Номер 9, страница 42 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 8. Многочлены. Глава 2. Целые выражения. Рабочая тетрадь 1 - номер 9, страница 42.

Условие.

9. Каким числом, чётным или нечётным, является значение многочлена $5n^4 + 3n^2 + 6$ при целых значениях $n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы определить, является ли значение многочлена $5n^4 + 3n^2 + 6$ четным или нечетным при целых значениях $n$, можно проанализировать четность выражения, рассмотрев два случая (когда $n$ четно и когда $n$ нечетно), либо преобразовать сам многочлен.

Воспользуемся вторым, более универсальным методом. Преобразуем исходное выражение:

$5n^4 + 3n^2 + 6 = (4n^4 + 2n^2 + 6) + (n^4 + n^2)$

Теперь вынесем общие множители из каждой группы слагаемых:

$2(2n^4 + n^2 + 3) + n^2(n^2 + 1)$

Проанализируем получившуюся сумму:

1. Первое слагаемое $2(2n^4 + n^2 + 3)$ является четным числом при любом целом $n$, так как оно представляет собой произведение целого числа $(2n^4 + n^2 + 3)$ на 2.
2. Второе слагаемое $n^2(n^2 + 1)$ также всегда является четным числом. Это произведение двух последовательных целых чисел, $n^2$ и $n^2 + 1$. Из двух последовательных целых чисел одно всегда четно, поэтому их произведение гарантированно делится на 2.

Таким образом, исходный многочлен представляет собой сумму двух четных слагаемых. Сумма двух четных чисел всегда дает в результате четное число.

Следовательно, при любом целом значении $n$ значение многочлена $5n^4 + 3n^2 + 6$ является четным числом.

Ответ: четным.