Страница 63 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Заполните пропуски так, чтобы образовалось тождество:

1) $4a - 12b = 4(\_ - \_)$;

2) $7m + 3mn = m(\_ + \_)$;

3) $x^3 - 2x^2y = x^2 (\_ - \_)$;

4) $a^7 + a^4 = a^4 (\_ + \_)$;

5) $27a^2b + 18ab^2 = \_ (3a + 2b)$;

6) $-m^3 - mnp = \_ (m^2 + \_)$;

7) $6x^2 + 12x^4 - 18x^5 = \_ (\_ + \_ - 3x^3)$;

8) $x^5y - x^4y^3 + x^3y^2 = \_ (\_ - xy^2 + \_)$.

1) Чтобы заполнить пропуски в выражении $4a - 12b = 4(\_\_\_ - \_\_\_)$, необходимо вынести общий множитель $4$ за скобки. Для этого каждый член многочлена $4a - 12b$ нужно разделить на этот множитель.
Делим первый член на $4$: $\frac{4a}{4} = a$.
Делим второй член на $4$: $\frac{-12b}{4} = -3b$.
Таким образом, в скобках получаем выражение $a - 3b$.
Ответ: $4a - 12b = 4(a - 3b)$.

2) В выражении $7m + 3mn = m(\_\_\_ + \_\_\_)$ за скобки вынесен общий множитель $m$. Чтобы найти члены в скобках, разделим каждый член исходного выражения на $m$.
Делим первый член на $m$: $\frac{7m}{m} = 7$.
Делим второй член на $m$: $\frac{3mn}{m} = 3n$.
В скобках получаем $7 + 3n$.
Ответ: $7m + 3mn = m(7 + 3n)$.

3) В выражении $x^3 - 2x^2y = x^2(\_\_\_ - \_\_\_)$ за скобки вынесен общий множитель $x^2$. Разделим каждый член исходного выражения на $x^2$.
Делим первый член на $x^2$: $\frac{x^3}{x^2} = x^{3-2} = x$.
Делим второй член на $x^2$: $\frac{-2x^2y}{x^2} = -2y$.
В скобках получаем $x - 2y$.
Ответ: $x^3 - 2x^2y = x^2(x - 2y)$.

4) В выражении $a^7 + a^4 = a^4(\_\_\_ + \_\_\_)$ за скобки вынесен общий множитель $a^4$. Разделим каждый член исходного выражения на $a^4$.
Делим первый член на $a^4$: $\frac{a^7}{a^4} = a^{7-4} = a^3$.
Делим второй член на $a^4$: $\frac{a^4}{a^4} = a^{4-4} = a^0 = 1$.
В скобках получаем $a^3 + 1$.
Ответ: $a^7 + a^4 = a^4(a^3 + 1)$.

5) В тождестве $27a^2b + 18ab^2 = \_\_\_(3a + 2b)$ нужно найти множитель, вынесенный за скобки. Для этого можно разделить любой из членов исходного выражения на соответствующий член в скобках.
Разделим первый член $27a^2b$ на $3a$: $\frac{27a^2b}{3a} = 9ab$.
Для проверки разделим второй член $18ab^2$ на $2b$: $\frac{18ab^2}{2b} = 9ab$.
Общий множитель, который был вынесен за скобки, равен $9ab$.
Ответ: $27a^2b + 18ab^2 = 9ab(3a + 2b)$.

6) В тождестве $-m^3 - mnp = \_\_\_(m^2 + \_\_\_)$ нужно найти множитель за скобками и второй член в скобках.
Сначала найдем множитель, который вынесли за скобки. Разделим первый член исходного выражения $-m^3$ на первый член в скобках $m^2$: $\frac{-m^3}{m^2} = -m$. Это и есть множитель.
Теперь найдем второй член в скобках, разделив второй член исходного выражения $-mnp$ на найденный множитель $-m$: $\frac{-mnp}{-m} = np$.
Ответ: $-m^3 - mnp = -m(m^2 + np)$.

7) В тождестве $6x^2 + 12x^4 - 18x^5 = \_\_\_(\_\_\_ + \_\_\_ - 3x^3)$ необходимо найти множитель за скобками и два первых члена в скобках.
Найдем общий множитель, разделив третий член исходного выражения $-18x^5$ на третий член в скобках $-3x^3$: $\frac{-18x^5}{-3x^3} = 6x^2$.
Теперь найдем недостающие члены в скобках, разделив соответствующие члены исходного выражения на $6x^2$.
Первый член: $\frac{6x^2}{6x^2} = 1$.
Второй член: $\frac{12x^4}{6x^2} = 2x^2$.
Ответ: $6x^2 + 12x^4 - 18x^5 = 6x^2(1 + 2x^2 - 3x^3)$.

8) В тождестве $x^5y - x^4y^3 + x^3y^2 = \_\_\_(\_\_\_ - xy^2 + \_\_\_)$ нужно найти множитель за скобками и первый и третий члены в скобках.
Найдем общий множитель, разделив второй член исходного выражения $-x^4y^3$ на второй член в скобках $-xy^2$: $\frac{-x^4y^3}{-xy^2} = x^{4-1}y^{3-2} = x^3y$.
Теперь найдем недостающие члены в скобках, разделив соответствующие члены исходного выражения на $x^3y$.
Первый член: $\frac{x^5y}{x^3y} = x^{5-3}y^{1-1} = x^2$.
Третий член: $\frac{x^3y^2}{x^3y} = x^{3-3}y^{2-1} = y$.
Ответ: $x^5y - x^4y^3 + x^3y^2 = x^3y(x^2 - xy^2 + y)$.

2. Вычислите значение выражения, предварительно разложив его на множители:

1) $5,18x - x^2$, если $x = 3,18$;

Решение.

$5,18x - x^2 = x(\text{—}) = 3,18(\text{—}) =$

2) $a^4b^3 + a^3b^4$, если $a = -2, b = 3.$

1) Сначала разложим выражение $5,18x - x^2$ на множители. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$5,18x - x^2 = x(5,18 - x)$
Теперь подставим в полученное выражение значение $x = 3,18$:
$3,18 \cdot (5,18 - 3,18)$
Выполним вычисление в скобках:
$5,18 - 3,18 = 2$
Теперь умножим полученные значения:
$3,18 \cdot 2 = 6,36$
Ответ: 6,36

2) Сначала разложим выражение $a^4b^3 + a^3b^4$ на множители. Для этого вынесем за скобки общий множитель $a^3b^3$:
$a^4b^3 + a^3b^4 = a^3b^3(a + b)$
Теперь подставим в полученное выражение значения $a = -2$ и $b = 3$:
$(-2)^3 \cdot 3^3 \cdot (-2 + 3)$
Вычислим значение каждого множителя:
$(-2)^3 = -8$
$3^3 = 27$
$(-2 + 3) = 1$
Теперь перемножим полученные результаты:
$-8 \cdot 27 \cdot 1 = -216$
Ответ: -216

7. При каких значениях a и b график уравнения $ax + by = 5$ проходит через точки A $(2; -1)$ и B $(-5; 5)$?

Решение.

Подставив в данное уравнение координаты точки А, получаем:

Подставив в данное уравнение координаты точки В, получаем:

Решим систему уравнений

Подставив в данное уравнение координаты точки А, получаем:

По условию, график уравнения $ax + by = 5$ проходит через точку А с координатами (2; -1). Это означает, что при подстановке $x = 2$ и $y = -1$ в уравнение, мы получим верное равенство.
Выполним подстановку:
$a \cdot 2 + b \cdot (-1) = 5$
$2a - b = 5$
Это первое уравнение для нахождения коэффициентов $a$ и $b$.

Ответ: $2a - b = 5$.

Подставив в данное уравнение координаты точки В, получаем:

Аналогично, график уравнения проходит через точку В с координатами (-5; 5). Подставим $x = -5$ и $y = 5$ в исходное уравнение:
$a \cdot (-5) + b \cdot 5 = 5$
$-5a + 5b = 5$
Чтобы упростить это уравнение, разделим обе его части на 5:
$\frac{-5a}{5} + \frac{5b}{5} = \frac{5}{5}$
$-a + b = 1$
Это второе уравнение для нахождения коэффициентов $a$ и $b$.

Ответ: $-a + b = 1$.

Решим систему уравнений:

Для нахождения значений $a$ и $b$ необходимо решить систему, состоящую из двух полученных уравнений:
$\begin{cases} 2a - b = 5 \\ -a + b = 1 \end{cases}$
Удобнее всего решить эту систему методом сложения, так как коэффициенты при переменной $b$ являются противоположными числами (-1 и 1). Сложим левые и правые части уравнений:
$(2a - b) + (-a + b) = 5 + 1$
$2a - a - b + b = 6$
$a = 6$
Теперь подставим найденное значение $a = 6$ в любое из уравнений системы, например, во второе: $-a + b = 1$.
$-6 + b = 1$
$b = 1 + 6$
$b = 7$
Таким образом, искомые значения коэффициентов: $a = 6$ и $b = 7$.

Ответ: $a = 6$, $b = 7$.

8. Запишите уравнение прямой $y = kx + b$, проходящей через точки $C (3; 1)$ и $D (-4; 2)$.

Решение.

Уравнение прямой имеет общий вид $y = kx + b$. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки C(3; 1) и D(-4; 2), необходимо определить значения коэффициентов $k$ (угловой коэффициент) и $b$ (свободный член). Поскольку обе точки принадлежат прямой, их координаты должны удовлетворять уравнению.

Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$ и получим систему из двух уравнений.

Для точки C(3; 1):
Подставляем $x = 3$ и $y = 1$:
$1 = k \cdot 3 + b$
$3k + b = 1$

Для точки D(-4; 2):
Подставляем $x = -4$ и $y = 2$:
$2 = k \cdot (-4) + b$
$-4k + b = 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} 3k + b = 1 \\ -4k + b = 2 \end{cases}$

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $b$ и найти $k$:
$(3k + b) - (-4k + b) = 1 - 2$
$3k + b + 4k - b = -1$
$7k = -1$
$k = -\frac{1}{7}$

Теперь, зная значение $k$, подставим его в первое уравнение ($3k + b = 1$), чтобы найти $b$:
$3 \cdot (-\frac{1}{7}) + b = 1$
$-\frac{3}{7} + b = 1$
$b = 1 + \frac{3}{7}$
$b = \frac{7}{7} + \frac{3}{7} = \frac{10}{7}$

Мы нашли коэффициенты: $k = -\frac{1}{7}$ и $b = \frac{10}{7}$. Подставив их в общее уравнение прямой $y = kx + b$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $y = -\frac{1}{7}x + \frac{10}{7}$