Страница 40 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Значения переменных m и n таковы, что $7m^3n^4 = 8$. Найдите значение выражения $28m^9n^{12}$.

Решение.

Имеем: $28m^9n^{12} = \frac{4}{49} \cdot 343m^9n^{12} = $

Ответ:

Решение.

По условию задачи дано равенство $7m^3n^4 = 8$. Необходимо найти значение выражения $28m^9n^{12}$.

Заметим, что показатели степеней у переменных в искомом выражении ($m^9$ и $n^{12}$) в 3 раза больше, чем в данном ($m^3$ и $n^4$). Это указывает на необходимость возвести данное равенство в третью степень.

Возведем обе части равенства $7m^3n^4 = 8$ в куб:

$(7m^3n^4)^3 = 8^3$

Применяя свойства степеней, получаем:

$7^3 \cdot (m^3)^3 \cdot (n^4)^3 = 512$

$343m^9n^{12} = 512$

Теперь выразим искомое выражение $28m^9n^{12}$ через полученное. Для этого преобразуем его, выделив множитель $343m^9n^{12}$:

$28m^9n^{12} = \frac{28}{343} \cdot (343m^9n^{12})$

Сократим числовой коэффициент: $\frac{28}{343} = \frac{4 \cdot 7}{49 \cdot 7} = \frac{4}{49}$.

Подставим известные значения и вычислим результат:

$28m^9n^{12} = \frac{4}{49} \cdot 512 = \frac{2048}{49}$.

Ответ: $\frac{2048}{49}$

12. Значения переменных $a, b$ и $c$ таковы, что $3a^3b = 10, a^2c = 7$. Найдите значение выражения:

1) $15a^5bc$

2) $6a^7bc^2$

1) $15a^5bc$

Нам даны два равенства: $3a^3b = 10$ и $a^2c = 7$.

Из первого равенства можно выразить комбинацию $a^3b$:
$a^3b = \frac{10}{3}$.

Теперь преобразуем выражение, значение которого нужно найти, $15a^5bc$. Цель — представить его через известные нам части $a^3b$ и $a^2c$.
Используя свойство степеней $a^5 = a^3 \cdot a^2$, перепишем выражение:

$15a^5bc = 15 \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot b \cdot c$.

Сгруппируем множители так, чтобы получить известные комбинации:
$15 \cdot (a^3b) \cdot (a^2c)$.

Подставим известные значения $a^3b = \frac{10}{3}$ и $a^2c = 7$ в полученное выражение и вычислим:
$15 \cdot \left(\frac{10}{3}\right) \cdot 7 = \frac{15}{3} \cdot 10 \cdot 7 = 5 \cdot 10 \cdot 7 = 350$.

Ответ: 350

2) $6a^7bc^2$

Используем те же исходные данные: $a^3b = \frac{10}{3}$ и $a^2c = 7$.

Преобразуем выражение $6a^7bc^2$, представив его через известные нам комбинации. Для этого разложим $a^7$ как $a^3 \cdot a^4$ и сгруппируем множители:
$6a^7bc^2 = 6 \cdot (a^3b) \cdot (a^4c^2)$.

Заметим, что второй множитель $a^4c^2$ можно также выразить через известное значение, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a^4c^2 = (a^2)^2c^2 = (a^2c)^2$.
Таким образом, наше выражение принимает вид: $6 \cdot (a^3b) \cdot (a^2c)^2$.

Подставим числовые значения $a^3b = \frac{10}{3}$ и $a^2c = 7$ и вычислим результат:
$6 \cdot \left(\frac{10}{3}\right) \cdot (7)^2 = 6 \cdot \frac{10}{3} \cdot 49 = \frac{6}{3} \cdot 10 \cdot 49 = 2 \cdot 10 \cdot 49 = 980$.

Ответ: 980

1. Заполните пропуски.

1) Многочленом называют выражение, которое является _______.

2) Членами многочлена называют _______.

3) Многочлен, состоящий из двух членов, называют _______, а из трёх членов — _______.

4) Многочлен, состоящий из _______, среди которых _______ называют многочленом стандартного вида.

5) Степенью многочлена стандартного вида называют _______

1) Многочленом называют выражение, которое является суммой одночленов.
Ответ: суммой одночленов.

2) Членами многочлена называют одночлены, из которых он состоит.
Ответ: одночлены, из которых он состоит.

3) Многочлен, состоящий из двух членов, называют двучленом, а из трёх членов — трёхчленом.
Ответ: двучленом, трёхчленом.

4) Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных членов, называют многочленом стандартного вида.
Ответ: одночленов стандартного вида, нет подобных членов.

5) Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.
Ответ: наибольшую из степеней входящих в него одночленов.

12. При каком значении с графики уравнений $9x - 4y = -24$ и $7x + 2y = c$ пересекаются в точке, принадлежащей оси ординат?

Решение.

Найдём точку пересечения прямой $9x - 4y = -24$ с осью ординат:

По условию задачи, графики двух уравнений пересекаются в точке, которая принадлежит оси ординат. Любая точка, лежащая на оси ординат (оси $y$), имеет координату $x$, равную нулю.

Сначала найдем координаты этой точки пересечения, используя первое уравнение $9x - 4y = -24$, так как оно не содержит неизвестного параметра $c$. Подставим в него значение $x=0$:

$9 \cdot 0 - 4y = -24$

$-4y = -24$

$y = \frac{-24}{-4}$

$y = 6$

Таким образом, точка пересечения графиков имеет координаты $(0; 6)$.

Теперь, зная точку пересечения, мы можем найти значение параметра $c$. Поскольку точка $(0; 6)$ также принадлежит графику второго уравнения $7x + 2y = c$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим значения $x=0$ и $y=6$ во второе уравнение:

$7 \cdot 0 + 2 \cdot 6 = c$

$0 + 12 = c$

$c = 12$

Следовательно, при $c=12$ графики данных уравнений пересекаются на оси ординат.

Ответ: 12.

13. При каком значении $a$ график уравнения $ax - 8y = 10$ не пересекает ось абсцисс?

График уравнения представляет собой прямую линию. Условие, что график не пересекает ось абсцисс (ось Ox), означает, что эта прямая должна быть параллельна оси абсцисс.

Прямая параллельна оси абсцисс, если она является горизонтальной. Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это константа. В общем виде уравнения прямой $y = kx + b$ это соответствует нулевому угловому коэффициенту, то есть $k = 0$.

Чтобы найти угловой коэффициент, преобразуем данное уравнение $ax - 8y = 10$ к виду $y = kx + b$. Для этого выразим $y$ через $x$:

$ax - 8y = 10$
$-8y = -ax + 10$
Умножим обе части на $-1$:
$8y = ax - 10$
Разделим обе части на $8$:
$y = \frac{a}{8}x - \frac{10}{8}$
$y = \frac{a}{8}x - \frac{5}{4}$

В этом уравнении угловой коэффициент $k$ равен $\frac{a}{8}$.

Чтобы прямая была параллельна оси абсцисс, её угловой коэффициент должен быть равен нулю:
$k = \frac{a}{8} = 0$

Из этого уравнения следует, что $a = 0$.

При $a=0$ исходное уравнение принимает вид $0 \cdot x - 8y = 10$, или $-8y = 10$, откуда $y = -\frac{10}{8} = -\frac{5}{4}$. Это уравнение горизонтальной прямой, которая параллельна оси абсцисс и никогда её не пересекает.

Ответ: $0$

14. Составьте уравнение с двумя переменными по условию.

1) Теплоход шёл 3 ч против течения реки со скоростью $x$ км/ч и 5 ч по течению реки со скоростью $y$ км/ч, причём по течению он прошёл на 24 км больше, чем против течения.

2) За 4,8 кг яблок по цене $x$ р. за килограмм и 2,4 кг груш по цене $y$ р. за килограмм заплатили 216 р.

3) Смешав $x$ г восьмипроцентного раствора соли и $y$ г двадцатипроцентного раствора, получили раствор, содержащий 200 г соли.

1) Чтобы составить уравнение, сначала найдём расстояние, пройденное теплоходом против течения и по течению реки. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Расстояние, пройденное против течения, равно произведению скорости против течения $x$ км/ч на время 3 ч: $S_{против} = 3x$ км.

Расстояние, пройденное по течению, равно произведению скорости по течению $y$ км/ч на время 5 ч: $S_{по} = 5y$ км.

По условию, расстояние, пройденное по течению, на 24 км больше, чем расстояние, пройденное против течения. Это можно записать в виде равенства: $S_{по} = S_{против} + 24$.

Подставляя выражения для расстояний, получаем уравнение: $5y = 3x + 24$. Его можно записать в стандартном виде, перенеся слагаемое с $x$ в левую часть.

Ответ: $5y - 3x = 24$

2) Для составления уравнения нужно выразить общую стоимость покупки. Стоимость каждого товара равна произведению его цены за килограмм на массу.

Стоимость 4,8 кг яблок по цене $x$ р. за килограмм составляет $4.8x$ р.

Стоимость 2,4 кг груш по цене $y$ р. за килограмм составляет $2.4y$ р.

Общая стоимость покупки — это сумма стоимостей яблок и груш. По условию, она равна 216 р. Следовательно, мы можем составить уравнение, приравняв сумму стоимостей к общей сумме.

Ответ: $4.8x + 2.4y = 216$

3) Чтобы составить уравнение, нужно найти массу соли в каждом растворе и приравнять их сумму к общей массе соли в конечном растворе.

Масса соли в первом растворе (восьмипроцентном) составляет 8% от его общей массы $x$ г. Чтобы найти долю, нужно перевести проценты в десятичную дробь: $8\% = 0.08$. Таким образом, масса соли в первом растворе равна $0.08x$ г.

Аналогично, масса соли во втором растворе (двадцатипроцентном) составляет 20% от его общей массы $y$ г. $20\% = 0.2$. Таким образом, масса соли во втором растворе равна $0.2y$ г.

При смешивании этих двух растворов общая масса соли в полученном растворе будет суммой масс соли из первого и второго растворов. По условию, эта масса равна 200 г.

Ответ: $0.08x + 0.2y = 200$