Страница 43 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Запишите сумму данных многочленов и упростите её:

1) $-6 - a^2$ и $a^2 + 13$;

2) $a^2 - b + c^3$ и $-a^2 + b + c^3$;

3) $3x + 14$ и $-x^2 - 3x - 18$.

Решение.

1) $(-6 - a^2) + (a^2 + 13) =$

1) Чтобы найти сумму многочленов $-6 - a^2$ и $a^2 + 13$, запишем их сумму и раскроем скобки. Затем приведем подобные слагаемые.
$(-6 - a^2) + (a^2 + 13) = -6 - a^2 + a^2 + 13$
Сгруппируем подобные члены:
$(-a^2 + a^2) + (-6 + 13) = 0 + 7 = 7$
Ответ: $7$

2) Найдем сумму многочленов $a^2 - b + c^3$ и $-a^2 + b + c^3$. Для этого запишем их сумму, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(a^2 - b + c^3) + (-a^2 + b + c^3) = a^2 - b + c^3 - a^2 + b + c^3$
Сгруппируем подобные члены:
$(a^2 - a^2) + (-b + b) + (c^3 + c^3) = 0 + 0 + 2c^3 = 2c^3$
Ответ: $2c^3$

3) Найдем сумму многочленов $3x + 14$ и $-x^2 - 3x - 18$. Запишем их сумму, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.
$(3x + 14) + (-x^2 - 3x - 18) = 3x + 14 - x^2 - 3x - 18$
Сгруппируем подобные члены, расположив их по убыванию степеней переменной $x$:
$-x^2 + (3x - 3x) + (14 - 18) = -x^2 + 0 - 4 = -x^2 - 4$
Ответ: $-x^2 - 4$

2. Запишите разность данных многочленов и упростите её:

1) $-5,4m + n^2$ и $n^2 + 3,9m;$

2) $a^2 - b^2$ и $-b^2 + a^2 - c^2;$

3) $3x^2 - 6x + 2$ и $x^2 - 7x + 5.$

Решение.

1) $( -5,4m + n^2 ) - ( n^2 + 3,9m ) = $

1) Чтобы найти разность многочленов $-5,4m + n^2$ и $n^2 + 3,9m$, нужно вычесть второй многочлен из первого. Запишем это в виде выражения:

$(-5,4m + n^2) - (n^2 + 3,9m)$

Теперь раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», знаки всех слагаемых внутри неё меняются на противоположные:

$-5,4m + n^2 - n^2 - 3,9m$

Далее сгруппируем и приведем подобные слагаемые (слагаемые с одинаковой буквенной частью):

$(-5,4m - 3,9m) + (n^2 - n^2) = -9,3m + 0 = -9,3m$

Ответ: $-9,3m$

2) Найдем разность многочленов $a^2 - b^2$ и $-b^2 + a^2 - c^2$:

$(a^2 - b^2) - (-b^2 + a^2 - c^2)$

Раскроем скобки, меняя знаки во втором многочлене на противоположные:

$a^2 - b^2 + b^2 - a^2 + c^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) + (-b^2 + b^2) + c^2 = 0 + 0 + c^2 = c^2$

Ответ: $c^2$

3) Найдем разность многочленов $3x^2 - 6x + 2$ и $x^2 - 7x + 5$:

$(3x^2 - 6x + 2) - (x^2 - 7x + 5)$

Раскроем скобки, не забывая изменить знаки во втором многочлене:

$3x^2 - 6x + 2 - x^2 + 7x - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые по степеням переменной $x$:

$(3x^2 - x^2) + (-6x + 7x) + (2 - 5) = 2x^2 + x - 3$

Ответ: $2x^2 + x - 3$

3. Упростите выражение:

1) $(4a^3 + a^2) + (-3a^3 - 2a^2) = $

2) $(2b^2 - 8b + 7) + (5b^2 + b - 2) = $

3) $(ac - bc) - (bc - ac) = $

4) $(6x^3 - 3x) - (4x^2 - 2x) = $

5) $(3m^2 - 2m^2n + 9n^2) - (2m^2n + 9n^2) = $

1) Чтобы упростить выражение $(4a^3 + a^2) + (-3a^3 - 2a^2)$, нужно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Так как перед второй скобкой стоит знак «+», знаки слагаемых внутри нее не меняются.

$(4a^3 + a^2) + (-3a^3 - 2a^2) = 4a^3 + a^2 - 3a^3 - 2a^2$

Теперь сгруппируем подобные члены: слагаемые с $a^3$ и слагаемые с $a^2$.

$(4a^3 - 3a^3) + (a^2 - 2a^2) = (4-1)a^3 + (1-2)a^2 = a^3 - a^2$

Ответ: $a^3 - a^2$

2) Упростим выражение $(2b^2 - 8b + 7) + (5b^2 + b - 2)$. Раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «+», поэтому знаки слагаемых не меняем.

$(2b^2 - 8b + 7) + (5b^2 + b - 2) = 2b^2 - 8b + 7 + 5b^2 + b - 2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с $b^2$, члены с $b$ и свободные члены.

$(2b^2 + 5b^2) + (-8b + b) + (7 - 2) = 7b^2 - 7b + 5$

Ответ: $7b^2 - 7b + 5$

3) Упростим выражение $(ac - bc) - (bc - ac)$. Раскрываем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «-», поэтому знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$(ac - bc) - (bc - ac) = ac - bc - bc + ac$

Группируем подобные члены (слагаемые с $ac$ и слагаемые с $bc$).

$(ac + ac) + (-bc - bc) = 2ac - 2bc$

Ответ: $2ac - 2bc$

4) Упростим выражение $(6x^3 - 3x) - (4x^2 - 2x)$. Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «-», меняем знаки слагаемых в ней на противоположные.

$(6x^3 - 3x) - (4x^2 - 2x) = 6x^3 - 3x - 4x^2 + 2x$

Приведем подобные слагаемые. Обратите внимание, что в выражении есть члены с разными степенями переменной $x$. Подобными являются только $-3x$ и $2x$.

$6x^3 - 4x^2 + (-3x + 2x) = 6x^3 - 4x^2 - x$

Ответ: $6x^3 - 4x^2 - x$

5) Упростим выражение $(3m^2 - 2m^2n + 9n^2) - (2m^2n + 9n^2)$. Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке из-за знака «-» перед ней.

$(3m^2 - 2m^2n + 9n^2) - (2m^2n + 9n^2) = 3m^2 - 2m^2n + 9n^2 - 2m^2n - 9n^2$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными являются $-2m^2n$ и $-2m^2n$, а также $9n^2$ и $-9n^2$.

$3m^2 + (-2m^2n - 2m^2n) + (9n^2 - 9n^2) = 3m^2 - 4m^2n + 0 = 3m^2 - 4m^2n$

Ответ: $3m^2 - 4m^2n$

19. Постройте график уравнения:

1) $(x - 2)^2 = 9$;

Решение.

Имеем:

$x - 2 = $ или $x - 2 = $

$x = $ или $x = $

Следовательно, графиком данного уравнения

является пара прямых.

2) $x^2 - 4y^2 = 0.$

Решение.

Разложим на множители левую часть

данного уравнения:

1) $(x - 2)^2 = 9$

Решение.

Имеем уравнение $(x-2)^2 = 9$. Это уравнение содержит только одну переменную $x$, поэтому его графиком будет одна или несколько вертикальных прямых.

Чтобы найти значения $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x-2 = \sqrt{9}$ или $x-2 = -\sqrt{9}$

Получаем два случая:

$x-2 = 3$ или $x-2 = -3$

Решаем каждое линейное уравнение:

$x = 3 + 2 \implies x = 5$

$x = -3 + 2 \implies x = -1$

Следовательно, графиком данного уравнения является пара вертикальных прямых $x=5$ и $x=-1$. Каждая прямая параллельна оси ординат (оси $y$) и проходит через соответствующую точку на оси абсцисс (оси $x$).

Ответ: Графиком уравнения является пара параллельных прямых $x=-1$ и $x=5$.

2) $x^2 - 4y^2 = 0$

Решение.

Разложим на множители левую часть данного уравнения, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - (2y)^2 = 0$

$(x-2y)(x+2y) = 0$

Произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из них равно нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:

$x - 2y = 0$ или $x + 2y = 0$

Графиком исходного уравнения будет объединение графиков этих двух линейных уравнений. Выразим $y$ через $x$ для каждого из них, чтобы получить уравнения прямых в явном виде:

1) $x - 2y = 0 \implies 2y = x \implies y = \frac{1}{2}x$

2) $x + 2y = 0 \implies 2y = -x \implies y = -\frac{1}{2}x$

Следовательно, графиком данного уравнения является пара прямых, проходящих через начало координат: $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -\frac{1}{2}x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся в начале координат прямых $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -\frac{1}{2}x$.

20. Составьте уравнение, график которого изображён на рисунке.

Решение.

На рисунке изображен график линейной функции, общий вид уравнения которой $y = kx + b$.

Для того чтобы составить уравнение, необходимо найти коэффициенты $k$ и $b$. Для этого выберем на графике две точки с целочисленными координатами, через которые проходит прямая. Удобно взять точки пересечения с осями координат.

1. Точка пересечения с осью ординат (осью $y$). Её координаты $(0; 1)$.

2. Точка пересечения с осью абсцисс (осью $x$). Её координаты $(2; 0)$.

Коэффициент $b$ в уравнении прямой $y = kx + b$ равен значению ординаты точки пересечения графика с осью $y$. Из точки $(0; 1)$ следует, что $b = 1$.

Угловой коэффициент $k$ можно вычислить по формуле, используя координаты двух точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты наших точек $(0; 1)$ и $(2; 0)$ в формулу:

$k = \frac{0 - 1}{2 - 0} = \frac{-1}{2} = -0.5$

Теперь, зная значения коэффициентов $k = -0.5$ и $b = 1$, мы можем записать искомое уравнение прямой:

$y = -0.5x + 1$

Выполним проверку, подставив в полученное уравнение координаты второй точки $(2; 0)$:

$0 = -0.5 \cdot 2 + 1$

$0 = -1 + 1$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, уравнение составлено правильно.

Ответ: $y = -0.5x + 1$