Страница 45 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

7. Найдите значение выражения $4abc - (2a^2b - (ab^2 - (3abc - a^2b)))$ при $a = -2, b = -1, c = 3.$

Для решения задачи необходимо найти значение алгебраического выражения при заданных значениях переменных. Сначала упростим выражение, последовательно раскрывая скобки, начиная с самых внутренних.

Исходное выражение: $4abc - (2a^2b - (ab^2 - (3abc - a^2b)))$.

1. Раскроем внутренние скобки $(3abc - a^2b)$. Так как перед ними стоит знак минус, знаки внутри скобок меняются на противоположные:

$ab^2 - (3abc - a^2b) = ab^2 - 3abc + a^2b$

2. Теперь выражение выглядит так: $4abc - (2a^2b - (ab^2 - 3abc + a^2b))$. Раскроем следующие скобки:

$2a^2b - (ab^2 - 3abc + a^2b) = 2a^2b - ab^2 + 3abc - a^2b$

Приведем подобные слагаемые в этом выражении: $(2a^2b - a^2b) - ab^2 + 3abc = a^2b - ab^2 + 3abc$.

3. Подставим полученный результат в исходное выражение:

$4abc - (a^2b - ab^2 + 3abc)$

Раскроем последние скобки:

$4abc - a^2b + ab^2 - 3abc$

Снова приведем подобные слагаемые: $(4abc - 3abc) - a^2b + ab^2 = abc - a^2b + ab^2$.

4. Теперь у нас есть упрощенное выражение: $abc - a^2b + ab^2$. Подставим в него заданные значения $a = -2$, $b = -1$, $c = 3$:

$(-2) \cdot (-1) \cdot 3 - (-2)^2 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1)^2$

Вычислим значение поэтапно:

$(-2) \cdot (-1) \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$

$-(-2)^2 \cdot (-1) = -(4) \cdot (-1) = 4$

$(-2) \cdot (-1)^2 = (-2) \cdot 1 = -2$

5. Сложим полученные значения:

$6 + 4 + (-2) = 10 - 2 = 8$

Ответ: 8

8. Докажите, что значение выражения $2,6 + (3m^2 + 4m) - m^2 - (4m + 2m^2 + 1,4)$ не зависит от значения переменной, входящей в него.

Решение.

Упростим данное выражение:

$2,6 + (3m^2 + 4m) - m^2 - (4m + 2m^2 + 1,4) =$

Решение.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от входящей в него переменной, необходимо упростить данное выражение. Если в результате упрощения переменная сократится и останется только числовое значение, то утверждение будет доказано.

Упростим данное выражение:

$2,6 + (3m^2 + 4m) - m^2 - (4m + 2m^2 + 1,4)$

Сначала раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «+», то знаки слагаемых внутри скобок сохраняются. Если перед скобкой стоит знак «-», то знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$2,6 + 3m^2 + 4m - m^2 - (4m + 2m^2 + 1,4) = 2,6 + 3m^2 + 4m - m^2 - 4m - 2m^2 - 1,4$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые. Подобными называются слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть.

$(3m^2 - m^2 - 2m^2) + (4m - 4m) + (2,6 - 1,4)$

Вычислим значение в каждой группе:

• $3m^2 - m^2 - 2m^2 = (3 - 1 - 2)m^2 = 0 \cdot m^2 = 0$
• $4m - 4m = (4 - 4)m = 0 \cdot m = 0$
• $2,6 - 1,4 = 1,2$

Сложим полученные результаты:

$0 + 0 + 1,2 = 1,2$

В результате упрощения мы получили число 1,2. Это значение является константой и не содержит переменную $m$. Следовательно, значение исходного выражения не зависит от значения переменной, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно 1,2 и не зависит от переменной $m$.

2. Поставьте в квадрате после утверждения знак «+», если оно верно, или знак «–», если оно неверно:

1) пара чисел (0; 0) не является решением системы уравнений $ \begin{cases} y - x = 5, \\ 3x + 2y = 4; \end{cases} $ ☐

2) пара чисел (–1; 2) является решением системы уравнений $ \begin{cases} x + y = 1, \\ 3x + 2y = -1; \end{cases} $ ☐

3) пара чисел (2; –1) является решением системы уравнений $ \begin{cases} 2y - x = -4, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases} $ ☐

4) пара чисел (9; –1) не является решением системы уравнений $ \begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 10; \end{cases} $ ☐

5) система уравнений $ \begin{cases} 4x + 5y = 6, \\ 5y + 4x = 7 \end{cases} $ не имеет решений; ☐

6) система уравнений $ \begin{cases} 2x + y = 6, \\ 4x + 2y = 12 \end{cases} $ не имеет решений. ☐

1) пара чисел (0; 0) не является решением системы уравнений $\begin{cases} y - x = 5, \\ 3x + 2y = 4 \end{cases}$

Чтобы проверить утверждение, подставим значения $x=0$ и $y=0$ в уравнения системы. Для того чтобы пара чисел была решением, она должна удовлетворять каждому уравнению системы.
Проверим первое уравнение: $y - x = 5$.
$0 - 0 = 0$.
Получаем $0 = 5$, что является неверным равенством.
Поскольку пара чисел $(0; 0)$ не удовлетворяет первому уравнению, она не является решением системы. Следовательно, утверждение "пара чисел (0; 0) не является решением системы" является верным.

Ответ: +

2) пара чисел (-1; 2) является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = 1, \\ 3x + 2y = -1 \end{cases}$

Подставим значения $x=-1$ и $y=2$ в каждое уравнение системы.
Проверка первого уравнения: $x + y = 1$.
$(-1) + 2 = 1$.
$1 = 1$ (верно).
Проверка второго уравнения: $3x + 2y = -1$.
$3(-1) + 2(2) = -3 + 4 = 1$.
Получаем $1 = -1$, что является неверным равенством.
Так как пара чисел не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы. Следовательно, утверждение "пара чисел (-1; 2) является решением системы" является неверным.

Ответ: -

3) пара чисел (2; -1) является решением системы уравнений $\begin{cases} 2y - x = -4, \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$

Подставим значения $x=2$ и $y=-1$ в каждое уравнение системы.
Проверка первого уравнения: $2y - x = -4$.
$2(-1) - 2 = -2 - 2 = -4$.
$-4 = -4$ (верно).
Проверка второго уравнения: $2x + 3y = 1$.
$2(2) + 3(-1) = 4 - 3 = 1$.
$1 = 1$ (верно).
Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, она является решением системы. Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: +

4) пара чисел (9; -1) не является решением системы уравнений $\begin{cases} x + y = 8, \\ x - y = 10 \end{cases}$

Сначала проверим, является ли пара $(9; -1)$ решением. Подставим $x=9$ и $y=-1$ в уравнения.
Проверка первого уравнения: $x + y = 8$.
$9 + (-1) = 8$.
$8 = 8$ (верно).
Проверка второго уравнения: $x - y = 10$.
$9 - (-1) = 9 + 1 = 10$.
$10 = 10$ (верно).
Пара чисел $(9; -1)$ является решением системы, так как удовлетворяет обоим уравнениям. Следовательно, утверждение, что она "не является решением", является неверным.

Ответ: -

5) система уравнений $\begin{cases} 4x + 5y = 6, \\ 5y + 4x = 7 \end{cases}$ не имеет решений

Перепишем второе уравнение, поменяв слагаемые местами: $4x + 5y = 7$. Теперь система имеет вид:
$\begin{cases} 4x + 5y = 6, \\ 4x + 5y = 7 \end{cases}$
Левые части уравнений полностью совпадают, а правые различны ($6 \neq 7$). Это означает, что не существует такой пары чисел $(x, y)$, которая бы удовлетворяла обоим уравнениям одновременно. Такая система называется несовместной и не имеет решений. Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: +

6) система уравнений $\begin{cases} 2x + y = 6, \\ 4x + 2y = 12 \end{cases}$ не имеет решений

Рассмотрим второе уравнение системы: $4x + 2y = 12$. Мы можем разделить обе части этого уравнения на 2.
$(4x + 2y) : 2 = 12 : 2$
$2x + y = 6$
Полученное уравнение полностью совпадает с первым уравнением системы. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же прямую. Любая точка, лежащая на этой прямой, является решением системы. Таким образом, система имеет бесконечное множество решений. Следовательно, утверждение, что система "не имеет решений", является неверным.

Ответ: -