Страница 59 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Найдите четыре последовательных целых числа таких, что произведение второго и четвёртого из них на 9 больше произведения первого и третьего.

Для решения задачи обозначим четыре последовательных целых числа через переменную. Пусть наименьшее из этих чисел равно $n$. Тогда четыре последовательных целых числа можно записать как $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$.

В задаче указано, что произведение второго и четвёртого из этих чисел на 9 больше произведения первого и третьего. Запишем это условие в виде математического уравнения:

Произведение второго ($n+1$) и четвёртого ($n+3$) чисел: $(n+1)(n+3)$.

Произведение первого ($n$) и третьего ($n+2$) чисел: $n(n+2)$.

Согласно условию, первое произведение на 9 больше второго, что можно записать как:

$(n+1)(n+3) = n(n+2) + 9$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала раскроем скобки в левой и правой частях:

$n^2 + 3n + n + 3 = n^2 + 2n + 9$

Приведём подобные слагаемые:

$n^2 + 4n + 3 = n^2 + 2n + 9$

Вычтем $n^2$ из обеих частей уравнения:

$4n + 3 = 2n + 9$

Перенесём слагаемые с $n$ в левую часть уравнения, а постоянные слагаемые — в правую:

$4n - 2n = 9 - 3$

$2n = 6$

Найдём $n$, разделив обе части на 2:

$n = \frac{6}{2}$

$n = 3$

Итак, первое число равно 3. Теперь найдём остальные три числа:

• Первое число: $n = 3$
• Второе число: $n+1 = 3+1 = 4$
• Третье число: $n+2 = 3+2 = 5$
• Четвёртое число: $n+3 = 3+3 = 6$

Искомые числа: 3, 4, 5, 6.

Выполним проверку. Найдём произведение второго и четвёртого чисел: $4 \times 6 = 24$.

Найдём произведение первого и третьего чисел: $3 \times 5 = 15$.

Сравним полученные произведения: $24 - 15 = 9$.

Результат проверки подтверждает, что произведение второго и четвёртого чисел на 9 больше произведения первого и третьего. Решение верно.

Ответ: 3, 4, 5, 6.

8. Если одну сторону квадрата увеличить на 5 см, а соседнюю с ней сторону уменьшить на 9 см, то получим прямоугольник, площадь которого на 85 $см^2$ меньше площади данного квадрата. Найдите сторону квадрата.

Решение.

Пусть сторона квадрата $x$ см. Тогда его площадь равна $см^2$,

стороны прямоугольника равны см и см, а его

площадь — $см^2$.

Решение.

Пусть сторона исходного квадрата равна $x$ см. Тогда его площадь составляет $x^2$ см².

Согласно условию, одну сторону квадрата увеличили на 5 см, а соседнюю уменьшили на 9 см. Таким образом, получился прямоугольник со сторонами $(x+5)$ см и $(x-9)$ см. Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон: $(x+5)(x-9)$ см².

Известно, что площадь прямоугольника на 85 см² меньше площади квадрата. На основании этого составим и решим уравнение:

$x^2 - (x+5)(x-9) = 85$

Раскроем скобки в левой части уравнения, помня о знаке минус перед ними:

$x^2 - (x^2 + 5x - 9x - 45) = 85$

$x^2 - (x^2 - 4x - 45) = 85$

$x^2 - x^2 + 4x + 45 = 85$

Приведем подобные слагаемые:

$4x + 45 = 85$

Перенесем число 45 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$4x = 85 - 45$

$4x = 40$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{40}{4}$

$x = 10$

За $x$ мы принимали длину стороны квадрата. Длина стороны должна быть положительной величиной, что выполняется ($10 > 0$). Также должна быть положительной и сторона прямоугольника $(x-9)$: $10 - 9 = 1$ см. Это условие также выполняется. Следовательно, сторона квадрата равна 10 см.

Ответ: 10 см.

4. Решите методом сложения систему уравнений:

1) ${ \begin{cases} x - 5y = 2, \\ 4x + 15y = 78; \end{cases} }$

Решение.

Умножив обе части первого

уравнения на число $3,$

получим систему уравнений:

Ответ:

2) ${ \begin{cases} 6x + 3y = 9, \\ 2x + 5y = 7; \end{cases} }$

Решение.

Разделив обе части первого

уравнения на число $-3,$

получим систему уравнений:

Ответ:

3) ${ \begin{cases} 3x - 4y = 18, \\ 5x + 2y = 4; \end{cases} }$

Решение.

Ответ:

4) ${ \begin{cases} 7x + 2y = 22, \\ 35x - 9y = 34; \end{cases} }$

Решение.

Ответ:

5) ${ \begin{cases} 5x + 4y = 11, \\ 2x - 3y = 9; \end{cases} }$

Решение.

Умножив обе части первого

уравнения на $3,$ а обе

части второго — на $4,$

получим систему уравнений:

6) ${ \begin{cases} 8x + 9y = -7, \\ 7x + 2y = -12. \end{cases} }$

Решение.

1)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 5y = 2 \\ 4x + 15y = 78 \end{cases} $

Для решения методом сложения необходимо, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположными числами. Умножим обе части первого уравнения на 3, чтобы коэффициент при y стал -15, что является противоположным числу 15 во втором уравнении.

$3 \cdot (x - 5y) = 3 \cdot 2$
$3x - 15y = 6$

Теперь система выглядит так: $ \begin{cases} 3x - 15y = 6 \\ 4x + 15y = 78 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(3x - 15y) + (4x + 15y) = 6 + 78$
$7x = 84$
$x = \frac{84}{7}$
$x = 12$

Подставим найденное значение $x=12$ в первое исходное уравнение, чтобы найти y:
$12 - 5y = 2$
$-5y = 2 - 12$
$-5y = -10$
$y = \frac{-10}{-5}$
$y = 2$

Ответ: $(12; 2)$

2)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 6x + 3y = 9 \\ 2x + 5y = 7 \end{cases} $

Чтобы использовать метод сложения, преобразуем первое уравнение. Разделим обе части первого уравнения на -3, чтобы коэффициент при x стал -2.

$\frac{6x + 3y}{-3} = \frac{9}{-3}$
$-2x - y = -3$

Получим новую систему: $ \begin{cases} -2x - y = -3 \\ 2x + 5y = 7 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(-2x - y) + (2x + 5y) = -3 + 7$
$4y = 4$
$y = 1$

Подставим найденное значение $y=1$ во второе исходное уравнение:
$2x + 5(1) = 7$
$2x + 5 = 7$
$2x = 2$
$x = 1$

Ответ: $(1; 1)$

3)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 4y = 18 \\ 5x + 2y = 4 \end{cases} $

Умножим обе части второго уравнения на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами (-4 и 4).

$2 \cdot (5x + 2y) = 2 \cdot 4$
$10x + 4y = 8$

Получим новую систему: $ \begin{cases} 3x - 4y = 18 \\ 10x + 4y = 8 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(3x - 4y) + (10x + 4y) = 18 + 8$
$13x = 26$
$x = 2$

Подставим значение $x=2$ во второе исходное уравнение:
$5(2) + 2y = 4$
$10 + 2y = 4$
$2y = -6$
$y = -3$

Ответ: $(2; -3)$

4)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x + 2y = 22 \\ 35x - 9y = 34 \end{cases} $

Умножим обе части первого уравнения на -5, чтобы коэффициенты при x стали противоположными ( -35 и 35).

$-5 \cdot (7x + 2y) = -5 \cdot 22$
$-35x - 10y = -110$

Получим новую систему: $ \begin{cases} -35x - 10y = -110 \\ 35x - 9y = 34 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(-35x - 10y) + (35x - 9y) = -110 + 34$
$-19y = -76$
$y = 4$

Подставим значение $y=4$ в первое исходное уравнение:
$7x + 2(4) = 22$
$7x + 8 = 22$
$7x = 14$
$x = 2$

Ответ: $(2; 4)$

5)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 5x + 4y = 11 \\ 2x - 3y = 9 \end{cases} $

Чтобы уравнять коэффициенты при y, умножим первое уравнение на 3, а второе — на 4.

$3 \cdot (5x + 4y) = 3 \cdot 11 \implies 15x + 12y = 33$
$4 \cdot (2x - 3y) = 4 \cdot 9 \implies 8x - 12y = 36$

Получим новую систему: $ \begin{cases} 15x + 12y = 33 \\ 8x - 12y = 36 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(15x + 12y) + (8x - 12y) = 33 + 36$
$23x = 69$
$x = 3$

Подставим значение $x=3$ в первое исходное уравнение:
$5(3) + 4y = 11$
$15 + 4y = 11$
$4y = -4$
$y = -1$

Ответ: $(3; -1)$

6)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 8x + 9y = -7 \\ 7x + 2y = -12 \end{cases} $

Чтобы уравнять коэффициенты при y, умножим первое уравнение на 2, а второе — на -9.

$2 \cdot (8x + 9y) = 2 \cdot (-7) \implies 16x + 18y = -14$
$-9 \cdot (7x + 2y) = -9 \cdot (-12) \implies -63x - 18y = 108$

Получим новую систему: $ \begin{cases} 16x + 18y = -14 \\ -63x - 18y = 108 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:
$(16x + 18y) + (-63x - 18y) = -14 + 108$
$-47x = 94$
$x = -2$

Подставим значение $x=-2$ во второе исходное уравнение:
$7(-2) + 2y = -12$
$-14 + 2y = -12$
$2y = 2$
$y = 1$

Ответ: $(-2; 1)$