Страница 49 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

3. Упростите выражение:

1) $a^2 - a(3a - 2) = a^2 - $

2) $3x(x - 3) - x(4 - x) = $

3) $6a^3(4a - 5) - 2a^2(12a^2 - 3) = $

1) Для упрощения выражения $a^2 - a(3a - 2)$ необходимо сначала раскрыть скобки. Для этого умножим одночлен $-a$ на каждый член многочлена в скобках $(3a - 2)$.
$a^2 - a(3a - 2) = a^2 - (a \cdot 3a + a \cdot (-2)) = a^2 - (3a^2 - 2a)$.
Теперь раскроем скобки, изменив знаки на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:
$a^2 - 3a^2 + 2a$.
Далее приводим подобные слагаемые. Слагаемые с $a^2$ являются подобными.
$(1 - 3)a^2 + 2a = -2a^2 + 2a$.
Ответ: $-2a^2 + 2a$

2) Чтобы упростить выражение $3x(x - 3) - x(4 - x)$, раскроем скобки в каждом слагаемом по отдельности, используя распределительный закон умножения.
Сначала раскроем первую скобку:
$3x(x - 3) = 3x \cdot x + 3x \cdot (-3) = 3x^2 - 9x$.
Затем раскроем вторую скобку:
$-x(4 - x) = -x \cdot 4 - x \cdot (-x) = -4x + x^2$.
Теперь объединим полученные выражения:
$3x^2 - 9x - 4x + x^2$.
Приведем подобные слагаемые, сгруппировав члены с одинаковой степенью переменной $x$:
$(3x^2 + x^2) + (-9x - 4x) = 4x^2 - 13x$.
Ответ: $4x^2 - 13x$

3) Для упрощения выражения $6a^3(4a - 5) - 2a^2(12a^2 - 3)$ раскроем скобки в каждом слагаемом.
Раскроем первую скобку:
$6a^3(4a - 5) = 6a^3 \cdot 4a + 6a^3 \cdot (-5) = 24a^{3+1} - 30a^3 = 24a^4 - 30a^3$.
Раскроем вторую скобку:
$-2a^2(12a^2 - 3) = -2a^2 \cdot 12a^2 - 2a^2 \cdot (-3) = -24a^{2+2} + 6a^2 = -24a^4 + 6a^2$.
Объединим результаты:
$24a^4 - 30a^3 - 24a^4 + 6a^2$.
Приведем подобные слагаемые. Члены $24a^4$ и $-24a^4$ взаимно уничтожаются.
$(24a^4 - 24a^4) - 30a^3 + 6a^2 = 0 - 30a^3 + 6a^2 = -30a^3 + 6a^2$.
Ответ: $-30a^3 + 6a^2$

4. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $-6m(3n - 8) + 2n(9m + 1)$ при $m = \frac{1}{3}$, $n = -5;$

$-6m(3n - 8) + 2n(9m + 1) = -18mn + 48m +$

2) $a(1 - a^2) - a^2(1 - a)$ при $a = -0.2.$

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член в скобках на множитель перед ними:

$-6m(3n - 8) + 2n(9m + 1) = (-6m \cdot 3n) + (-6m \cdot (-8)) + (2n \cdot 9m) + (2n \cdot 1) = -18mn + 48m + 18mn + 2n$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-18mn$ и $18mn$ взаимно уничтожаются:

$(-18mn + 18mn) + 48m + 2n = 0 + 48m + 2n = 48m + 2n$

Теперь подставим заданные значения $m = \frac{1}{3}$ и $n = -5$ в упрощенное выражение:

$48m + 2n = 48 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot (-5) = \frac{48}{3} - 10 = 16 - 10 = 6$

Ответ: 6

2) Сначала упростим выражение, раскрыв скобки:

$a(1 - a^2) - a^2(1 - a) = (a \cdot 1 - a \cdot a^2) - (a^2 \cdot 1 - a^2 \cdot a) = a - a^3 - a^2 + a^3$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-a^3$ и $a^3$ взаимно уничтожаются:

$a - a^2 + (-a^3 + a^3) = a - a^2$

Теперь подставим значение $a = -0,2$ в упрощенное выражение:

$a - a^2 = (-0,2) - (-0,2)^2 = -0,2 - 0,04 = -0,24$

Ответ: -0,24

5. Решите уравнение:

$1) 1,4x(3 + 5x) = 2x(3,5x - 2) - 4,1;$

Решение.

Ответ:

$2) 6x(6x - 1) - 4x(9x + 8) = 25 - 23x.$

1) $1,4x(3 + 5x) = 2x(3,5x - 2) - 4,1$

Сначала раскроем скобки в обеих частях уравнения, используя распределительный закон умножения (умножаем множитель перед скобкой на каждый член внутри скобки).

Для левой части: $1,4x \cdot 3 + 1,4x \cdot 5x = 4,2x + 7x^2$.

Для правой части: $2x \cdot 3,5x - 2x \cdot 2 - 4,1 = 7x^2 - 4x - 4,1$.

Теперь уравнение выглядит так:

$4,2x + 7x^2 = 7x^2 - 4x - 4,1$

Перенесем все члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения оставим в правой. Член $7x^2$ есть в обеих частях уравнения с одинаковым знаком, поэтому при переносе он сократится ($7x^2 - 7x^2 = 0$).

$4,2x + 4x = -4,1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$8,2x = -4,1$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8,2:

$x = \frac{-4,1}{8,2}$

Мы можем умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$x = -\frac{41}{82}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 41:

$x = -\frac{1}{2} = -0,5$

Ответ: -0,5.

2) $6x(6x - 1) - 4x(9x + 8) = 25 - 23x$

Раскроем скобки в левой части уравнения.

Первые скобки: $6x \cdot 6x - 6x \cdot 1 = 36x^2 - 6x$.

Вторые скобки (обращаем внимание на знак "минус" перед $4x$): $-4x \cdot 9x - 4x \cdot 8 = -36x^2 - 32x$.

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$36x^2 - 6x - 36x^2 - 32x = 25 - 23x$

Приведем подобные слагаемые в левой части. Члены $36x^2$ и $-36x^2$ взаимно уничтожаются.

$-6x - 32x = -38x$

Уравнение принимает вид:

$-38x = 25 - 23x$

Перенесем член $-23x$ из правой части в левую, изменив его знак на противоположный:

$-38x + 23x = 25$

Сложим слагаемые с $x$:

$-15x = 25$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на -15:

$x = \frac{25}{-15}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$x = -\frac{5}{3}$

Можно также представить ответ в виде смешанной дроби: $x = -1\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{5}{3}$.

7. Установите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} 4x - y = 5, \\ 3x + 2y = 10; \end{cases}$

Ответ:

2) $\begin{cases} 3x - y = 4, \\ 3y - 9x = -12; \end{cases}$

Ответ:

3) $\begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 6y - 4x = -12. \end{cases}$

Ответ:

1) Чтобы графически определить количество решений системы, нужно построить графики каждого уравнения и найти количество их точек пересечения. Каждое линейное уравнение представляет собой прямую на плоскости.

Приведем оба уравнения к виду $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Первое уравнение: $4x - y = 5$. Выразим $y$ через $x$:

$y = 4x - 5$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_1 = 4$.

Второе уравнение: $3x + 2y = 10$. Выразим $y$ через $x$:

$2y = 10 - 3x$

$y = -\frac{3}{2}x + 5$

Это уравнение прямой с угловым коэффициентом $k_2 = -\frac{3}{2}$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых различны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются в одной точке. Следовательно, система имеет одно решение.

Ответ: одно решение.

2) Преобразуем оба уравнения системы к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $3x - y = 4$. Выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 4$

Угловой коэффициент $k_1 = 3$, свободный член $b_1 = -4$.

Второе уравнение: $3y - 9x = -12$. Выразим $y$ через $x$:

$3y = 9x - 12$

$y = \frac{9x - 12}{3}$

$y = 3x - 4$

Угловой коэффициент $k_2 = 3$, свободный член $b_2 = -4$.

Так как угловые коэффициенты ($k_1=k_2=3$) и свободные члены ($b_1=b_2=-4$) у обоих уравнений совпадают, то эти уравнения описывают одну и ту же прямую. Графики совпадают, а значит, система имеет бесконечное множество точек пересечения.

Ответ: бесконечно много решений.

3) Преобразуем оба уравнения системы к виду $y = kx + b$.

Первое уравнение: $2x - 3y = 6$. Выразим $y$ через $x$:

$-3y = -2x + 6$

$y = \frac{-2x + 6}{-3}$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Угловой коэффициент $k_1 = \frac{2}{3}$, свободный член $b_1 = -2$.

Второе уравнение: $6y - 4x = -12$. Выразим $y$ через $x$:

$6y = 4x - 12$

$y = \frac{4x - 12}{6}$

$y = \frac{2}{3}x - 2$

Угловой коэффициент $k_2 = \frac{2}{3}$, свободный член $b_2 = -2$.

Оба уравнения приводятся к одному и тому же виду. Это означает, что графики уравнений — совпадающие прямые. Система имеет бесконечно много общих точек.

Ответ: бесконечно много решений.