Страница 48 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

15. Докажите, что не существует таких значений $a$ и $b$, при которых многочлены $2a^2 - 3ab - 7b^2$ и $3ab - 4a^2 + 5b^2$ одновременно принимали бы положительные значения.

Решение.

Найдём сумму данных многочленов:

Решение.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют такие значения a и b, при которых оба многочлена принимают положительные значения. Это означает, что одновременно выполняются два неравенства:

$2a^2 - 3ab - 7b^2 > 0$

$3ab - 4a^2 + 5b^2 > 0$

Если два числа положительны, то их сумма также должна быть положительной. Найдем сумму этих двух многочленов:

$(2a^2 - 3ab - 7b^2) + (3ab - 4a^2 + 5b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2a^2 - 3ab - 7b^2 + 3ab - 4a^2 + 5b^2 = (2a^2 - 4a^2) + (-3ab + 3ab) + (-7b^2 + 5b^2) = -2a^2 - 2b^2$

Итак, сумма двух многочленов равна $-2a^2 - 2b^2$. Вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$-2(a^2 + b^2)$

Теперь проанализируем знак полученного выражения. Для любых действительных чисел a и b их квадраты $a^2$ и $b^2$ являются неотрицательными, то есть $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма $a^2 + b^2 \ge 0$.

• Если $a=0$ и $b=0$, то $a^2 + b^2 = 0$. В этом случае сумма многочленов равна $-2 \cdot 0 = 0$. Однако, если подставить $a=0$ и $b=0$ в исходные многочлены, они также будут равны нулю, а не положительным числам.
• Если хотя бы одно из чисел a или b не равно нулю, то сумма их квадратов $a^2 + b^2$ будет строго положительной: $a^2 + b^2 > 0$.

В этом случае выражение $-2(a^2 + b^2)$ является произведением отрицательного числа $(-2)$ и строго положительного числа $(a^2 + b^2)$. Такое произведение всегда отрицательно: $-2(a^2 + b^2) < 0$.

Таким образом, мы получили, что сумма двух рассматриваемых многочленов всегда является неположительным числом (то есть меньше или равна нулю) при любых значениях a и b.

Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что оба многочлена могут быть положительными, так как сумма двух положительных чисел всегда положительна. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Не существует таких значений a и b, при которых оба многочлена одновременно принимали бы положительные значения, так как их сумма $-2(a^2 + b^2)$ всегда неположительна, в то время как сумма двух положительных чисел должна быть положительной.

16. Расставьте скобки так, чтобы получилось тождество:

1) $-a^2 + b^2 - b^2 - a^2 = 0;$

2) $a^2 - b^2 - a^2 + b^2 = -2b^2;$

3) $a^2 - b^2 - a^2 + b^2 = 2a^2.$

1) В выражении $-a^2 + b^2 - b^2 - a^2 = 0$ необходимо получить в результате 0. Это значит, что все слагаемые должны взаимно уничтожиться. Поставим скобки следующим образом: $-a^2 + b^2 - (b^2 - a^2)$.
Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:
$-a^2 + b^2 - b^2 + a^2$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(-a^2 + a^2) + (b^2 - b^2) = 0 + 0 = 0$.
Тождество $0 = 0$ верно.
Ответ: $-a^2 + b^2 - (b^2 - a^2) = 0$.

2) В выражении $a^2 - b^2 - a^2 + b^2 = -2b^2$ нам нужно получить в правой части $-2b^2$. Это значит, что слагаемые с $a^2$ должны сократиться, а слагаемые с $b^2$ должны в сумме дать $-2b^2$. Поставим скобки так: $a^2 - b^2 - (a^2 + b^2)$.
Раскроем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:
$a^2 - b^2 - a^2 - b^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + (-b^2 - b^2) = 0 - 2b^2 = -2b^2$.
Тождество $-2b^2 = -2b^2$ верно.
Ответ: $a^2 - b^2 - (a^2 + b^2) = -2b^2$.

3) В выражении $a^2 - b^2 - a^2 + b^2 = 2a^2$ нужно получить в правой части $2a^2$. Это означает, что слагаемые с $b^2$ должны взаимно уничтожиться, а слагаемые с $a^2$ должны в сумме дать $2a^2$. Расставим скобки так: $a^2 - (b^2 - a^2) + b^2$.
Раскроем скобки, меняя знаки внутри них:
$a^2 - b^2 + a^2 + b^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 + a^2) + (-b^2 + b^2) = 2a^2 + 0 = 2a^2$.
Тождество $2a^2 = 2a^2$ верно.
Ответ: $a^2 - (b^2 - a^2) + b^2 = 2a^2$.

1. Заполните пропуски.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно ______________

и полученные ______________

1. Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

Это правило является прямым применением распределительного (дистрибутивного) свойства умножения относительно сложения. Если у нас есть одночлен $A$ и многочлен, который является суммой других членов $(B + C + D)$, то их произведение находится по следующей формуле:

$A \cdot (B + C + D) = A \cdot B + A \cdot C + A \cdot D$

Подробный разбор на примере:

Допустим, нам нужно умножить одночлен $5x^2y$ на многочлен $(2x - 3y + 4)$.

Шаг 1: Умножение одночлена на первый член многочлена.
Мы умножаем $5x^2y$ на $2x$.
$5x^2y \cdot 2x = (5 \cdot 2) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y = 10x^3y$

Шаг 2: Умножение одночлена на второй член многочлена.
Мы умножаем $5x^2y$ на $-3y$.
$5x^2y \cdot (-3y) = (5 \cdot -3) \cdot x^2 \cdot (y \cdot y) = -15x^2y^2$

Шаг 3: Умножение одночлена на третий член многочлена.
Мы умножаем $5x^2y$ на $4$.
$5x^2y \cdot 4 = (5 \cdot 4) \cdot x^2y = 20x^2y$

Шаг 4: Сложение полученных произведений.
Теперь мы складываем все результаты, полученные на предыдущих шагах, чтобы сформировать итоговый многочлен.
$10x^3y + (-15x^2y^2) + 20x^2y = 10x^3y - 15x^2y^2 + 20x^2y$

Таким образом, мы выполнили два действия, описанные в правиле: умножили одночлен на каждый из членов многочлена и затем сложили полученные произведения.

Ответ: В первый пропуск необходимо вписать "умножить этот одночлен на каждый член многочлена", а во второй — "произведения сложить".

2. Преобразуйте в многочлен произведение:

1) $2x(4x - 3) = 2x \cdot \text{\_\_\_\_\_} - 2x \cdot \text{\_\_\_\_\_} = \text{\_\_\_\_\_}$

2) $4x(3x^3 - x + 1) = \text{\_\_\_\_\_}$

3) $(7a^2 - 2a + 6) \cdot 5a^2 = \text{\_\_\_\_\_}$

4) $xy(8 - x) = \text{\_\_\_\_\_}$

5) $-2m^3 n^5 (6m^3 - m^2 n^4 + 10n^2) = \text{\_\_\_\_\_}$

6) $\frac{3}{7}xy^2(7x - 1.4y + 35) = \text{\_\_\_\_\_}$

1) Чтобы преобразовать произведение одночлена и многочлена в многочлен, нужно использовать распределительное свойство умножения: умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. В самом задании уже показано начало решения, где мы умножаем $2x$ на каждый член в скобках, $4x$ и $-3$:

$2x(4x - 3) = 2x \cdot 4x - 2x \cdot 3$

Далее выполним умножение одночленов:

$2x \cdot 4x = (2 \cdot 4) \cdot (x \cdot x) = 8x^2$

$2x \cdot 3 = (2 \cdot 3) \cdot x = 6x$

Подставляем полученные значения в выражение и получаем итоговый многочлен:

$8x^2 - 6x$

Ответ: $8x^2 - 6x$

2) Применяем распределительное свойство для выражения $4x(3x^3 - x + 1)$. Умножаем $4x$ на каждый член в скобках:

$4x(3x^3 - x + 1) = 4x \cdot 3x^3 - 4x \cdot x + 4x \cdot 1$

Выполним умножение:

$4x \cdot 3x^3 = (4 \cdot 3) \cdot (x \cdot x^3) = 12x^{1+3} = 12x^4$

$4x \cdot x = 4 \cdot (x \cdot x) = 4x^{1+1} = 4x^2$

$4x \cdot 1 = 4x$

Соберем все члены вместе:

$12x^4 - 4x^2 + 4x$

Ответ: $12x^4 - 4x^2 + 4x$

3) В выражении $(7a^2 - 2a + 6) \cdot 5a^2$ мы умножаем каждый член многочлена $(7a^2 - 2a + 6)$ на одночлен $5a^2$:

$(7a^2 - 2a + 6) \cdot 5a^2 = 7a^2 \cdot 5a^2 - 2a \cdot 5a^2 + 6 \cdot 5a^2$

Выполним умножение:

$7a^2 \cdot 5a^2 = (7 \cdot 5) \cdot (a^2 \cdot a^2) = 35a^{2+2} = 35a^4$

$2a \cdot 5a^2 = (2 \cdot 5) \cdot (a \cdot a^2) = 10a^{1+2} = 10a^3$

$6 \cdot 5a^2 = (6 \cdot 5) \cdot a^2 = 30a^2$

Объединяем результаты:

$35a^4 - 10a^3 + 30a^2$

Ответ: $35a^4 - 10a^3 + 30a^2$

4) Раскроем скобки в выражении $xy(8 - x)$, умножив $xy$ на каждый член в скобках:

$xy(8 - x) = xy \cdot 8 - xy \cdot x$

Выполним умножение:

$xy \cdot 8 = 8xy$

$xy \cdot x = (x \cdot x) \cdot y = x^2y$

Получаем многочлен:

$8xy - x^2y$

Ответ: $8xy - x^2y$

5) Для выражения $-2m^3n^5(6m^3 - m^2n^4 + 10n^2)$ умножим одночлен $-2m^3n^5$ на каждый член многочлена в скобках, обращая внимание на знаки:

$-2m^3n^5(6m^3 - m^2n^4 + 10n^2) = (-2m^3n^5) \cdot (6m^3) - (-2m^3n^5) \cdot (m^2n^4) + (-2m^3n^5) \cdot (10n^2)$

Выполним умножение для каждого члена:

$(-2m^3n^5) \cdot (6m^3) = (-2 \cdot 6) \cdot (m^3 \cdot m^3) \cdot n^5 = -12m^{3+3}n^5 = -12m^6n^5$

$-(-2m^3n^5) \cdot (m^2n^4) = +2 \cdot (m^3 \cdot m^2) \cdot (n^5 \cdot n^4) = 2m^{3+2}n^{5+4} = 2m^5n^9$

$(-2m^3n^5) \cdot (10n^2) = (-2 \cdot 10) \cdot m^3 \cdot (n^5 \cdot n^2) = -20m^3n^{5+2} = -20m^3n^7$

Собираем все члены в один многочлен:

$-12m^6n^5 + 2m^5n^9 - 20m^3n^7$

Ответ: $-12m^6n^5 + 2m^5n^9 - 20m^3n^7$

6) Преобразуем произведение $\frac{3}{7}xy^2(7x - 1,4y + 35)$. Умножим $\frac{3}{7}xy^2$ на каждый член в скобках:

$\frac{3}{7}xy^2(7x - 1,4y + 35) = (\frac{3}{7}xy^2) \cdot (7x) - (\frac{3}{7}xy^2) \cdot (1,4y) + (\frac{3}{7}xy^2) \cdot (35)$

Вычислим каждое произведение отдельно. Для удобства вычислений со вторым членом представим десятичную дробь $1,4$ в виде обыкновенной: $1,4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.

Первый член: $(\frac{3}{7}xy^2) \cdot (7x) = (\frac{3}{7} \cdot 7) \cdot (x \cdot x) \cdot y^2 = 3x^2y^2$

Второй член: $-(\frac{3}{7}xy^2) \cdot (1,4y) = -(\frac{3}{7}xy^2) \cdot (\frac{7}{5}y) = -(\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{5}) \cdot x \cdot (y^2 \cdot y) = -\frac{3}{5}xy^3 = -0,6xy^3$

Третий член: $(\frac{3}{7}xy^2) \cdot (35) = (\frac{3}{7} \cdot 35) \cdot xy^2 = (3 \cdot \frac{35}{7}) \cdot xy^2 = (3 \cdot 5) \cdot xy^2 = 15xy^2$

Соберем все члены вместе:

$3x^2y^2 - 0,6xy^3 + 15xy^2$

Ответ: $3x^2y^2 - 0,6xy^3 + 15xy^2$

5. Составьте какую-нибудь систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является пара чисел:

1) $(-3; 5)$;

$$\left\{\begin{array}{l} \\ \end{array}\right.$$

2) $(-6; 0)$;

$$\left\{\begin{array}{l} \\ \end{array}\right.$$

3) $(0,3; \frac{1}{9})$.

$$\left\{\begin{array}{l} \\ \end{array}\right.$$

Чтобы составить систему двух линейных уравнений с двумя переменными, решением которой является заданная пара чисел $(x_0, y_0)$, нужно придумать два независимых линейных уравнения вида $ax + by = c$, которые будут верными при подстановке в них значений $x_0$ и $y_0$. Самый простой способ — это выбрать произвольные коэффициенты $a$ и $b$ для левой части уравнения, а затем вычислить правую часть $c$, подставив известные $x$ и $y$. Эту процедуру нужно проделать дважды с разными наборами коэффициентов.

1) (–3; 5)

В данном случае нам дана пара чисел $x = -3$ и $y = 5$.

Составим первое уравнение.

Выберем простые коэффициенты для $x$ и $y$, например, $a_1=1$ и $b_1=1$. Левая часть уравнения будет выглядеть как $x + y$. Теперь вычислим правую часть, подставив наши значения:

$c_1 = (-3) + 5 = 2$.

Таким образом, первое уравнение системы: $x + y = 2$.

Составим второе уравнение.

Для второго уравнения выберем другую пару коэффициентов, чтобы оно было независимым от первого, например, $a_2=1$ и $b_2=-1$. Левая часть уравнения примет вид $x - y$. Вычислим правую часть:

$c_2 = (-3) - 5 = -8$.

Итак, второе уравнение системы: $x - y = -8$.

Запишем получившуюся систему.

Объединив оба уравнения, мы получим искомую систему:

$ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $

Для проверки можно решить эту систему: сложив уравнения, получим $2x = -6$, то есть $x = -3$. Подставив $x = -3$ в первое уравнение, найдем $y$: $-3 + y = 2$, откуда $y = 5$. Решение $(-3; 5)$ верное.

Ответ: $ \begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = -8 \end{cases} $

2) (–6; 0)

Здесь нам дана пара чисел $x = -6$ и $y = 0$.

Составим первое уравнение.

Самый простой способ составить систему для такого решения — это задать значения каждой переменной отдельным уравнением. Первое уравнение может просто утверждать, что $x$ равен своему значению:

$x = -6$.

Это является линейным уравнением, так как его можно записать в общем виде как $1 \cdot x + 0 \cdot y = -6$.

Составим второе уравнение.

Аналогично поступим для переменной $y$:

$y = 0$.

В общем виде это уравнение выглядит как $0 \cdot x + 1 \cdot y = 0$.

Запишем получившуюся систему.

Эта система уравнений очевидно имеет решение $(-6; 0)$:

$ \begin{cases} x = -6 \\ y = 0 \end{cases} $

Конечно, можно составить и более сложную систему, например, как в предыдущем пункте. Взяв левую часть $x+y$, получим $x+y = -6+0 = -6$. Взяв левую часть $x-y$, получим $x-y = -6-0 = -6$. Но предложенный выше вариант является самым простым и наглядным.

Ответ: $ \begin{cases} x = -6 \\ y = 0 \end{cases} $

3) (0,3; 1/9)

Нам дана пара чисел $x = 0,3$ и $y = \frac{1}{9}$. Чтобы было удобнее работать, представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $x = 0,3 = \frac{3}{10}$.

Составим первое уравнение.

Чтобы избежать дробных коэффициентов в итоговых уравнениях, можно подобрать коэффициенты $a$ и $b$ так, чтобы они сократились со знаменателями дробей. Возьмем для первого уравнения коэффициенты $a_1=10$ и $b_1=9$. Левая часть: $10x + 9y$. Вычислим правую часть:

$c_1 = 10 \cdot \frac{3}{10} + 9 \cdot \frac{1}{9} = 3 + 1 = 4$.

Первое уравнение: $10x + 9y = 4$.

Составим второе уравнение.

Для второго уравнения выберем другие коэффициенты, например, $a_2=10$ и $b_2=-9$. Левая часть: $10x - 9y$. Вычислим правую часть:

$c_2 = 10 \cdot \frac{3}{10} - 9 \cdot \frac{1}{9} = 3 - 1 = 2$.

Второе уравнение: $10x - 9y = 2$.

Запишем получившуюся систему.

Получаем систему с целыми коэффициентами:

$ \begin{cases} 10x + 9y = 4 \\ 10x - 9y = 2 \end{cases} $

Проверим решение: сложим два уравнения, получим $20x = 6$, откуда $x = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$. Вычтем из первого уравнения второе: $(10x+9y) - (10x-9y) = 4-2$, что дает $18y=2$, откуда $y = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$. Решение верное.

Ответ: $ \begin{cases} 10x + 9y = 4 \\ 10x - 9y = 2 \end{cases} $

6. При каких значениях a и b пара чисел (1; -2) является решением системы уравнений

$\begin{cases} 2x + by = 12, \\ ax + by = 15 \end{cases}$?

Решение.

Подставим в первое уравнение системы значения переменных x и y и найдём значение b:

По условию задачи, пара чисел $(1; -2)$ является решением системы уравнений. Это означает, что если подставить $x=1$ и $y=-2$ в оба уравнения системы, то получатся верные числовые равенства.

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2x + by = 12 \\ ax + by = 15 \end{cases} $$

Подставим значения $x=1$ и $y=-2$ в оба уравнения: $$ \begin{cases} 2 \cdot 1 + b \cdot (-2) = 12 \\ a \cdot 1 + b \cdot (-2) = 15 \end{cases} $$

После упрощения получаем систему уравнений относительно неизвестных $a$ и $b$: $$ \begin{cases} 2 - 2b = 12 \\ a - 2b = 15 \end{cases} $$

Нахождение b

Для нахождения значения $b$ решим первое уравнение системы:

$2 - 2b = 12$

Вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$-2b = 12 - 2$

$-2b = 10$

Разделим обе части на -2:

$b = \frac{10}{-2}$

$b = -5$

Нахождение a

Теперь, зная значение $b$, подставим его во второе уравнение системы, чтобы найти $a$:

$a - 2b = 15$

$a - 2(-5) = 15$

$a + 10 = 15$

Вычтем 10 из обеих частей уравнения:

$a = 15 - 10$

$a = 5$

Следовательно, пара чисел $(1; -2)$ является решением системы при $a=5$ и $b=-5$.

Ответ: $a=5, b=-5$.