Страница 74 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

10. Установите, верно ли утверждение: при любом натуральном $n$ значение выражения $(11n - 3)(11n + 3) - (9n + 2)(9n + 4) - 3(5 - 2n)$ делится нацело на 8.

Чтобы проверить, верно ли утверждение, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать результат на предмет делимости на 8.

Исходное выражение: $(11n - 3)(11n + 3) - (9n + 2)(9n + 4) - 3(5 - 2n)$.

1. Упростим первое произведение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(11n - 3)(11n + 3) = (11n)^2 - 3^2 = 121n^2 - 9$.

2. Раскроем скобки во втором произведении, умножив многочлены:
$(9n + 2)(9n + 4) = 9n \cdot 9n + 9n \cdot 4 + 2 \cdot 9n + 2 \cdot 4 = 81n^2 + 36n + 18n + 8 = 81n^2 + 54n + 8$.

3. Раскроем скобки в третьем члене:
$3(5 - 2n) = 15 - 6n$.

4. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное и приведем подобные слагаемые:

$(121n^2 - 9) - (81n^2 + 54n + 8) - (15 - 6n) = $
$= 121n^2 - 9 - 81n^2 - 54n - 8 - 15 + 6n = $
$= (121n^2 - 81n^2) + (-54n + 6n) + (-9 - 8 - 15) = $
$= 40n^2 - 48n - 32$.

5. Теперь проанализируем полученное выражение $40n^2 - 48n - 32$ на делимость на 8. Для этого вынесем общий множитель 8 за скобки:

$40n^2 - 48n - 32 = 8 \cdot 5n^2 - 8 \cdot 6n - 8 \cdot 4 = 8(5n^2 - 6n - 4)$.

По условию, $n$ является натуральным числом. Это означает, что $n$ — целое положительное число. Тогда $n^2$ также является целым числом. Следовательно, выражение в скобках $5n^2 - 6n - 4$ всегда будет целым числом, так как операции умножения, вычитания и сложения над целыми числами всегда дают в результате целое число.

Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $8k$, где $k = 5n^2 - 6n - 4$ и $k$ является целым числом. Любое число вида $8k$ по определению делится нацело на 8.

Ответ: утверждение верно.

1. Заполните пропуски.

1) Формулой разности квадратов двух выражений называют тождество $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

2) Разность квадратов двух выражений равна произведению __________

1) Формула разности квадратов двух выражений — это одна из формул сокращённого умножения, которая представляет собой тождество, то есть равенство, верное при любых значениях переменных. Это тождество позволяет разложить на множители разность квадратов двух чисел или выражений. Оно записывается следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Где a и b — любые числа или выражения. Таким образом, пропуск в предложении "Формулой разности квадратов двух выражений называют тождество ___" необходимо заполнить этой формулой.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

2) Этот пункт представляет собой словесную формулировку правила, вытекающего из тождества разности квадратов. Рассмотрим правую часть формулы $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Она состоит из двух множителей:

• $(a-b)$ — разность двух исходных выражений.
• $(a+b)$ — сумма этих же выражений.

Вся правая часть является произведением этих двух множителей. Следовательно, предложение "Разность квадратов двух выражений равна произведению ___" нужно дополнить словесным описанием правой части формулы.

Ответ: разности этих выражений и их суммы.

2. Разложите на множители:

1) $a^2 - 9b^2 = $

2) $16 - 25m^2 = $

3) $49x^2 - 144y^4 = $

4) $-0.04a^6b^8 + 1 = $

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения, а именно формула разности квадратов: $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$.

1) $a^2 - 9b^2$

Данное выражение представляет собой разность двух квадратов. Первый член $a^2$ является квадратом переменной $a$. Второй член $9b^2$ можно представить как квадрат выражения $3b$, поскольку $(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$.

Таким образом, выражение можно переписать в виде: $a^2 - (3b)^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $X = a$ и $Y = 3b$:

$a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.

Ответ: $(a - 3b)(a + 3b)$.

2) $16 - 25m^2$

Это выражение также является разностью квадратов. Представим каждый член в виде квадрата. Число 16 - это квадрат числа 4 ($4^2 = 16$). Выражение $25m^2$ - это квадрат выражения $5m$ ($(5m)^2 = 5^2 \cdot m^2 = 25m^2$).

Таким образом, мы имеем: $4^2 - (5m)^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $X = 4$ и $Y = 5m$:

$4^2 - (5m)^2 = (4 - 5m)(4 + 5m)$.

Ответ: $(4 - 5m)(4 + 5m)$.

3) $49x^2 - 144y^4$

Представим оба члена выражения в виде квадратов. Выражение $49x^2$ является квадратом от $7x$, так как $(7x)^2 = 7^2 \cdot x^2 = 49x^2$. Выражение $144y^4$ является квадратом от $12y^2$, так как $(12y^2)^2 = 12^2 \cdot (y^2)^2 = 144y^4$.

Таким образом, мы получаем: $(7x)^2 - (12y^2)^2$.

Применяем формулу разности квадратов, где $X = 7x$ и $Y = 12y^2$:

$(7x)^2 - (12y^2)^2 = (7x - 12y^2)(7x + 12y^2)$.

Ответ: $(7x - 12y^2)(7x + 12y^2)$.

4) $-0,04a^6b^8 + 1$

Для удобства применения формулы поменяем члены выражения местами: $1 - 0,04a^6b^8$.

Теперь представим каждый член в виде квадрата. Число 1 - это квадрат самого себя ($1^2 = 1$). Для второго члена: коэффициент 0,04 это квадрат числа 0,2 ($0.2^2 = 0.04$). Степени переменных $a^6$ и $b^8$ являются четными, поэтому их можно представить в виде квадратов: $a^6 = (a^3)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$. Следовательно, $0,04a^6b^8 = (0.2a^3b^4)^2$.

Таким образом, мы имеем разность квадратов: $1^2 - (0.2a^3b^4)^2$.

Применяем формулу, где $X = 1$ и $Y = 0.2a^3b^4$:

$1^2 - (0.2a^3b^4)^2 = (1 - 0.2a^3b^4)(1 + 0.2a^3b^4)$.

Ответ: $(1 - 0.2a^3b^4)(1 + 0.2a^3b^4)$.

3. Вычислите значение выражения:

1) $7,32^2 - 6,32^2 = (7,32 - 6,32)(7,32 + 6,32) = \underline{\hspace{4em}}$

2) $10,5^2 - 9,5^2 = \underline{\hspace{4em}}$

3) $8,56^2 - 1,44^2 = \underline{\hspace{4em}}$

4) $5,89^2 - 4,11^2 = \underline{\hspace{4em}}$

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) $7,32^2 - 6,32^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 7,32$ и $b = 6,32$.

$7,32^2 - 6,32^2 = (7,32 - 6,32)(7,32 + 6,32) = 1 \cdot 13,64 = 13,64$.

Ответ: 13,64.

2) $10,5^2 - 9,5^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 10,5$ и $b = 9,5$.

$10,5^2 - 9,5^2 = (10,5 - 9,5)(10,5 + 9,5) = 1 \cdot 20 = 20$.

Ответ: 20.

3) $8,56^2 - 1,44^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 8,56$ и $b = 1,44$.

$8,56^2 - 1,44^2 = (8,56 - 1,44)(8,56 + 1,44) = 7,12 \cdot 10 = 71,2$.

Ответ: 71,2.

4) $5,89^2 - 4,11^2$

Применим формулу разности квадратов, где $a = 5,89$ и $b = 4,11$.

$5,89^2 - 4,11^2 = (5,89 - 4,11)(5,89 + 4,11) = 1,78 \cdot 10 = 17,8$.

Ответ: 17,8.

9. Двое рабочих должны были изготовить вместе 200 деталей. За первый день работы первый рабочий изготовил 60% количества деталей своего задания, а за второй – 80%. Сколько деталей должен изготовить каждый рабочий, если известно, что за первый день работы первый рабочий изготовил на 8 деталей больше, чем второй?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это общее количество деталей, которое должен был изготовить первый рабочий, а $y$ — общее количество деталей, которое должен был изготовить второй рабочий.

Согласно условию, вместе рабочие должны были изготовить 200 деталей. Это позволяет нам составить первое уравнение:

$x + y = 200$

Далее, известно, что за первый день работы первый рабочий изготовил 60% своего задания. Это количество составляет $0.6x$ деталей. Второй рабочий за тот же день изготовил 80% своего задания, что составляет $0.8y$ деталей.

По условию, в первый день первый рабочий изготовил на 8 деталей больше, чем второй. На основе этого мы можем составить второе уравнение:

$0.6x = 0.8y + 8$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 200 \\ 0.6x = 0.8y + 8 \end{cases} $

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 200 - y$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение системы:

$0.6(200 - y) = 0.8y + 8$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$120 - 0.6y = 0.8y + 8$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$120 - 8 = 0.8y + 0.6y$

$112 = 1.4y$

Найдем значение $y$:

$y = \frac{112}{1.4} = \frac{1120}{14} = 80$

Итак, второй рабочий должен был изготовить 80 деталей.

Теперь найдем, сколько деталей должен был изготовить первый рабочий, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 200 - 80 = 120$

Первый рабочий должен был изготовить 120 деталей.

Проверим полученные результаты:

1. Общее количество деталей: $120 + 80 = 200$. Условие выполняется.

2. Детали, изготовленные за первый день:

• Первый рабочий: $0.6 \times 120 = 72$ детали.
• Второй рабочий: $0.8 \times 80 = 64$ детали.

Разница составляет $72 - 64 = 8$ деталей, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый рабочий должен изготовить 120 деталей, а второй — 80 деталей.

10. Имеется два сплава меди с другими металлами. Один сплав состоит из меди на 20%, а второй — на 50%. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой 30 кг, состоящий на 30% из меди?

Решение.

Пусть первого сплава надо взять $x$ кг, а второго — $y$ кг.

Тогда по условию $x + y = 30$.

В первом сплаве меди содержится 20%, или $0.2x$ кг.

Во втором сплаве меди содержится 50%, или $0.5y$ кг.

В 30 кг нового сплава меди содержится $0.3 \times 30 = 9$ кг.

Следовательно, можем записать уравнение

Решение.

Пусть первого сплава надо взять $x$ кг, а второго — $y$ кг.

Тогда по условию $x + y = 30$.

В первом сплаве меди содержится 20%, или $0.2x$ кг.

Во втором сплаве меди содержится 50%, или $0.5y$ кг.

В 30 кг нового сплава меди содержится $30 \cdot 0.3 = 9$ кг.

Следовательно, можем записать уравнение: $0.2x + 0.5y = 9$.

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 30 \\ 0.2x + 0.5y = 9 \end{cases} $

Для решения системы выразим $x$ из первого уравнения: $x = 30 - y$.

Подставим полученное выражение во второе уравнение:

$0.2(30 - y) + 0.5y = 9$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$6 - 0.2y + 0.5y = 9$

$0.3y = 9 - 6$

$0.3y = 3$

$y = \frac{3}{0.3}$

$y = 10$

Теперь, зная массу второго сплава, найдем массу первого сплава:

$x = 30 - 10 = 20$

Ответ: необходимо взять 20 кг первого сплава и 10 кг второго сплава.