Номер 7, страница 50 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Рабочая тетрадь 1. Глава 2. Целые выражения. Параграф 10. Умножение одночлена на многочлен - номер 7, страница 50.

Условие.

7. Заполните пропуски такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $\text{___} \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + \text{___} - \text{___}$

2) $(3m^2n + \text{___} - n^4) \cdot \text{___} = 6m^3n^5 + 8mn^6 - \text{___}$

3) $4a^2b^3 (\text{___} + \text{___} - \text{___}) = 16a^3b^3 + 28a^2b^4 - 2a^2b^3$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Дано тождество: $___ \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + ___ - ___$.
Чтобы найти недостающие одночлены, обозначим первый пропуск (одночлен-множитель) как $M$. Тогда равенство примет вид: $M \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + \text{пропуск}_2 - \text{пропуск}_3$.
Первый член в правой части, $-3a^4c^3$, должен быть результатом умножения $M$ на один из членов в скобках. Рассмотрим вариант, когда он получен умножением $M$ на первый член в скобках, $0,6a^2c$:
$M \cdot (0,6a^2c) = -3a^4c^3$.
Чтобы найти $M$, разделим правую часть на множитель $0,6a^2c$:
$M = \frac{-3a^4c^3}{0,6a^2c} = -\frac{3}{0,6} \cdot a^{4-2} \cdot c^{3-1} = -5a^2c^2$.
Итак, первый пропуск — это одночлен $-5a^2c^2$.
Теперь найдем остальные пропуски, умножив найденный одночлен $M$ на оставшиеся члены в скобках:
Второй член произведения: $M \cdot (-4a^3c) = (-5a^2c^2) \cdot (-4a^3c) = (-5)(-4) \cdot a^{2+3} \cdot c^{2+1} = 20a^5c^3$. Это второй пропуск в правой части (идет после знака "+").
Третий член произведения: $M \cdot (ac^2) = (-5a^2c^2) \cdot (ac^2) = -5 \cdot a^{2+1} \cdot c^{2+2} = -5a^3c^4$. В тождестве перед третьим пропуском стоит знак "–", значит, в сам пропуск нужно записать $5a^3c^4$.
Таким образом, полное тождество выглядит так:
$-5a^2c^2 \cdot (0,6a^2c - 4a^3c + ac^2) = -3a^4c^3 + 20a^5c^3 - 5a^3c^4$.
Ответ: В пропуски следует вписать одночлены $-5a^2c^2$, $20a^5c^3$ и $5a^3c^4$ соответственно.

2) Дано тождество: $(3m^2n + ___ - n^4) \cdot ___ = 6m^3n^5 + 8mn^6 - ___$.
Обозначим неизвестный одночлен-множитель (второй пропуск) как $M$, а неизвестный член в скобках (первый пропуск) как $X$. Тождество примет вид:
$(3m^2n + X - n^4) \cdot M = 6m^3n^5 + 8mn^6 - \text{пропуск}_3$.
Первый член правой части, $6m^3n^5$, получается умножением первого члена в скобках, $3m^2n$, на множитель $M$:
$3m^2n \cdot M = 6m^3n^5$.
Отсюда находим $M$: $M = \frac{6m^3n^5}{3m^2n} = 2m^{3-2}n^{5-1} = 2mn^4$. Это второй пропуск.
Второй член правой части, $8mn^6$, получается умножением неизвестного члена в скобках, $X$, на $M$:
$X \cdot M = 8mn^6 \Rightarrow X \cdot (2mn^4) = 8mn^6$.
Отсюда находим $X$: $X = \frac{8mn^6}{2mn^4} = 4m^{1-1}n^{6-4} = 4n^2$. Это первый пропуск.
Третий пропуск в правой части получается умножением третьего члена в скобках, $-n^4$, на $M$:
$(-n^4) \cdot M = (-n^4) \cdot (2mn^4) = -2mn^{4+4} = -2mn^8$.
В тождестве перед последним пропуском стоит знак "–", значит в пропуск нужно вписать $2mn^8$.
Полное тождество: $(3m^2n + 4n^2 - n^4) \cdot 2mn^4 = 6m^3n^5 + 8mn^6 - 2mn^8$.
Ответ: В пропуски следует вписать одночлены $4n^2$, $2mn^4$ и $2mn^8$ соответственно.

3) Дано тождество: $4a^2b^3 (___ + ___ - ___) = 16a^3b^3 + 28a^2b^4 - 2a^2b^3$.
Здесь нужно найти три одночлена в скобках. Для этого необходимо каждый член многочлена в правой части разделить на общий множитель $4a^2b^3$, который стоит перед скобками.
Найдем первый одночлен в скобках, разделив первый член правой части на $4a^2b^3$:
$\frac{16a^3b^3}{4a^2b^3} = \frac{16}{4} \cdot a^{3-2} \cdot b^{3-3} = 4a^1b^0 = 4a$.
Найдем второй одночлен в скобках, разделив второй член правой части на $4a^2b^3$:
$\frac{28a^2b^4}{4a^2b^3} = \frac{28}{4} \cdot a^{2-2} \cdot b^{4-3} = 7a^0b^1 = 7b$.
Найдем третий одночлен в скобках. Перед ним стоит знак "–". Разделим третий член правой части, $-2a^2b^3$, на общий множитель $4a^2b^3$:
$\frac{-2a^2b^3}{4a^2b^3} = -\frac{2}{4} \cdot a^{2-2} \cdot b^{3-3} = -0,5a^0b^0 = -0,5$.
Так как в выражении в скобках уже стоит знак "–", то в пропуск записываем $0,5$.
Полное тождество: $4a^2b^3 (4a + 7b - 0,5) = 16a^3b^3 + 28a^2b^4 - 2a^2b^3$.
Ответ: В пропуски следует вписать одночлены $4a$, $7b$ и $0,5$ соответственно.