Номер 12, страница 46 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 9. Сложение и вычитание многочленов - номер 12, страница 46.

Условие.

12. Докажите, что сумма трёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 3, но не делится нацело на 6.

Решение.

Пусть первое из этих чисел равно $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число. Тогда следующими двумя числами соответственно являются

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть первое из этих чисел равно $2n - 1$, где $n$ — произвольное натуральное число. Тогда следующими двумя последовательными нечётными числами соответственно являются $(2n - 1) + 2 = 2n + 1$ и $(2n + 1) + 2 = 2n + 3$.

Найдем сумму $S$ этих трёх чисел:

$S = (2n - 1) + (2n + 1) + (2n + 3) = 6n + 3$.

Докажем, что сумма делится на 3.

Вынесем общий множитель 3 за скобки в выражении для суммы: $S = 3(2n + 1)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение в скобках $(2n + 1)$ также является натуральным числом. Так как сумма $S$ представляется в виде произведения числа 3 и натурального числа, она делится нацело на 3.

Докажем, что сумма не делится на 6.

Чтобы число делилось нацело на 6, оно должно делиться одновременно и на 2, и на 3. Мы уже доказали, что сумма делится на 3. Проверим, делится ли она на 2.

Сумма $S = 6n + 3$. Слагаемое $6n$ является чётным для любого натурального $n$, так как оно кратно 2. Слагаемое 3 — нечётное. Сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.

Поскольку сумма $S$ является нечётным числом, она не может делиться нацело на 2. А если число не делится на 2, оно не может делиться и на 6.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма трёх последовательных нечётных натуральных чисел, равная $3(2n+1)$, всегда делится на 3, но является нечётным числом, поэтому не делится на 2 и, следовательно, не делится на 6.