Страница 38 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

2. Подчеркните выражения, являющиеся одночленами.

1) $3ac$

2) $-\frac{1}{7}m^3n^2$

3) $a^2 - b^2$

4) 13

5) 0

6) $\frac{5c^6d^9}{13k}$

7) $b^0$

8) $nn^3$

9) $4p + 7k$

10) $-3\frac{1}{9}ab^2b^3cc^6$

Одночлен — это алгебраическое выражение, которое является произведением чисел, переменных и их степеней с натуральными или нулевым показателями. Одночлен не должен содержать операций сложения и вычитания между несколькими членами, а также деления на переменную. Проанализируем каждое выражение.

1) $3ac$

Это выражение является произведением числа $3$ и переменных $a$ и $c$. Все переменные находятся в первой степени. Выражение соответствует определению одночлена.
Ответ: является одночленом.

2) $-\frac{1}{7}m^3n^2$

Это выражение является произведением числового коэффициента $-\frac{1}{7}$ и переменных $m$ и $n$ в натуральных степенях ($3$ и $2$). Выражение соответствует определению одночлена.
Ответ: является одночленом.

3) $a^2 - b^2$

Данное выражение содержит операцию вычитания. Выражения, содержащие сложение или вычитание, являются многочленами. Следовательно, это не одночлен.
Ответ: не является одночленом.

4) $13$

Любое число является одночленом. Его можно рассматривать как одночлен нулевой степени, например, $13x^0$.
Ответ: является одночленом.

5) $0$

Число $0$ также является одночленом. Его называют нулевым одночленом.
Ответ: является одночленом.

6) $\frac{5c^6d^9}{13k}$

Данное выражение содержит деление на переменную $k$. Деление на переменную в одночленах не допускается. Следовательно, это не одночлен.
Ответ: не является одночленом.

7) $b^0$

Переменная $b$ возведена в нулевую степень. При $b \neq 0$, выражение $b^0 = 1$. Число $1$ является одночленом. В общем случае переменная в нулевой степени является одночленом.
Ответ: является одночленом.

8) $nn^3$

Это выражение является произведением переменных. Его можно упростить, используя свойство степеней: $nn^3 = n^{1+3} = n^4$. Результат $n^4$ является одночленом.
Ответ: является одночленом.

9) $4p + 7k$

Данное выражение содержит операцию сложения, поэтому оно является многочленом (в данном случае — двучленом), а не одночленом.
Ответ: не является одночленом.

10) $-3\frac{1}{9}ab^2b^3cc^6$

Это выражение является произведением числа и переменных. Приведем его к стандартному виду. Числовой коэффициент: $-3\frac{1}{9} = -\frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = -\frac{28}{9}$. Переменная часть: $a \cdot b^2 \cdot b^3 \cdot c \cdot c \cdot c^6 = a^1 \cdot b^{2+3} \cdot c^{1+1+6} = ab^5c^8$. Выражение в стандартном виде $-\frac{28}{9}ab^5c^8$ является произведением числа и переменных в натуральных степенях, то есть это одночлен.
Ответ: является одночленом.

3. Подчеркните одночлены, записанные в стандартном виде:

1) $7xyx^5$

2) $-1,8m^3n^4p$

3) $-9a^3 \cdot 6a^4$

4) $\frac{8}{19}a^9b^{12}$

Стандартный вид одночлена — это его запись в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте (коэффициента), и степеней различных переменных. В стандартном виде каждая переменная встречается только один раз, и обычно переменные записываются в алфавитном порядке. Проанализируем каждый одночлен.

1) $7xyx^5$
Данный одночлен не находится в стандартном виде, потому что переменная $x$ встречается дважды ($x$ и $x^5$). Чтобы привести его к стандартному виду, необходимо выполнить умножение степеней с одинаковым основанием:
$7xyx^5 = 7 \cdot (x \cdot x^5) \cdot y = 7 \cdot x^{1+5} \cdot y = 7x^6y$.
Стандартный вид этого одночлена — $7x^6y$.
Ответ: не в стандартном виде.

2) $-1.8m^3n^4p$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Он состоит из числового коэффициента $-1.8$, который стоит на первом месте, и переменных $m, n, p$ в степенях, причем каждая переменная встречается один раз, а их порядок соответствует алфавитному.
Ответ: в стандартном виде.

3) $-9a^3 \cdot 6a^4$
Это выражение не является одночленом в стандартном виде, так как оно представляет собой произведение двух одночленов. Для приведения к стандартному виду нужно перемножить числовые коэффициенты и степени переменной $a$:
$(-9a^3) \cdot (6a^4) = (-9 \cdot 6) \cdot (a^3 \cdot a^4) = -54 \cdot a^{3+4} = -54a^7$.
Стандартный вид — $-54a^7$.
Ответ: не в стандартном виде.

4) $\frac{8}{19}a^9b^{12}$
Этот одночлен записан в стандартном виде. Коэффициент $\frac{8}{19}$ находится на первом месте. Переменные $a$ и $b$ встречаются по одному разу и записаны в алфавитном порядке.
Ответ: в стандартном виде.

Таким образом, в стандартном виде записаны одночлены под номерами 2 и 4.

4. Подчеркните пары подобных одночленов.

1) $3c$ и $5c$

2) $4a^3b^2c$ и $12a^3b^2c$

3) $8x^4y^6$ и $8x^6y^4$

4) $mn^3$ и $mn^2$

Подобные одночлены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть (одни и те же переменные, возведенные в одинаковые степени) и могут отличаться только числовыми коэффициентами. Проанализируем каждую пару:

1) $3c$ и $5c$

Первый одночлен $3c$ имеет буквенную часть $c$.
Второй одночлен $5c$ также имеет буквенную часть $c$.
Поскольку их буквенные части полностью совпадают, эти одночлены являются подобными.
Ответ: пара $3c$ и $5c$ является парой подобных одночленов.

2) $4a^3b^2c$ и $12a^3b^2c$

Буквенная часть первого одночлена — $a^3b^2c$.
Буквенная часть второго одночлена — $a^3b^2c$.
Буквенные части идентичны, следовательно, одночлены подобны.
Ответ: пара $4a^3b^2c$ и $12a^3b^2c$ является парой подобных одночленов.

3) $8x^4y^6$ и $8x^6y^4$

Буквенная часть первого одночлена — $x^4y^6$.
Буквенная часть второго одночлена — $x^6y^4$.
Хотя переменные ($x$ и $y$) в обоих одночленах одинаковы, их степени различны. В первом одночлене степень $x$ равна $4$, а во втором — $6$. Степень $y$ в первом — $6$, а во втором — $4$. Так как буквенные части не совпадают, эти одночлены не являются подобными.
Ответ: пара $8x^4y^6$ и $8x^6y^4$ не является парой подобных одночленов.

4) $mn^3$ и $mn^2$

Буквенная часть первого одночлена — $mn^3$.
Буквенная часть второго одночлена — $mn^2$.
Степень переменной $m$ одинакова (равна $1$), но степень переменной $n$ различна ($3$ в первом случае и $2$ во втором). Таким образом, буквенные части не совпадают, и одночлены не являются подобными.
Ответ: пара $mn^3$ и $mn^2$ не является парой подобных одночленов.

5. Заполните таблицу.

Одночлен Стандартный вид одночлена Коэффициент одночлена Степень одночлена

$1,2c^4c^8$

$0,6m^2n^3 \cdot 4m^5n^2$

$-4x^2 \cdot 0,5xy \cdot 5y^6$

$\frac{2}{7}a \cdot 3,5b$

$-1,6x^3y^6 \cdot 0,5x^2y^5$

$-\frac{1}{6}p^4 \cdot (-42k) \cdot 4p^2k^7$

$1,2c^4c^8$

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, необходимо перемножить степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели. Числовой множитель при этом ставится на первое место.
Выполним умножение степеней: $c^4 \cdot c^8 = c^{4+8} = c^{12}$.
Стандартный вид одночлена: $1,2c^{12}$.
Коэффициент одночлена — это числовой множитель в его стандартном виде. В данном случае он равен $1,2$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Здесь одна переменная $c$ со степенью $12$, поэтому степень одночлена равна $12$.

Ответ: Стандартный вид: $1,2c^{12}$, Коэффициент: $1,2$, Степень: $12$.

$0,6m^2n^3 \cdot 4m^5n^2$

Чтобы привести одночлен к стандартному виду, перемножим отдельно числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.
Числовые множители: $0,6 \cdot 4 = 2,4$.
Степени с основанием $m$: $m^2 \cdot m^5 = m^{2+5} = m^7$.
Степени с основанием $n$: $n^3 \cdot n^2 = n^{3+2} = n^5$.
Стандартный вид одночлена: $2,4m^7n^5$.
Коэффициент одночлена: $2,4$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней переменных $m$ и $n$: $7 + 5 = 12$.

Ответ: Стандартный вид: $2,4m^7n^5$, Коэффициент: $2,4$, Степень: $12$.

$-4x^2 \cdot 0,5xy \cdot 5y^6$

Приводим одночлен к стандартному виду, перемножая числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.
Числовые множители: $-4 \cdot 0,5 \cdot 5 = -2 \cdot 5 = -10$.
Степени с основанием $x$: $x^2 \cdot x = x^{2+1} = x^3$.
Степени с основанием $y$: $y \cdot y^6 = y^{1+6} = y^7$.
Стандартный вид одночлена: $-10x^3y^7$.
Коэффициент одночлена: $-10$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней переменных $x$ и $y$: $3 + 7 = 10$.

Ответ: Стандартный вид: $-10x^3y^7$, Коэффициент: $-10$, Степень: $10$.

$\frac{2}{7}a \cdot 3,5b$

Приводим одночлен к стандартному виду. Для удобства вычислений представим десятичную дробь $3,5$ в виде обыкновенной дроби: $3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
Перемножим числовые коэффициенты: $\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2} = 1$.
Переменные $a$ и $b$ уже записаны в стандартной форме.
Стандартный вид одночлена: $1 \cdot ab = ab$.
Коэффициент одночлена: $1$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней переменных $a$ и $b$. Так как $ab = a^1b^1$, степень равна $1 + 1 = 2$.

Ответ: Стандартный вид: $ab$, Коэффициент: $1$, Степень: $2$.

$-1,6x^3y^6 \cdot 0,5x^2y^5$

Приводим одночлен к стандартному виду, перемножая числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.
Числовые множители: $-1,6 \cdot 0,5 = -0,8$.
Степени с основанием $x$: $x^3 \cdot x^2 = x^{3+2} = x^5$.
Степени с основанием $y$: $y^6 \cdot y^5 = y^{6+5} = y^{11}$.
Стандартный вид одночлена: $-0,8x^5y^{11}$.
Коэффициент одночлена: $-0,8$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней переменных $x$ и $y$: $5 + 11 = 16$.

Ответ: Стандартный вид: $-0,8x^5y^{11}$, Коэффициент: $-0,8$, Степень: $16$.

$-\frac{1}{6}p^4 \cdot (-42k) \cdot 4p^2k^7$

Приводим одночлен к стандартному виду, перемножая числовые множители и степени с одинаковыми основаниями.
Числовые множители: $-\frac{1}{6} \cdot (-42) \cdot 4 = \frac{42}{6} \cdot 4 = 7 \cdot 4 = 28$.
Степени с основанием $p$: $p^4 \cdot p^2 = p^{4+2} = p^6$.
Степени с основанием $k$: $k \cdot k^7 = k^{1+7} = k^8$.
Стандартный вид одночлена: $28p^6k^8$.
Коэффициент одночлена: $28$.
Степень одночлена — это сумма показателей степеней переменных $p$ и $k$: $6 + 8 = 14$.

Ответ: Стандартный вид: $28p^6k^8$, Коэффициент: $28$, Степень: $14$.

9. Постройте график уравнения $0,4x = -2$.

Решение.

Имеем: $x = $

Следовательно, графиком этого

уравнения является

проходящая через точку

($\_\_\_\_\_$; $\_\_\_\_\_$) оси абсцисс.

Для построения графика уравнения $0,4x = -2$ необходимо сначала найти, чему равен $x$. Решим данное уравнение.

$0,4x = -2$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $0,4$:

$x = \frac{-2}{0,4}$

Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель дроби на 10, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:

$x = \frac{-2 \cdot 10}{0,4 \cdot 10} = \frac{-20}{4}$

$x = -5$

Теперь, зная значение $x$, мы можем описать график и заполнить пропуски в задании.

Имеем: $x = -5$.

Уравнение вида $x = c$, где $c$ — константа, задает на координатной плоскости множество всех точек, у которых абсцисса (координата $x$) равна -5. Координата $y$ при этом может быть любой. Графиком такого уравнения всегда является вертикальная прямая, параллельная оси ординат ($Oy$).

Следовательно, графиком этого уравнения является прямая, параллельная оси ординат,

Эта прямая пересекает ось абсцисс ($Ox$) в точке, где координата $x$ равна -5. Координата $y$ на оси абсцисс всегда равна 0.

проходящая через точку $(-5; 0)$ оси абсцисс.

Для построения графика на координатной плоскости нужно найти на оси $x$ отметку -5 и провести через эту точку вертикальную прямую.

Ответ: Графиком уравнения $0,4x = -2$ является вертикальная прямая, заданная уравнением $x = -5$. Эта прямая параллельна оси $y$ и пересекает ось $x$ в точке с координатами $(-5; 0)$.