Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

6. Найдите значения многочленов при указанных значениях переменных и заполните таблицу.

Для того, чтобы найти значения многочленов, необходимо подставить заданные значения переменных $a$ и $b$ в каждое выражение и выполнить вычисления по порядку действий.

$4a^2 - b$

При $a = 0, b = 1$:
$4a^2 - b = 4 \cdot (0)^2 - 1 = 4 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$.

Ответ: -1.

При $a = -1, b = 0$:
$4a^2 - b = 4 \cdot (-1)^2 - 0 = 4 \cdot 1 - 0 = 4$.

Ответ: 4.

При $a = 3, b = -2$:
$4a^2 - b = 4 \cdot (3)^2 - (-2) = 4 \cdot 9 + 2 = 36 + 2 = 38$.

Ответ: 38.

$a^2 - ab + b^2$

При $a = 0, b = 1$:
$a^2 - ab + b^2 = (0)^2 - (0) \cdot 1 + (1)^2 = 0 - 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.

При $a = -1, b = 0$:
$a^2 - ab + b^2 = (-1)^2 - (-1) \cdot 0 + (0)^2 = 1 - 0 + 0 = 1$.

Ответ: 1.

При $a = 3, b = -2$:
$a^2 - ab + b^2 = (3)^2 - (3) \cdot (-2) + (-2)^2 = 9 - (-6) + 4 = 9 + 6 + 4 = 19$.

Ответ: 19.

$a^2b - ab^2$

При $a = 0, b = 1$:
$a^2b - ab^2 = (0)^2 \cdot 1 - (0) \cdot (1)^2 = 0 \cdot 1 - 0 \cdot 1 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0.

При $a = -1, b = 0$:
$a^2b - ab^2 = (-1)^2 \cdot 0 - (-1) \cdot (0)^2 = 1 \cdot 0 - (-1) \cdot 0 = 0 - 0 = 0$.

Ответ: 0.

При $a = 3, b = -2$:
$a^2b - ab^2 = (3)^2 \cdot (-2) - (3) \cdot (-2)^2 = 9 \cdot (-2) - 3 \cdot 4 = -18 - 12 = -30$.

Ответ: -30.

Заполненная таблица выглядит следующим образом:

7. Приведите подобные члены многочлена:

1) $4x - 3y^2 + 5x + 2y^2 = -y^2 + $

2) $-a^2 + a - 6a - 4a^2 = $

3) $c^2 + 8 - 9c^2 - 10 = $

4) $-2m + 4m^2 - m^3 + m + m^2 = $

5) $3x^2y - 3x^2y^2 - 3x^2y^2 + x^2y = $

6) $\frac{1}{3}a^2 + 4ab - \frac{5}{6}b^2 - 2\frac{2}{3}a^2 - ab - \frac{1}{6}b^2 = $

1) В многочлене $4x - 3y^2 + 5x + 2y^2$ есть две группы подобных членов: члены, содержащие переменную $x$ в первой степени, и члены, содержащие $y^2$. Подобные члены — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

Сгруппируем подобные члены: $(4x + 5x) + (-3y^2 + 2y^2)$.

Сложим коэффициенты в каждой группе:

$4x + 5x = (4 + 5)x = 9x$

$-3y^2 + 2y^2 = (-3 + 2)y^2 = -1y^2 = -y^2$

Запишем результат, объединив упрощенные члены: $9x - y^2$. Принято записывать члены многочлена в стандартном виде, например, в лексикографическом порядке или по убыванию степеней. В данном случае можно записать $-y^2 + 9x$.

Ответ: $-y^2 + 9x$

2) В многочлене $-a^2 + a - 6a - 4a^2$ есть две группы подобных членов: члены, содержащие $a^2$, и члены, содержащие $a$.

Сгруппируем их: $(-a^2 - 4a^2) + (a - 6a)$.

Выполним сложение в каждой группе:

$-a^2 - 4a^2 = (-1 - 4)a^2 = -5a^2$

$a - 6a = (1 - 6)a = -5a$

Результат после приведения подобных членов: $-5a^2 - 5a$.

Ответ: $-5a^2 - 5a$

3) В многочлене $c^2 + 8 - 9c^2 - 10$ подобными являются члены с $c^2$ и свободные члены (числа без буквенной части).

Сгруппируем их: $(c^2 - 9c^2) + (8 - 10)$.

Выполним действия в группах:

$c^2 - 9c^2 = (1 - 9)c^2 = -8c^2$

$8 - 10 = -2$

Результат: $-8c^2 - 2$.

Ответ: $-8c^2 - 2$

4) В многочлене $-2m + 4m^2 - m^3 + m + m^2$ есть члены с $m^3$, $m^2$ и $m$.

Сгруппируем подобные члены, расположив их по убыванию степеней переменной $m$: $-m^3 + (4m^2 + m^2) + (-2m + m)$.

Выполним действия в группах:

Член с $m^3$ только один: $-m^3$.

$4m^2 + m^2 = (4 + 1)m^2 = 5m^2$

$-2m + m = (-2 + 1)m = -m$

Запишем итоговый многочлен: $-m^3 + 5m^2 - m$.

Ответ: $-m^3 + 5m^2 - m$

5) В многочлене $3x^2y - 3x^2y^2 - 3x^2y^2 + x^2y$ есть две группы подобных членов: с буквенной частью $x^2y$ и с буквенной частью $x^2y^2$.

Сгруппируем их: $(3x^2y + x^2y) + (-3x^2y^2 - 3x^2y^2)$.

Сложим коэффициенты в каждой группе:

$3x^2y + x^2y = (3 + 1)x^2y = 4x^2y$

$-3x^2y^2 - 3x^2y^2 = (-3 - 3)x^2y^2 = -6x^2y^2$

Результат: $4x^2y - 6x^2y^2$.

Ответ: $4x^2y - 6x^2y^2$

6) В многочлене $\frac{1}{3}a^2 + 4ab - \frac{5}{6}b^2 - 2\frac{2}{3}a^2 - ab - \frac{1}{6}b^2$ есть три группы подобных членов: с $a^2$, с $ab$ и с $b^2$.

Сначала преобразуем смешанную дробь $2\frac{2}{3}$ в неправильную: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

Теперь выражение выглядит так: $\frac{1}{3}a^2 + 4ab - \frac{5}{6}b^2 - \frac{8}{3}a^2 - ab - \frac{1}{6}b^2$.

Сгруппируем подобные члены: $(\frac{1}{3}a^2 - \frac{8}{3}a^2) + (4ab - ab) + (-\frac{5}{6}b^2 - \frac{1}{6}b^2)$.

Выполним действия в каждой группе:

$\frac{1}{3}a^2 - \frac{8}{3}a^2 = (\frac{1}{3} - \frac{8}{3})a^2 = -\frac{7}{3}a^2$

$4ab - ab = (4 - 1)ab = 3ab$

$-\frac{5}{6}b^2 - \frac{1}{6}b^2 = (-\frac{5}{6} - \frac{1}{6})b^2 = -\frac{6}{6}b^2 = -b^2$

Итоговый многочлен: $-\frac{7}{3}a^2 + 3ab - b^2$.

Ответ: $-\frac{7}{3}a^2 + 3ab - b^2$

8. Докажите, что при любом целом значении $n$ значение многочлена $2n^2 - 6n + 1$ является нечётным числом.

Для доказательства того, что значение многочлена $2n^2 - 6n + 1$ является нечётным числом при любом целом значении $n$, необходимо показать, что его можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Это является определением нечётного числа.

Преобразуем данный многочлен. Вынесем общий множитель 2 за скобки у первых двух слагаемых:

$2n^2 - 6n + 1 = 2(n^2 - 3n) + 1$

По условию задачи, переменная $n$ является целым числом. Рассмотрим выражение в скобках: $n^2 - 3n$.

Поскольку $n$ — целое число, то его квадрат $n^2$ также является целым числом. Произведение $3n$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($n^2$ и $3n$) всегда является целым числом.

Таким образом, выражение $n^2 - 3n$ принимает целые значения при любом целом $n$. Обозначим это целое выражение буквой $k$, то есть $k = n^2 - 3n$.

Подставив $k$ в преобразованный многочлен, получаем:

$2k + 1$

Полученное выражение $2k + 1$, где $k$ — целое число, является общей формой записи нечётного числа. Следовательно, значение многочлена $2n^2 - 6n + 1$ всегда является нечётным числом при любом целом значении $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен $2n^2 - 6n + 1$ можно преобразовать к виду $2(n^2 - 3n) + 1$. Так как $n$ — целое число, то выражение $k = n^2 - 3n$ также является целым числом. В результате многочлен принимает вид $2k + 1$, что по определению является нечётным числом. Таким образом, при любом целом $n$ значение многочлена является нечётным числом.

9. Каким числом, чётным или нечётным, является значение многочлена $5n^4 + 3n^2 + 6$ при целых значениях $n$?

Чтобы определить, является ли значение многочлена $5n^4 + 3n^2 + 6$ четным или нечетным при целых значениях $n$, можно проанализировать четность выражения, рассмотрев два случая (когда $n$ четно и когда $n$ нечетно), либо преобразовать сам многочлен.

Воспользуемся вторым, более универсальным методом. Преобразуем исходное выражение:

$5n^4 + 3n^2 + 6 = (4n^4 + 2n^2 + 6) + (n^4 + n^2)$

Теперь вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$2(2n^4 + n^2 + 3) + n^2(n^2 + 1)$

Проанализируем получившуюся сумму:

1. Первое слагаемое $2(2n^4 + n^2 + 3)$ является четным числом при любом целом $n$, так как оно представляет собой произведение целого числа $(2n^4 + n^2 + 3)$ на 2.
2. Второе слагаемое $n^2(n^2 + 1)$ также всегда является четным числом. Это произведение двух последовательных целых чисел, $n^2$ и $n^2 + 1$. Из двух последовательных целых чисел одно всегда четно, поэтому их произведение гарантированно делится на 2.

Таким образом, исходный многочлен представляет собой сумму двух четных слагаемых. Сумма двух четных чисел всегда дает в результате четное число.

Следовательно, при любом целом значении $n$ значение многочлена $5n^4 + 3n^2 + 6$ является четным числом.

Ответ: четным.

18. При каком значении $b$ прямая $2x + by = -6$ отсекает от координатных осей равные отрезки?

Решение.

Найдём точку пересечения данной прямой с осью абсцисс:

Решение.

Уравнение прямой в отрезках имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{c} = 1$, где $a$ — длина отрезка, отсекаемого на оси абсцисс (Ox), а $c$ — на оси ординат (Oy). Преобразуем данное уравнение $2x + by = -6$ к этому виду. Для этого разделим обе части уравнения на $-6$ (при условии, что правая часть не равна нулю, что выполняется):

$\frac{2x}{-6} + \frac{by}{-6} = \frac{-6}{-6}$

$\frac{x}{-3} + \frac{y}{-6/b} = 1$

Отсюда видно, что прямая отсекает на оси абсцисс отрезок $a = -3$, а на оси ординат — отрезок $c = -\frac{6}{b}$. Заметим, что для существования отрезка на оси ординат, $b$ не должно быть равно нулю ($b \ne 0$).

По условию задачи, прямая отсекает от координатных осей равные отрезки. Это означает, что длины этих отрезков равны. Длина отрезка — это абсолютное значение (модуль) его величины.

Длина отрезка на оси абсцисс: $|a| = |-3| = 3$.

Длина отрезка на оси ординат: $|c| = |-\frac{6}{b}| = \frac{6}{|b|}$.

Приравниваем длины отрезков:

$|a| = |c|$

$3 = \frac{6}{|b|}$

Теперь решим это уравнение относительно $|b|$:

$|b| = \frac{6}{3}$

$|b| = 2$

Это уравнение имеет два решения для $b$:

$b_1 = 2$

$b_2 = -2$

Оба значения удовлетворяют условию $b \ne 0$.

Ответ: $b = 2$ или $b = -2$.