Страница 51 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

8. Решите уравнение:

1) $ \frac{x+1}{6} - \frac{x}{9} = 1; $

Решение.

Умножив обе части данного уравнения на число 18, являющееся наименьшим общим знаменателем дробей, содержащихся в этом уравнении, получаем: $ \left(\frac{x+1}{6} - \frac{x}{9}\right) \cdot 18 = 1 \cdot 18; $

$ 18 \cdot \frac{x+1}{6} - 18 \cdot \frac{x}{9} = 18; $

Ответ:

2) $ \frac{8x-3}{7} - \frac{3x+1}{10} = 2; $

3) $ \frac{2x-3}{8} + \frac{1-5x}{6} = 3; $

Решение.

Ответ:

4) $ x - \frac{5x+2}{8} = \frac{6x+7}{4}. $

1) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{6} - \frac{x}{9} = 1 $.
Чтобы избавиться от дробей, найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 9. Это число 18.
Умножим обе части уравнения на 18:
$ 18 \cdot \left( \frac{x+1}{6} - \frac{x}{9} \right) = 1 \cdot 18 $
$ \frac{18(x+1)}{6} - \frac{18x}{9} = 18 $
Сократим дроби:
$ 3(x+1) - 2x = 18 $
Раскроем скобки:
$ 3x + 3 - 2x = 18 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (3x - 2x) + 3 = 18 $
$ x + 3 = 18 $
Перенесем 3 в правую часть с противоположным знаком:
$ x = 18 - 3 $
$ x = 15 $
Ответ: 15

2) Исходное уравнение: $ \frac{8x-3}{7} - \frac{3x+1}{10} = 2 $.
Наименьший общий знаменатель для 7 и 10 равен 70.
Умножим обе части уравнения на 70:
$ 70 \cdot \left( \frac{8x-3}{7} - \frac{3x+1}{10} \right) = 2 \cdot 70 $
$ \frac{70(8x-3)}{7} - \frac{70(3x+1)}{10} = 140 $
Сократим дроби:
$ 10(8x-3) - 7(3x+1) = 140 $
Раскроем скобки:
$ 80x - 30 - 21x - 7 = 140 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (80x - 21x) + (-30 - 7) = 140 $
$ 59x - 37 = 140 $
Перенесем -37 в правую часть с противоположным знаком:
$ 59x = 140 + 37 $
$ 59x = 177 $
Найдем x:
$ x = \frac{177}{59} $
$ x = 3 $
Ответ: 3

3) Исходное уравнение: $ \frac{2x-3}{8} + \frac{1-5x}{6} = 3 $.
Наименьший общий знаменатель для 8 и 6 равен 24.
Умножим обе части уравнения на 24:
$ 24 \cdot \left( \frac{2x-3}{8} + \frac{1-5x}{6} \right) = 3 \cdot 24 $
$ \frac{24(2x-3)}{8} + \frac{24(1-5x)}{6} = 72 $
Сократим дроби:
$ 3(2x-3) + 4(1-5x) = 72 $
Раскроем скобки:
$ 6x - 9 + 4 - 20x = 72 $
Приведем подобные слагаемые:
$ (6x - 20x) + (-9 + 4) = 72 $
$ -14x - 5 = 72 $
Перенесем -5 в правую часть с противоположным знаком:
$ -14x = 72 + 5 $
$ -14x = 77 $
Найдем x:
$ x = \frac{77}{-14} $
Сократим дробь на 7:
$ x = -\frac{11}{2} $
$ x = -5.5 $
Ответ: -5.5

4) Исходное уравнение: $ x - \frac{5x+2}{8} = \frac{6x+7}{4} $.
Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 равен 8.
Умножим обе части уравнения на 8:
$ 8 \cdot \left( x - \frac{5x+2}{8} \right) = 8 \cdot \frac{6x+7}{4} $
$ 8x - \frac{8(5x+2)}{8} = \frac{8(6x+7)}{4} $
Сократим дроби:
$ 8x - (5x+2) = 2(6x+7) $
Раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед первой скобкой:
$ 8x - 5x - 2 = 12x + 14 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ 3x - 2 = 12x + 14 $
Перенесем слагаемые с x в одну сторону, а числа в другую:
$ 3x - 12x = 14 + 2 $
$ -9x = 16 $
Найдем x:
$ x = \frac{16}{-9} $
$ x = -\frac{16}{9} $
Ответ: $ -\frac{16}{9} $

10. К уравнению $3x - 2y = 24$ подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая:

1) имеет единственное решение:

$\begin{cases} 3x - 2y = 24, \\ \rule{3cm}{0.15mm}; \end{cases}$

2) имеет бесконечно много решений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 24, \\ \rule{3cm}{0.15mm}; \end{cases}$

3) не имеет решений:

$\begin{cases} 3x - 2y = 24, \\ \rule{3cm}{0.15mm}. \end{cases}$

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными в общем виде:

$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1 \\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$

Количество решений такой системы определяется соотношением её коэффициентов. Нам дано первое уравнение $3x - 2y = 24$, где $a_1=3$, $b_1=-2$ и $c_1=24$. Подберем второе уравнение $a_2x + b_2y = c_2$ для каждого из трех случаев.

1) имеет единственное решение:

Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда их угловые коэффициенты различны, что математически выражается условием $\frac{a_1}{a_2} \neq \frac{b_1}{b_2}$.

Нам нужно подобрать коэффициенты $a_2$ и $b_2$ так, чтобы выполнялось условие $\frac{3}{a_2} \neq \frac{-2}{b_2}$.

Проще всего выбрать коэффициенты, которые очевидно не пропорциональны исходным. Например, возьмем уравнение $x + y = 5$. В этом случае $a_2=1$ и $b_2=1$.

Проверим условие: $\frac{3}{1} \neq \frac{-2}{1}$, или $3 \neq -2$. Условие выполняется. Свободный член $c_2$ может быть любым.

Таким образом, система уравнений$\begin{cases}3x - 2y = 24, \\x + y = 5\end{cases}$имеет единственное решение.

Ответ: $x + y = 5$

2) имеет бесконечно много решений:

Система имеет бесконечно много решений, если оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Это означает, что коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого, то есть $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.

Чтобы получить такое уравнение, достаточно умножить исходное уравнение $3x - 2y = 24$ на любое ненулевое число $k$. Возьмем $k=2$.

$2 \cdot (3x - 2y) = 2 \cdot 24$

$6x - 4y = 48$

В этом случае $a_2=6$, $b_2=-4$, $c_2=48$. Проверим условие пропорциональности:

$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$; $\frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}$; $\frac{24}{48} = \frac{1}{2}$.

Так как $\frac{3}{6} = \frac{-2}{-4} = \frac{24}{48}$, система$\begin{cases}3x - 2y = 24, \\6x - 4y = 48\end{cases}$имеет бесконечно много решений.

Ответ: $6x - 4y = 48$

3) не имеет решений:

Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены этому отношению не соответствуют: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$.

Мы можем взять левую часть второго уравнения пропорциональной левой части первого, а правую часть — нет. Самый простой способ — скопировать левую часть и изменить правую. Пусть $a_2=3$ и $b_2=-2$. Тогда отношение коэффициентов при переменных будет равно 1: $\frac{3}{3} = \frac{-2}{-2} = 1$.

Теперь нужно выбрать свободный член $c_2$ так, чтобы отношение $\frac{c_1}{c_2}$ не было равно 1. То есть, $\frac{24}{c_2} \neq 1$, что означает $c_2 \neq 24$.

Выберем любое значение для $c_2$, кроме 24, например, $c_2=10$. Получаем уравнение $3x - 2y = 10$.

В этом случае система$\begin{cases}3x - 2y = 24, \\3x - 2y = 10\end{cases}$не имеет решений, так как $\frac{3}{3} = \frac{-2}{-2} = 1$, но $1 \neq \frac{24}{10}$. Условие выполнено.

Ответ: $3x - 2y = 10$

11. При каких значениях $a$ не имеет решений система уравнений $\begin{cases} 7x + 11y = 3, \\ 28x + 44y = a \end{cases}$?

Ответ: __________.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ данная система уравнений не имеет решений, проанализируем её структуру.

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} 7x + 11y = 3 \\ 28x + 44y = a \end{cases} $

Система линейных уравнений не имеет решений в том случае, если уравнения системы противоречат друг другу. Это происходит, когда при одинаковых левых частях правые части уравнений различны. Посмотрим, можно ли привести уравнения к такому виду.

Заметим, что коэффициенты при переменных $x$ и $y$ во втором уравнении пропорциональны коэффициентам в первом уравнении:

$ \frac{28}{7} = 4 $

$ \frac{44}{11} = 4 $

Оба коэффициента во втором уравнении в 4 раза больше, чем в первом. Умножим первое уравнение системы на 4, чтобы левые части уравнений стали одинаковыми.

$4 \cdot (7x + 11y) = 4 \cdot 3$

$28x + 44y = 12$

Теперь наша система эквивалентна следующей:

$ \begin{cases} 28x + 44y = 12 \\ 28x + 44y = a \end{cases} $

Левые части этих уравнений идентичны. Проанализируем возможные значения $a$.

1. Если правые части уравнений равны, то есть $a = 12$, система принимает вид:

$ \begin{cases} 28x + 44y = 12 \\ 28x + 44y = 12 \end{cases} $

В этом случае оба уравнения одинаковы. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений (любая пара чисел $(x, y)$, удовлетворяющая первому уравнению, будет удовлетворять и второму).

2. Если правые части уравнений не равны, то есть $a \neq 12$, система становится противоречивой. Мы получаем требование, чтобы выражение $28x + 44y$ было одновременно равно 12 и другому числу $a$, что невозможно. Например, если вычесть одно уравнение из другого, получится:

$(28x + 44y) - (28x + 44y) = 12 - a$

$0 = 12 - a$

Это равенство неверно при любом $a \neq 12$. Следовательно, в этом случае система несовместна и не имеет решений.

Таким образом, система уравнений не имеет решений при всех значениях $a$, для которых $a \neq 12$.

Ответ: $a \neq 12$.

12. При каких значениях $a$ имеет бесконечно много решений система уравнений:

1)

2)

Найдите какие-нибудь три решения системы.

1)

Система линейных уравнений имеет бесконечно много решений в том случае, когда уравнения системы эквивалентны. Это происходит, когда коэффициенты при соответствующих переменных и свободные члены пропорциональны.

Для системы $\begin{cases} x + 6y = 3 \\ 5x + 30y = a \end{cases}$ условие пропорциональности коэффициентов записывается так:

$\frac{1}{5} = \frac{6}{30} = \frac{3}{a}$

Проверим первую часть равенства: $\frac{6}{30}$ можно сократить на 6, что дает $\frac{1}{5}$. Таким образом, равенство $\frac{1}{5} = \frac{6}{30}$ является верным. Это означает, что прямые, соответствующие уравнениям, параллельны или совпадают.

Чтобы они совпадали (имели бесконечно много решений), найдем значение a из пропорции:

$\frac{1}{5} = \frac{3}{a}$

По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) получаем:

$1 \cdot a = 5 \cdot 3$

$a = 15$

При $a = 15$ второе уравнение системы ($5x + 30y = 15$) становится эквивалентным первому, так как его можно получить, умножив первое уравнение ($x + 6y = 3$) на 5.

Теперь найдем три любых решения системы. Для этого достаточно найти решения уравнения $x + 6y = 3$. Выразим x через y:

$x = 3 - 6y$

Подставим произвольные значения y, чтобы найти соответствующие значения x:

– при $y = 0$, $x = 3 - 6 \cdot 0 = 3$. Решение: $(3; 0)$.

– при $y = 1$, $x = 3 - 6 \cdot 1 = -3$. Решение: $(-3; 1)$.

– при $y = -1$, $x = 3 - 6 \cdot (-1) = 9$. Решение: $(9; -1)$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=15$. Три примера решений: $(3; 0)$, $(-3; 1)$, $(9; -1)$.

2)

Рассмотрим вторую систему уравнений: $\begin{cases} ax + 12y = 15 \\ 3x + 4y = 5 \end{cases}$.

Для того чтобы система имела бесконечно много решений, должно выполняться условие пропорциональности коэффициентов:

$\frac{a}{3} = \frac{12}{4} = \frac{15}{5}$

Вычислим значения известных отношений:

$\frac{12}{4} = 3$

$\frac{15}{5} = 3$

Поскольку отношения равны, условие для бесконечного числа решений сводится к нахождению такого a, при котором $\frac{a}{3}$ также будет равно 3.

$\frac{a}{3} = 3$

$a = 3 \cdot 3$

$a = 9$

При $a = 9$ первое уравнение системы ($9x + 12y = 15$) становится эквивалентным второму, так как его можно получить, умножив второе уравнение ($3x + 4y = 5$) на 3.

Теперь найдем три любых решения системы. Для этого будем использовать более простое уравнение $3x + 4y = 5$. Выразим y через x:

$4y = 5 - 3x$

$y = \frac{5 - 3x}{4}$

Подставим произвольные значения x, чтобы найти соответствующие значения y:

– при $x = 1$, $y = \frac{5 - 3 \cdot 1}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$. Решение: $(1; 0.5)$.

– при $x = -1$, $y = \frac{5 - 3 \cdot (-1)}{4} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$. Решение: $(-1; 2)$.

– при $x = 3$, $y = \frac{5 - 3 \cdot 3}{4} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$. Решение: $(3; -1)$.

Ответ: система имеет бесконечно много решений при $a=9$. Три примера решений: $(1; 0.5)$, $(-1; 2)$, $(3; -1)$.

13. Подберите такие значения $a$ и $b$, при которых система уравнений $\begin{cases} x + 2y = 5, \\ 2x - ay = b: \end{cases}$

1) имеет бесконечно много решений:

2) имеет единственное решение:

3) не имеет решений:

Для анализа системы линейных уравнений $\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x - ay = b \end{cases}$ удобно использовать соотношения коэффициентов. В общем виде для системы $\begin{cases} A_1x + B_1y = C_1 \\ A_2x + B_2y = C_2 \end{cases}$ количество решений зависит от соотношений $\frac{A_1}{A_2}$, $\frac{B_1}{B_2}$ и $\frac{C_1}{C_2}$.
В нашей системе: $A_1 = 1, B_1 = 2, C_1 = 5$ и $A_2 = 2, B_2 = -a, C_2 = b$.

1) имеет бесконечно много решений:
Система имеет бесконечно много решений, если графики уравнений (прямые) совпадают. Это происходит, когда все коэффициенты одного уравнения пропорциональны коэффициентам другого, то есть выполняется условие: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$
Подставим наши значения: $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a} = \frac{5}{b}$
Из первой части равенства $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a}$ находим $a$:
$1 \cdot (-a) = 2 \cdot 2 \implies -a = 4 \implies a = -4$.
Из второй части равенства $\frac{1}{2} = \frac{5}{b}$ находим $b$:
$1 \cdot b = 2 \cdot 5 \implies b = 10$.
Таким образом, при $a = -4$ и $b = 10$ система имеет бесконечное множество решений.
Ответ: $a = -4, b = 10$.

2) имеет единственное решение:
Система имеет единственное решение, если графики уравнений (прямые) пересекаются в одной точке. Это происходит, когда угловые коэффициенты прямых различны, что эквивалентно условию: $\frac{A_1}{A_2} \ne \frac{B_1}{B_2}$
Подставим наши значения: $\frac{1}{2} \ne \frac{2}{-a}$
Решим это неравенство: $1 \cdot (-a) \ne 2 \cdot 2 \implies -a \ne 4 \implies a \ne -4$.
Значение $b$ при этом может быть любым, так как оно не влияет на наклон прямых.
Ответ: $a \ne -4$, $b$ - любое число.

3) не имеет решений:
Система не имеет решений, если графики уравнений (прямые) параллельны, но не совпадают. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены - нет. Условие: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \ne \frac{C_1}{C_2}$
Подставим наши значения: $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a} \ne \frac{5}{b}$
Из равенства $\frac{1}{2} = \frac{2}{-a}$ мы уже знаем, что $a = -4$.
Теперь рассмотрим неравенство $\frac{1}{2} \ne \frac{5}{b}$ (или $\frac{2}{-a} \ne \frac{5}{b}$):
$1 \cdot b \ne 2 \cdot 5 \implies b \ne 10$.
Таким образом, при $a = -4$ и любом значении $b$, не равном 10, система не будет иметь решений.
Ответ: $a = -4, b \ne 10$.