Номер 15, страница 48 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 9. Сложение и вычитание многочленов - номер 15, страница 48.

Условие.

15. Докажите, что не существует таких значений $a$ и $b$, при которых многочлены $2a^2 - 3ab - 7b^2$ и $3ab - 4a^2 + 5b^2$ одновременно принимали бы положительные значения.

Решение.

Найдём сумму данных многочленов:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Для доказательства воспользуемся методом от противного. Предположим, что существуют такие значения a и b, при которых оба многочлена принимают положительные значения. Это означает, что одновременно выполняются два неравенства:

$2a^2 - 3ab - 7b^2 > 0$

$3ab - 4a^2 + 5b^2 > 0$

Если два числа положительны, то их сумма также должна быть положительной. Найдем сумму этих двух многочленов:

$(2a^2 - 3ab - 7b^2) + (3ab - 4a^2 + 5b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2a^2 - 3ab - 7b^2 + 3ab - 4a^2 + 5b^2 = (2a^2 - 4a^2) + (-3ab + 3ab) + (-7b^2 + 5b^2) = -2a^2 - 2b^2$

Итак, сумма двух многочленов равна $-2a^2 - 2b^2$. Вынесем общий множитель $-2$ за скобки:

$-2(a^2 + b^2)$

Теперь проанализируем знак полученного выражения. Для любых действительных чисел a и b их квадраты $a^2$ и $b^2$ являются неотрицательными, то есть $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$.

Следовательно, их сумма $a^2 + b^2 \ge 0$.

• Если $a=0$ и $b=0$, то $a^2 + b^2 = 0$. В этом случае сумма многочленов равна $-2 \cdot 0 = 0$. Однако, если подставить $a=0$ и $b=0$ в исходные многочлены, они также будут равны нулю, а не положительным числам.
• Если хотя бы одно из чисел a или b не равно нулю, то сумма их квадратов $a^2 + b^2$ будет строго положительной: $a^2 + b^2 > 0$.

В этом случае выражение $-2(a^2 + b^2)$ является произведением отрицательного числа $(-2)$ и строго положительного числа $(a^2 + b^2)$. Такое произведение всегда отрицательно: $-2(a^2 + b^2) < 0$.

Таким образом, мы получили, что сумма двух рассматриваемых многочленов всегда является неположительным числом (то есть меньше или равна нулю) при любых значениях a и b.

Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что оба многочлена могут быть положительными, так как сумма двух положительных чисел всегда положительна. Следовательно, наше предположение было неверным.

Ответ: Не существует таких значений a и b, при которых оба многочлена одновременно принимали бы положительные значения, так как их сумма $-2(a^2 + b^2)$ всегда неположительна, в то время как сумма двух положительных чисел должна быть положительной.