Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. В трёх вагонах электропоезда ехали 82 пассажира. Во втором вагоне было на 4 пассажира меньше, чем в первом, а количество пассажиров в третьем вагоне составляло $ \frac{15}{26} $ количества пассажиров в первом и втором вагонах вместе. Сколько пассажиров было в первом вагоне?

Решение.

Пусть в первом вагоне было $x$ пассажиров, тогда во втором вагоне

было пассажира, в первом и втором вагонах вместе —

пассажира, а в третьем — пассажиров.

Решение.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество пассажиров в первом вагоне.

Согласно условию, во втором вагоне было на 4 пассажира меньше, чем в первом, следовательно, их там было $(x - 4)$.

Количество пассажиров в третьем вагоне составляло $\frac{15}{26}$ от общего числа пассажиров в первом и втором вагонах вместе. Сумма пассажиров в первом и втором вагонах равна $x + (x - 4) = 2x - 4$. Значит, в третьем вагоне было $\frac{15}{26}(2x - 4)$ пассажиров.

Общее число пассажиров во всех трёх вагонах равно 82. Составим уравнение, сложив количество пассажиров в каждом из вагонов:

$x + (x - 4) + \frac{15}{26}(2x - 4) = 82$

Решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть, сгруппировав первые два слагаемых:

$(2x - 4) + \frac{15}{26}(2x - 4) = 82$

Вынесем общий множитель $(2x - 4)$ за скобки:

$(2x - 4) \cdot (1 + \frac{15}{26}) = 82$

Вычислим значение в скобках:

$1 + \frac{15}{26} = \frac{26}{26} + \frac{15}{26} = \frac{41}{26}$

Уравнение принимает вид:

$(2x - 4) \cdot \frac{41}{26} = 82$

Найдем выражение $(2x - 4)$, разделив обе части уравнения на $\frac{41}{26}$ (что равносильно умножению на обратную дробь $\frac{26}{41}$):

$2x - 4 = 82 \cdot \frac{26}{41}$

Сократим дробь, заметив, что $82 = 2 \cdot 41$:

$2x - 4 = 2 \cdot 26$

$2x - 4 = 52$

Получили простое линейное уравнение. Перенесем $-4$ в правую часть, изменив знак на противоположный:

$2x = 52 + 4$

$2x = 56$

Найдем $x$:

$x = \frac{56}{2} = 28$

Таким образом, в первом вагоне было 28 пассажиров.

Выполним проверку:
- В первом вагоне: 28 пассажиров.
- Во втором вагоне: $28 - 4 = 24$ пассажира.
- В третьем вагоне: $\frac{15}{26} \cdot (28 + 24) = \frac{15}{26} \cdot 52 = 15 \cdot 2 = 30$ пассажиров.
- Всего: $28 + 24 + 30 = 82$ пассажира.
Расчеты верны и соответствуют условию задачи.

Ответ: в первом вагоне было 28 пассажиров.

2. Решите систему уравнений:

1) ${\begin{cases} 10x + 7y = -2, \\ 5y - 2x = 19,6; \end{cases}}$

Решение.

Имеем: ${\begin{cases} 10x = -7y - 2, \\ 5y - 2x = 19,6; \end{cases}}$

$x = \frac{-7y - 2}{10} = -\frac{7y}{10} - \frac{2}{10} = -0,7y - 0,2;$

${\begin{cases} x = -0,7y - 0,2, \\ 5y - 2(-0,7y - 0,2) = 19,6; \end{cases}}$

2) ${\begin{cases} 7a + 4b = -17, \\ 3a + 10b = 1; \end{cases}}$

Решение.

3) ${\begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ 2x - 5y = 19; \end{cases}}$

Решение.

Имеем: ${\begin{cases} 3x = 2y + 12, \\ 2x - 5y = 19; \end{cases}}$

${\begin{cases} x = \frac{2y+12}{3}, \\ 2 \cdot \frac{2y+12}{3} - 5y = 19; \end{cases}}$

4) ${\begin{cases} 3m + 8n = 10, \\ 2m - 3n = 5. \end{cases}}$

Решение.

1) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 10x + 7y = -2 \\ 5y - 2x = 19,6 \end{cases}$

Для удобства решения методом подстановки, который уже начат в условии, перепишем второе уравнение в виде $-2x + 5y = 19,6$. Выразим $x$ из первого уравнения:

$10x = -7y - 2$

$x = \frac{-7y - 2}{10} = -0,7y - 0,2$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$5y - 2(-0,7y - 0,2) = 19,6$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$5y + 1,4y + 0,4 = 19,6$

$6,4y = 19,6 - 0,4$

$6,4y = 19,2$

$y = \frac{19,2}{6,4} = 3$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y = 3$ в полученное ранее выражение для $x$:

$x = -0,7 \cdot 3 - 0,2$

$x = -2,1 - 0,2$

$x = -2,3$

Ответ: $x = -2,3; y = 3$.

2) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 7a + 4b = -17 \\ 3a + 10b = 1 \end{cases}$

Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 3, а второе на -7, чтобы коэффициенты при переменной $a$ стали противоположными числами:

$\begin{cases} 3(7a + 4b) = 3(-17) \\ -7(3a + 10b) = -7(1) \end{cases} \implies \begin{cases} 21a + 12b = -51 \\ -21a - 70b = -7 \end{cases}$

Теперь сложим эти два уравнения почленно:

$(21a + 12b) + (-21a - 70b) = -51 + (-7)$

$12b - 70b = -58$

$-58b = -58$

$b = 1$

Подставим найденное значение $b=1$ во второе исходное уравнение:

$3a + 10(1) = 1$

$3a + 10 = 1$

$3a = 1 - 10$

$3a = -9$

$a = -3$

Ответ: $a = -3; b = 1$.

3) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 12 \\ 2x - 5y = 19 \end{cases}$

Продолжим решение методом подстановки, как показано в условии. Выразим $x$ из первого уравнения:

$3x = 2y + 12$

$x = \frac{2y + 12}{3}$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2 \left( \frac{2y + 12}{3} \right) - 5y = 19$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 3:

$2(2y + 12) - 3 \cdot 5y = 3 \cdot 19$

$4y + 24 - 15y = 57$

Приведем подобные слагаемые:

$-11y = 57 - 24$

$-11y = 33$

$y = -3$

Теперь найдем $x$, подставив $y = -3$ в выражение для $x$:

$x = \frac{2(-3) + 12}{3} = \frac{-6 + 12}{3} = \frac{6}{3} = 2$

Ответ: $x = 2; y = -3$.

4) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3m + 8n = 10 \\ 2m - 3n = 5 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $m$ стали противоположными:

$\begin{cases} 2(3m + 8n) = 2(10) \\ -3(2m - 3n) = -3(5) \end{cases} \implies \begin{cases} 6m + 16n = 20 \\ -6m + 9n = -15 \end{cases}$

Сложим полученные уравнения:

$(6m + 16n) + (-6m + 9n) = 20 - 15$

$25n = 5$

$n = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} = 0,2$

Подставим значение $n = 0,2$ во второе исходное уравнение:

$2m - 3(0,2) = 5$

$2m - 0,6 = 5$

$2m = 5 + 0,6$

$2m = 5,6$

$m = \frac{5,6}{2} = 2,8$

Ответ: $m = 2,8; n = 0,2$.