot (a^2 + 7a - 18) + 1 \cdot (a^2 + 7a - 18) = a^3 + 7a^2 - 18a + a^2 + 7a - 18$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (7a^2 + a^2) + (-18a + 7a) - 18 = a^3 + 8a^2 - 11a - 18$.
Ответ: $a^3 + 8a^2 - 11a - 18$.

4) $(2x - 5y)(x + 6y)(3x - y)$
Сначала перемножим первые два двучлена $(2x - 5y)$ и $(x + 6y)$:
$(2x - 5y)(x + 6y) = 2x \cdot x + 2x \cdot 6y - 5y \cdot x - 5y \cdot 6y = 2x^2 + 12xy - 5xy - 30y^2 = 2x^2 + 7xy - 30y^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на третий двучлен $(3x - y)$:
$(2x^2 + 7xy - 30y^2)(3x - y) = 3x(2x^2 + 7xy - 30y^2) - y(2x^2 + 7xy - 30y^2) = (6x^3 + 21x^2y - 90xy^2) - (2x^2y + 7xy^2 - 30y^3)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6x^3 + 21x^2y - 90xy^2 - 2x^2y - 7xy^2 + 30y^3 = 6x^3 + (21-2)x^2y + (-90-7)xy^2 + 30y^3 = 6x^3 + 19x^2y - 97xy^2 + 30y^3$.
Ответ: $6x^3 + 19x^2y - 97xy^2 + 30y^3$.

5) $(x^2 + x - 1)(x^2 - 3x + 7)$
Перемножим два трехчлена, умножая каждый член первого на каждый член второго:
$x^2(x^2 - 3x + 7) + x(x^2 - 3x + 7) - 1(x^2 - 3x + 7) = (x^4 - 3x^3 + 7x^2) + (x^3 - 3x^2 + 7x) - (x^2 - 3x + 7)$.
Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:
$x^4 - 3x^3 + 7x^2 + x^3 - 3x^2 + 7x - x^2 + 3x - 7 = x^4 + (-3x^3 + x^3) + (7x^2 - 3x^2 - x^2) + (7x + 3x) - 7$.
Приведем подобные слагаемые, чтобы получить окончательный многочлен:
$x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 10x - 7$.
Ответ: $x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 10x - 7$.