Номер 6, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 10. Умножение одночлена на многочлен - номер 6, страница 50.

Условие.

6. Докажите тождество:

1) $c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) = 0$;

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) =$

2) $a^2b(b + 1) - ab^2(a + 1) = ab(a - b).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Чтобы доказать тождество $c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) = 0$, преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки, применив распределительное свойство умножения:

$c(a - b) + a(b - c) + b(c - a) = ac - bc + ab - ac + bc - ab$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(ac - ac) + (-bc + bc) + (ab - ab) = 0 + 0 + 0 = 0$

В результате преобразования левая часть равенства стала равна 0, что совпадает с его правой частью. Таким образом, $0 = 0$.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Чтобы доказать тождество $a^2b(b + 1) - ab^2(a + 1) = ab(a - b)$, преобразуем его левую часть. Сначала раскроем скобки:

$a^2b(b + 1) - ab^2(a + 1) = (a^2b^2 + a^2b) - (a^2b^2 + ab^2)$

Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки слагаемых внутри на противоположные:

$a^2b^2 + a^2b - a^2b^2 - ab^2$

Приведем подобные слагаемые, сократив $a^2b^2$ и $-a^2b^2$:

$(a^2b^2 - a^2b^2) + (a^2b - ab^2) = 0 + a^2b - ab^2 = a^2b - ab^2$

Вынесем общий множитель $ab$ за скобки:

$ab(a - b)$

В результате преобразований мы получили выражение, идентичное правой части исходного равенства: $ab(a - b) = ab(a - b)$.

Ответ: Тождество доказано.