Страница 70 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

3. Представьте выражение в виде произведения многочленов:

1) $ab^2 - ac - bc + b^3 - b^2d + cd =$

2) $a^3 + b^3 + ab^2 + a^2c + a^2b + b^2c =$

3) $am^2 + bm^2 - cn - bn + cm^2 - an =$

4) $0,3x^2z + y^2 - 0,3xyz - xy + 5x - 5y =$

1) Для разложения на множители многочлена $ab^2 - ac - bc + b^3 - b^2d + cd$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые так, чтобы в каждой группе можно было вынести за скобки общий множитель, и в результате появился общий множитель для всех групп.
Сгруппируем слагаемые следующим образом: $(ab^2 - ac) + (b^3 - bc) + (-b^2d + cd)$.
Вынесем общие множители из каждой группы: $a(b^2 - c) + b(b^2 - c) - d(b^2 - c)$.
Теперь видно, что у всех трех слагаемых есть общий множитель $(b^2 - c)$. Вынесем его за скобки:
$(b^2 - c)(a + b - d)$.
Ответ: $(b^2 - c)(a + b - d)$.

2) Для разложения на множители выражения $a^3 + b^3 + ab^2 + a^2c + a^2b + b^2c$ используем метод группировки. Перегруппируем слагаемые многочлена:
$(a^3 + a^2b) + (b^3 + ab^2) + (a^2c + b^2c)$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой из групп:
$a^2(a + b) + b^2(b + a) + c(a^2 + b^2)$.
Сгруппируем первые два слагаемых, вынеся за скобки общий множитель $(a+b)$:
$(a^2 + b^2)(a + b) + c(a^2 + b^2)$.
Теперь у получившихся двух слагаемых есть общий множитель $(a^2 + b^2)$. Вынесем его за скобки:
$(a^2 + b^2)(a + b + c)$.
Ответ: $(a^2 + b^2)(a + b + c)$.

3) В выражении $am^2 + bm^2 - cn - bn + cm^2 - an$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые, содержащие $m^2$, и слагаемые, содержащие $n$:
$(am^2 + bm^2 + cm^2) + (-an - bn - cn)$.
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. Из первой группы выносим $m^2$, из второй $-n$:
$m^2(a + b + c) - n(a + b + c)$.
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a + b + c)$:
$(a + b + c)(m^2 - n)$.
Ответ: $(a + b + c)(m^2 - n)$.

4) Для разложения на множители выражения $0,3x^2z + y^2 - 0,3xyz - xy + 5x - 5y$ сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было выделить общий множитель. Удобно сгруппировать по парам:
$(0,3x^2z - 0,3xyz) + (y^2 - xy) + (5x - 5y)$.
Вынесем общие множители из каждой группы. Для второй группы вынесем $-y$, чтобы получить в скобках $(x - y)$:
$0,3xz(x - y) - y(x - y) + 5(x - y)$.
Теперь у всех слагаемых есть общий множитель $(x - y)$, который можно вынести за скобки:
$(x - y)(0,3xz - y + 5)$.
Ответ: $(x - y)(0,3xz - y + 5)$.

4. Запишите в пропуск такой одночлен, чтобы полученный многочлен можно было разложить на множители способом группировки, и выполните разложение на множители:

1) $7x + ay$ _______________ $+ 7y$ _______________ $=$ _______________

2) $ab - b - ac$ _______________ $=$ _______________

3) $a^5 - 5a^3 + 4a^2$ _______________ $=$ _______________

4) $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n$ _______________ $=$ _______________

В исходном выражении $7x + ay + 7y$ три слагаемых. Для разложения многочлена на множители способом группировки он должен состоять, как правило, из четырех слагаемых. Добавим такой одночлен, чтобы после группировки слагаемых можно было вынести общий множитель. Пусть недостающий член — это $ax$. Тогда выражение примет вид: $7x + ay + 7y + ax$.

Сгруппируем слагаемые: $(7x + 7y) + (ay + ax)$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $7(x + y) + a(y + x)$.

Так как $y+x = x+y$, теперь можно вынести общий множитель $(x+y)$: $(x+y)(7+a)$.

Можно было сгруппировать и по-другому: $(7x + ax) + (ay + 7y) = x(7+a) + y(a+7) = (x+y)(7+a)$. Результат тот же.

Ответ: Недостающий одночлен: $ax$. Разложение на множители: $7x + ay + 7y + ax = (x+y)(a+7)$.

В выражении $ab - b - ac$ три слагаемых. Чтобы сделать возможной группировку, добавим четвертый член. Исходя из имеющихся слагаемых, подходящим вариантом является одночлен $c$. Получим многочлен $ab - b - ac + c$.

Сгруппируем слагаемые: $(ab - b) + (-ac + c)$.

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $b$, а из второй $-c$: $b(a-1) - c(a-1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(a-1)$: $(a-1)(b-c)$.

Ответ: Недостающий одночлен: $c$. Разложение на множители: $ab - b - ac + c = (a-1)(b-c)$.

В выражении $a^5 - 5a^3 + 4a^2$ три слагаемых. Чтобы применить метод группировки, добавим четвертое слагаемое. Проанализируем первые два слагаемых: $a^5 - 5a^3 = a^3(a^2-5)$. Чтобы из оставшихся слагаемых $4a^2 + ...$ можно было вынести множитель $(a^2-5)$, нужно чтобы $4a^2 + ... = 4(a^2-5) = 4a^2 - 20$. Значит, недостающий одночлен — это $-20$.

Получим многочлен: $a^5 - 5a^3 + 4a^2 - 20$.

Выполним разложение, сгруппировав слагаемые: $(a^5 - 5a^3) + (4a^2 - 20)$.

Вынесем общие множители: $a^3(a^2 - 5) + 4(a^2 - 5)$.

Вынесем общий множитель $(a^2 - 5)$: $(a^2-5)(a^3+4)$.

Ответ: Недостающий одночлен: $-20$. Разложение на множители: $a^5 - 5a^3 + 4a^2 - 20 = (a^2-5)(a^3+4)$.

В выражении $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n$ три слагаемых. Для разложения методом группировки нужен четвертый член. Найдем его, исходя из возможности последующей группировки. Попробуем сгруппировать первый и третий члены, а второй с искомым четвертым $X$: $(4m^5 - 22m^3n) + (6m^2n^2 + X)$.

Из первой группы выносим общий множитель $2m^3$: $2m^3(2m^2 - 11n)$.

Чтобы разложение было успешным, из второй группы $(6m^2n^2 + X)$ должен выноситься такой множитель, чтобы в скобках осталось то же выражение $(2m^2 - 11n)$. Попробуем вынести $3n^2$ из второго слагаемого: $6m^2n^2 = 3n^2(2m^2)$. Это совпадает с первым членом в скобках. Тогда $X$ должен соответствовать второму члену: $X = 3n^2(-11n) = -33n^3$.

Итак, недостающий одночлен — это $-33n^3$.

Теперь выполним разложение многочлена $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n - 33n^3$. Перегруппируем слагаемые для удобства: $(4m^5 - 22m^3n) + (6m^2n^2 - 33n^3)$.

Вынесем общие множители: $2m^3(2m^2-11n) + 3n^2(2m^2-11n)$.

Вынесем общий множитель $(2m^2-11n)$: $(2m^2-11n)(2m^3+3n^2)$.

Ответ: Недостающий одночлен: $-33n^3$. Разложение на множители: $4m^5 + 6m^2n^2 - 22m^3n - 33n^3 = (2m^2-11n)(2m^3+3n^2)$.

5. Разложите на множители:

1) $x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + ax + bx + ab = $

2) $3ab + mn(a - 3b) - m^2n^2 = $

3) $m^2n^2 + mn(x - 5y) - 5xy = $

1) $x^2 + (a + b)x + ab = x^2 + ax + bx + ab$
Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(x^2 + ax) + (bx + ab)$
Теперь вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп. В первой группе общим множителем является $x$, а во второй — $b$:
$x(x + a) + b(x + a)$
Мы получили два слагаемых, у которых есть общий множитель — скобка $(x + a)$. Вынесем его за скобки:
$(x + a)(x + b)$
Ответ: $(x + a)(x + b)$

2) $3ab + mn(a - 3b) - m^2n^2$
Сначала раскроем скобки в выражении:
$3ab + mna - 3mnb - m^2n^2$
Теперь сгруппируем слагаемые. Удобнее всего сгруппировать первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:
$(3ab - 3mnb) + (mna - m^2n^2)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе. В первой группе это $3b$, во второй — $mn$:
$3b(a - mn) + mn(a - mn)$
Теперь у нас есть общий множитель $(a - mn)$, который мы выносим за скобки:
$(a - mn)(3b + mn)$
Ответ: $(a - mn)(3b + mn)$

3) $m^2n^2 + mn(x - 5y) - 5xy$
Раскроем скобки в среднем члене выражения:
$m^2n^2 + mnx - 5mny - 5xy$
Применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым:
$(m^2n^2 + mnx) + (-5mny - 5xy)$
Вынесем общие множители из каждой группы. В первой группе это $mn$, во второй — $-5y$:
$mn(mn + x) - 5y(mn + x)$
Вынесем общий множитель $(mn + x)$ за скобки:
$(mn + x)(mn - 5y)$
Ответ: $(mn + x)(mn - 5y)$

6. Разложите на множители выражение (n – натуральное число):

1) $2^{n+1} + 2^{n+3} - 3^n - 3^{n+2} = 2^n(\text{______}) - 3^n(\text{______}) = $

2) $a^{n+4} - 6a^n + a^4 - 6 = $

3) $ax^{2n-1} + 4x^{2n} - ab - 4bx = $

4) $15^n - 2 \cdot 5^n + 3^{n+1} - 6 = (5 \cdot 3)^n - \text{______}$

5) $x^{2n} - xy^{n+1} + x^{2n-1}y^2 - y^{n+3} = $

1) $2^{n+1} + 2^{n+3} - 3^n - 3^{n+2}$

Для разложения на множители сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями и вынесем общий множитель за скобки.

Сгруппируем первые два слагаемых и последние два слагаемых:

$(2^{n+1} + 2^{n+3}) - (3^n + 3^{n+2})$

Используя свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$, преобразуем выражение:

$(2^n \cdot 2^1 + 2^n \cdot 2^3) - (3^n \cdot 1 + 3^n \cdot 3^2)$

Вынесем общие множители $2^n$ и $3^n$ из каждой скобки:

$2^n(2 + 2^3) - 3^n(1 + 3^2)$

Вычислим значения в скобках:

$2^n(2 + 8) - 3^n(1 + 9) = 2^n \cdot 10 - 3^n \cdot 10$

Теперь вынесем общий множитель 10 за скобки:

$10(2^n - 3^n)$

Ответ: $10(2^n - 3^n)$

2) $a^{n+4} - 6a^n + a^4 - 6$

Для разложения на множители используем метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(a^{n+4} - 6a^n) + (a^4 - 6)$

Вынесем общий множитель $a^n$ из первой группы:

$a^n(a^4 - 6) + 1 \cdot (a^4 - 6)$

Теперь вынесем общий множитель $(a^4 - 6)$ за скобки:

$(a^4 - 6)(a^n + 1)$

Ответ: $(a^n + 1)(a^4 - 6)$

3) $ax^{2n-1} + 4x^{2n} - ab - 4bx$

Для разложения на множители используем метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(ax^{2n-1} + 4x^{2n}) - (ab + 4bx)$

Вынесем общий множитель из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^{2n-1}$ (учитывая, что $x^{2n} = x^{2n-1} \cdot x$), из второй группы вынесем $b$:

$x^{2n-1}(a + 4x) - b(a + 4x)$

Теперь вынесем общий множитель $(a + 4x)$ за скобки:

$(a + 4x)(x^{2n-1} - b)$

Ответ: $(a + 4x)(x^{2n-1} - b)$

4) $15^n - 2 \cdot 5^n + 3^{n+1} - 6$

Для разложения на множители преобразуем слагаемые и применим метод группировки.

Представим $15^n$ как $5^n \cdot 3^n$ и $3^{n+1}$ как $3 \cdot 3^n$. Выражение примет вид:

$5^n \cdot 3^n - 2 \cdot 5^n + 3 \cdot 3^n - 6$

Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(5^n \cdot 3^n - 2 \cdot 5^n) + (3 \cdot 3^n - 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $5^n$ из первой и $3$ из второй.

$5^n(3^n - 2) + 3(3^n - 2)$

Теперь вынесем общий множитель $(3^n - 2)$ за скобки:

$(3^n - 2)(5^n + 3)$

Ответ: $(5^n + 3)(3^n - 2)$

5) $x^{2n} - xy^{n+1} + x^{2n-1}y^2 - y^{n+3}$

Для разложения на множители используем метод группировки.

Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвертым:

$(x^{2n} + x^{2n-1}y^2) - (xy^{n+1} + y^{n+3})$

Вынесем общие множители из каждой группы. Из первой группы вынесем $x^{2n-1}$ (учитывая, что $x^{2n} = x^{2n-1} \cdot x$). Из второй группы вынесем $y^{n+1}$ (учитывая, что $y^{n+3} = y^{n+1} \cdot y^2$).

$x^{2n-1}(x + y^2) - y^{n+1}(x + y^2)$

Теперь вынесем общий множитель $(x + y^2)$ за скобки:

$(x + y^2)(x^{2n-1} - y^{n+1})$

Ответ: $(x + y^2)(x^{2n-1} - y^{n+1})$

4. Из двух пунктов, расстояние между которыми 78 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста, которые встретились через 3 ч после начала движения. Известно, что за 2,5 ч один велосипедист проезжает на 16 км больше, чем второй велосипедист за час. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Решение.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, а скорость вто-рого — $y$ км/ч. За 3 ч первый велосипедист проехал км, а второй — км.

Велосипедисты встретились, следовательно, вместе они проехали 78 км. Можем записать уравнение:

За 2,5 ч первый велосипедист проезжает км, что на 16 км больше, чем км. Можем записать уравнение:

Получили систему уравнений:

Решение.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч, а скорость второго — $y$ км/ч. Расстояние, которое проехал первый велосипедист за 3 часа, равно $3x$ км, а второй за то же время — $3y$ км.

Поскольку велосипедисты выехали одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 78 км, и встретились через 3 часа, то суммарное расстояние, которое они проехали, равно 78 км. На основании этого можно составить первое уравнение:

$3x + 3y = 78$

Известно, что за 2,5 часа один велосипедист проезжает на 16 км больше, чем второй за час. Согласно условию, будем считать, что это первый велосипедист. Расстояние, которое он проезжает за 2,5 часа, равно $2.5x$ км. Расстояние, которое второй велосипедист проезжает за 1 час, равно $y$ км. Составим второе уравнение:

$2.5x - y = 16$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} 3x + 3y = 78 \\ 2.5x - y = 16 \end{cases}$

Для удобства решения упростим первое уравнение, разделив обе его части на 3:

$x + y = 26$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x + y = 26 \\ 2.5x - y = 16 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 26 - x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2.5x - (26 - x) = 16$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$2.5x - 26 + x = 16$

$3.5x = 16 + 26$

$3.5x = 42$

$x = \frac{42}{3.5}$

$x = 12$

Итак, скорость первого велосипедиста составляет 12 км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста, подставив найденное значение $x$ в выражение $y = 26 - x$:

$y = 26 - 12$

$y = 14$

Следовательно, скорость второго велосипедиста составляет 14 км/ч.

Проверка:

1. Проверим, встретятся ли они через 3 часа: $3 \cdot 12 + 3 \cdot 14 = 36 + 42 = 78$ км. Условие выполняется.

2. Проверим второе условие: $2.5 \cdot 12 - 14 = 30 - 14 = 16$ км. Условие выполняется.

Ответ: скорость первого велосипедиста — 12 км/ч, скорость второго велосипедиста — 14 км/ч.

5. Из пункта A в пункт B выехал велосипедист. Через 30 мин после этого навстречу ему из пункта B выехал мотоциклист, который встретил велосипедиста через 1 ч 30 мин после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если расстояние между пунктами A и B равно 135 км и велосипедист за 3 ч проезжает на 95 км меньше, чем мотоциклист за 2 ч.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_в$ — скорость велосипедиста в км/ч, а $v_м$ — скорость мотоциклиста в км/ч.

Из условия известно, что велосипедист за 3 часа проезжает на 95 км меньше, чем мотоциклист за 2 часа. Это можно выразить следующим уравнением:

$2 \cdot v_м - 3 \cdot v_в = 95$

Это наше первое уравнение.

Теперь рассмотрим движение до момента встречи. Мотоциклист выехал через 30 минут ($0.5$ часа) после велосипедиста и встретил его через 1 час 30 минут ($1.5$ часа) после своего выезда.

Время в пути мотоциклиста до встречи составляет $t_м = 1.5$ ч.

Велосипедист до выезда мотоциклиста уже был в пути 30 минут, а затем ехал еще 1 час 30 минут до встречи. Таким образом, общее время в пути велосипедиста до встречи составляет:

$t_в = 0.5 \text{ ч} + 1.5 \text{ ч} = 2$ ч.

За это время они вместе преодолели все расстояние между пунктами A и B, равное 135 км. Сумма расстояний, пройденных велосипедистом ($S_в$) и мотоциклистом ($S_м$) до встречи, равна общему расстоянию:

$S_в + S_м = 135$

Подставим формулы расстояния ($S=v \cdot t$):

$v_в \cdot t_в + v_м \cdot t_м = 135$

$v_в \cdot 2 + v_м \cdot 1.5 = 135$

Это наше второе уравнение: $2v_в + 1.5v_м = 135$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} 2v_м - 3v_в = 95 \\ 1.5v_м + 2v_в = 135 \end{cases}$

Решим эту систему. Выразим $v_м$ из первого уравнения:

$2v_м = 95 + 3v_в$

$v_м = \frac{95 + 3v_в}{2} = 47.5 + 1.5v_в$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$1.5(47.5 + 1.5v_в) + 2v_в = 135$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_в$:

$71.25 + 2.25v_в + 2v_в = 135$

$4.25v_в = 135 - 71.25$

$4.25v_в = 63.75$

$v_в = \frac{63.75}{4.25} = 15$

Таким образом, скорость велосипедиста равна 15 км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста, подставив найденное значение $v_в$ в выражение для $v_м$:

$v_м = 47.5 + 1.5 \cdot 15$

$v_м = 47.5 + 22.5$

$v_м = 70$

Таким образом, скорость мотоциклиста равна 70 км/ч.

Проведем проверку найденных значений.

1. Расстояние, которое проедет мотоциклист за 2 часа: $2 \cdot 70 = 140$ км. Расстояние, которое проедет велосипедист за 3 часа: $3 \cdot 15 = 45$ км. Разница составляет $140 - 45 = 95$ км, что соответствует условию задачи.

2. Расстояние, которое проехал велосипедист до встречи за 2 часа: $2 \cdot 15 = 30$ км. Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи за 1.5 часа: $1.5 \cdot 70 = 105$ км. Суммарное расстояние: $30 + 105 = 135$ км, что соответствует общему расстоянию между пунктами A и B.

Ответ: скорость велосипедиста — 15 км/ч, скорость мотоциклиста — 70 км/ч.