Номер 8, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 8. Многочлены. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 8, страница 42.

Условие.

8. Докажите, что при любом целом значении $n$ значение многочлена $2n^2 - 6n + 1$ является нечётным числом.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства того, что значение многочлена $2n^2 - 6n + 1$ является нечётным числом при любом целом значении $n$, необходимо показать, что его можно представить в виде $2k + 1$, где $k$ — некоторое целое число. Это является определением нечётного числа.

Преобразуем данный многочлен. Вынесем общий множитель 2 за скобки у первых двух слагаемых:

$2n^2 - 6n + 1 = 2(n^2 - 3n) + 1$

По условию задачи, переменная $n$ является целым числом. Рассмотрим выражение в скобках: $n^2 - 3n$.

Поскольку $n$ — целое число, то его квадрат $n^2$ также является целым числом. Произведение $3n$ также является целым числом. Разность двух целых чисел ($n^2$ и $3n$) всегда является целым числом.

Таким образом, выражение $n^2 - 3n$ принимает целые значения при любом целом $n$. Обозначим это целое выражение буквой $k$, то есть $k = n^2 - 3n$.

Подставив $k$ в преобразованный многочлен, получаем:

$2k + 1$

Полученное выражение $2k + 1$, где $k$ — целое число, является общей формой записи нечётного числа. Следовательно, значение многочлена $2n^2 - 6n + 1$ всегда является нечётным числом при любом целом значении $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Многочлен $2n^2 - 6n + 1$ можно преобразовать к виду $2(n^2 - 3n) + 1$. Так как $n$ — целое число, то выражение $k = n^2 - 3n$ также является целым числом. В результате многочлен принимает вид $2k + 1$, что по определению является нечётным числом. Таким образом, при любом целом $n$ значение многочлена является нечётным числом.