Страница 46 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

9. Заполните пропуск таким многочленом, чтобы после приведения подобных членов полученный многочлен не содержал:

1) членов с переменной x:

$3x^2 - 5xy + y^2 + 8 + \underline{\hspace{3em}}$

2) членов с $x^2$:

$4x^2y - 7x^2 + y - 8x + 19 + \underline{\hspace{3em}}$

1) членов с переменной x:

Дан многочлен $3x^2 - 5xy + y^2 + 8$. Чтобы в итоговом многочлене после приведения подобных членов не было членов с переменной $x$, нам необходимо добавить такой многочлен, который при сложении с исходным полностью сократит все члены, содержащие переменную $x$.

В исходном многочлене члены с переменной $x$ — это $3x^2$ и $-5xy$. Для их сокращения (уничтожения) необходимо прибавить многочлен, состоящий из членов, противоположных данным. Противоположным членом для $3x^2$ является $-3x^2$. Противоположным членом для $-5xy$ является $+5xy$.

Таким образом, многочлен, который нужно вписать в пропуск, — это $-3x^2 + 5xy$. Выполним проверку, сложив исходный многочлен с найденным: $(3x^2 - 5xy + y^2 + 8) + (-3x^2 + 5xy)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены: $3x^2 - 5xy + y^2 + 8 - 3x^2 + 5xy = (3x^2 - 3x^2) + (-5xy + 5xy) + y^2 + 8 = 0 + 0 + y^2 + 8 = y^2 + 8$. Полученный многочлен $y^2 + 8$ не содержит членов с переменной $x$, что и требовалось.

Ответ: $-3x^2 + 5xy$.

2) членов с $x^2$:

Дан многочлен $4x^2y - 7x^2 + y - 8x + 19$. Чтобы в итоговом многочлене после приведения подобных членов не было членов, содержащих $x^2$, нам необходимо добавить такой многочлен, который при сложении с исходным полностью сократит все члены с $x^2$.

В исходном многочлене члены, содержащие $x^2$, — это $4x^2y$ и $-7x^2$. Для их сокращения необходимо прибавить многочлен, состоящий из членов, противоположных данным. Противоположным членом для $4x^2y$ является $-4x^2y$. Противоположным членом для $-7x^2$ является $+7x^2$.

Таким образом, многочлен, который нужно вписать в пропуск, — это $-4x^2y + 7x^2$. Выполним проверку, сложив исходный многочлен с найденным: $(4x^2y - 7x^2 + y - 8x + 19) + (-4x^2y + 7x^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные члены: $4x^2y - 7x^2 + y - 8x + 19 - 4x^2y + 7x^2 = (4x^2y - 4x^2y) + (-7x^2 + 7x^2) + y - 8x + 19 = 0 + 0 + y - 8x + 19 = y - 8x + 19$. Полученный многочлен $y - 8x + 19$ не содержит членов с $x^2$, что и требовалось.

Ответ: $-4x^2y + 7x^2$.

10. Докажите, что значение выражения $(16 - 13n) - (6 + 7n)$ кратно 5 при любом натуральном значении $n$.

Решение.

Упростим данное выражение:

$(16 - 13n) - (6 + 7n) = $

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения кратно 5 при любом натуральном значении $n$, необходимо это выражение упростить.

Упростим данное выражение:

Исходное выражение: $(16 - 13n) - (6 + 7n)$.

Сначала раскроем скобки. Перед второй скобкой стоит знак «минус», поэтому при ее раскрытии знаки всех слагаемых внутри меняются на противоположные:

$(16 - 13n) - (6 + 7n) = 16 - 13n - 6 - 7n$

Теперь приведем подобные слагаемые, то есть сгруппируем и сложим отдельно числа и отдельно слагаемые, содержащие переменную $n$:

$(16 - 6) + (-13n - 7n) = 10 - 20n$

Чтобы доказать кратность выражения числу 5, вынесем общий множитель 5 за скобки:

$10 - 20n = 5 \cdot 2 - 5 \cdot 4n = 5(2 - 4n)$

В получившемся выражении $5(2 - 4n)$ один из множителей равен 5. По условию, $n$ — натуральное число, то есть $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$. Следовательно, выражение в скобках $(2 - 4n)$ всегда будет целым числом. Произведение числа 5 на любое целое число всегда делится на 5 без остатка.

Таким образом, мы доказали, что значение выражения $(16 - 13n) - (6 + 7n)$ кратно 5 при любом натуральном $n$.

Ответ: Упрощенное выражение имеет вид $5(2 - 4n)$. Поскольку один из множителей равен 5, а второй множитель $(2 - 4n)$ является целым числом при любом натуральном $n$, то все выражение кратно 5, что и требовалось доказать.

11. Чему равен остаток при делении на 6 значения выражения $(11m + 4) - (5m - 5)$, где m – произвольное натуральное число?

Чтобы найти остаток от деления значения выражения на 6, необходимо сначала упростить данное выражение.

Исходное выражение: $(11m + 4) - (5m - 5)$.

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак «минус», все знаки внутри нее изменятся на противоположные:
$11m + 4 - 5m + 5$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(11m - 5m) + (4 + 5) = 6m + 9$

Задача сводится к нахождению остатка от деления выражения $6m + 9$ на 6.

Рассмотрим полученное выражение. Слагаемое $6m$ при любом натуральном значении $m$ делится на 6 без остатка. Значит, остаток от деления всего выражения на 6 будет зависеть только от второго слагаемого, то есть от числа 9.

Найдем остаток от деления 9 на 6:
$9 = 6 \cdot 1 + 3$
При делении 9 на 6 получается 1 и 3 в остатке.

Таким образом, можно переписать исходное выражение в следующем виде:
$6m + 9 = 6m + 6 + 3 = 6(m+1) + 3$
Из этой записи видно, что выражение представляет собой число, кратное 6 (то есть $6(m+1)$), к которому прибавили 3. Следовательно, остаток от деления на 6 всегда будет равен 3.

Ответ: 3

12. Докажите, что сумма трёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 3, но не делится нацело на 6.

Решение.

Пусть первое из этих чисел равно $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число. Тогда следующими двумя числами соответственно являются

Пусть первое из этих чисел равно $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число. Тогда следующими двумя последовательными нечётными числами соответственно являются $(2n - 1) + 2 = 2n + 1$ и $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$.

Найдем сумму $S$ этих трёх чисел:

$S = (2n - 1) + (2n + 1) + (2n + 3) = 6n + 3$.

Докажем, что сумма делится на 3.

Вынесем общий множитель 3 за скобки в выражении для суммы: $S = 3(2n + 1)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $(2n + 1)$ также является натуральным числом. Так как сумма $S$ представляется в виде произведения числа 3 и натурального числа, она делится нацело на 3.

Докажем, что сумма не делится на 6.

Чтобы число делилось нацело на 6, оно должно делиться одновременно и на 2, и на 3. Мы уже доказали, что сумма делится на 3. Проверим, делится ли она на 2.

Сумма $S = 6n + 3$. Слагаемое $6n$ является чётным для любого натурального $n$, так как оно кратно 2. Слагаемое 3 — нечётное. Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.

Поскольку сумма $S$ является нечётным числом, она не может делиться нацело на 2. А если число не делится на 2, оно не может делиться и на 6.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма трёх последовательных нечётных натуральных чисел, равная $3(2n+1)$, всегда делится на 3, но является нечётным числом, поэтому не делится на 2 и, следовательно, не делится на 6.

3. На рисунке изображены прямые $2x + y = 1$ и $x + 2y = 5$.

Они пересекаются в точке с координатами (___; ___). Эта пара чисел является решением системы

уравнений $ \begin{cases} 2x + y = 1 \\ x + 2y = 5 \end{cases} $

Выполним проверку:

___

___

___

___

На рисунке изображены прямые $2x + y = 1$ и $x + 2y = 5$. Они пересекаются в точке с координатами ($-1$; $3$). Эта пара чисел является решением системы уравнений $$ \begin{cases} 2x + y = 1, \\ x + 2y = 5. \end{cases} $$

Выполним проверку:
Подставим найденные координаты точки пересечения $x = -1$ и $y = 3$ в каждое из уравнений системы.
Для первого уравнения $2x + y = 1$:
$2 \cdot (-1) + 3 = -2 + 3 = 1$
$1 = 1$ (верно).
Для второго уравнения $x + 2y = 5$:
$(-1) + 2 \cdot 3 = -1 + 6 = 5$
$5 = 5$ (верно).
Так как оба равенства верны, пара чисел ($-1$; $3$) действительно является решением системы уравнений.
Ответ: ($-1$; $3$).

4. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} 2x - y = 2, \\ x + y = 1; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

2) $\begin{cases} x - y = -2, \\ x - 6y = 8; \end{cases}$

Решение.

Ответ:

3) $\begin{cases} 5x - 3y = 3, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

Решение.

1) Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить график каждого уравнения в одной системе координат. Точка пересечения графиков и будет решением системы.

Первое уравнение: $2x - y = 2$. Выразим $y$ через $x$, чтобы получить уравнение функции: $y = 2x - 2$. Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем координаты двух точек:

• Если $x = 0$, то $y = 2 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
• Если $x = 1$, то $y = 2 \cdot 1 - 2 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Второе уравнение: $x + y = 1$. Выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$. Это также линейная функция. Найдем координаты двух точек для ее графика:

• Если $x = 0$, то $y = 1 - 0 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построим оба графика на координатной плоскости. Прямая $y = 2x - 2$ проходит через точки $(0, -2)$ и $(1, 0)$. Прямая $y = 1 - x$ проходит через точки $(0, 1)$ и $(1, 0)$. Графики пересекаются в точке с координатами $(1, 0)$. Это и есть решение системы.

Ответ: $(1, 0)$.

2) Решим графически систему уравнений: $\begin{cases} x - y = -2, \\ x - 6y = 8. \end{cases}$

Первое уравнение: $x - y = -2$. Выразим $y$ через $x$: $y = x + 2$. Это линейная функция. Найдем две точки для построения графика:

• Если $x = 0$, то $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.

Второе уравнение: $x - 6y = 8$. Выразим $y$ через $x$: $6y = x - 8$, откуда $y = \frac{1}{6}x - \frac{8}{6} = \frac{1}{6}x - \frac{4}{3}$. Найдем две точки для построения графика. Чтобы избежать дробей, удобно подбирать значения $x$, которые делятся на 6 или дают целые значения $y$.

• Если $x = 2$, то $y = \frac{1}{6} \cdot 2 - \frac{4}{3} = \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = -1$. Точка $(2, -1)$.
• Если $x = -4$, то $y = \frac{1}{6} \cdot (-4) - \frac{4}{3} = -\frac{4}{6} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(-4, -2)$.

Построим графики этих функций. Прямая $y = x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(-2, 0)$. Прямая $y = \frac{1}{6}x - \frac{4}{3}$ проходит через точки $(2, -1)$ и $(-4, -2)$. Точка пересечения графиков имеет координаты $(-4, -2)$.

Ответ: $(-4, -2)$.

3) Решим графически систему уравнений: $\begin{cases} 5x - 3y = 3, \\ 3x - y = 5. \end{cases}$

Первое уравнение: $5x - 3y = 3$. Выразим $y$ через $x$: $3y = 5x - 3$, откуда $y = \frac{5}{3}x - 1$. Найдем две точки для построения графика. Чтобы получить целые координаты, подберем $x$ кратное 3.

• Если $x = 0$, то $y = \frac{5}{3} \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Если $x = 3$, то $y = \frac{5}{3} \cdot 3 - 1 = 5 - 1 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Второе уравнение: $3x - y = 5$. Выразим $y$ через $x$: $y = 3x - 5$. Найдем две точки для построения графика:

• Если $x = 2$, то $y = 3 \cdot 2 - 5 = 1$. Точка $(2, 1)$.
• Если $x = 3$, то $y = 3 \cdot 3 - 5 = 4$. Точка $(3, 4)$.

Построим графики. Прямая $y = \frac{5}{3}x - 1$ проходит через точки $(0, -1)$ и $(3, 4)$. Прямая $y = 3x - 5$ проходит через точки $(2, 1)$ и $(3, 4)$. Графики пересекаются в точке с координатами $(3, 4)$.

Ответ: $(3, 4)$.