Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Заполните пропуски.

1) Для любого числа a и любых натуральных чисел m и n справедливы равенства:

$a^m a^n = $ _________

$(a^m)^n = $ _________

2) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели ____________, а основание __________.

3) При возведении степени в степень показатели ___________ а основание __________.

4) Для любого числа a, отличного от __________, и любых натуральных чисел m и n таких, что ___________, справедливо равенство:

$a^m : a^n = $ _________

5) При делении степеней с одинаковыми основаниями _____________, а основание __________.

6) Для любых чисел a и b и любого натурального числа n справедливо равенство:

$(ab)^n = $ _________

7) При возведении произведения в степень каждый ____________ и полученные результаты __________.

1) Для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:
$a^m a^n = a^{m+n}$
$(a^m)^n = a^{mn}$
Ответ: $a^{m+n}$, $a^{mn}$

2) При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают, а основание оставляют прежним.
Ответ: складывают, оставляют прежним

3) При возведении степени в степень показатели перемножают, а основание оставляют прежним.
Ответ: перемножают, оставляют прежним

4) Для любого числа $a$, отличного от нуля, и любых натуральных чисел $m$ и $n$ таких, что $m > n$, справедливо равенство:
$a^m : a^n = a^{m-n}$
Ответ: нуля, $m > n$, $a^{m-n}$

5) При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним.
Ответ: из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, оставляют прежним

6) Для любых чисел $a$ и $b$ и любого натурального числа $n$ справедливо равенство:
$(ab)^n = a^n b^n$
Ответ: $a^n b^n$

7) При возведении произведения в степень каждый множитель возводят в эту степень и полученные результаты перемножают.
Ответ: множитель возводят в эту степень, перемножают

2. Представьте в виде степени выражение:

1) $m^6 m^5 = $

2) $xx^8 = $

3) $a^5 a^5 = $

4) $y^4 y^6 y^{10} = $

5) $a^3 aa^9 a^2 = $

6) $(m - n)^{10} \cdot (m - n)^5 = $

7) $(2a - 7b)^{12} \cdot (2a - 7b)^{13} = $

8) $(bc)^{16} \cdot (bc)^{12} \cdot (bc) = $

Для решения всех заданий используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. При умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается прежним, а показатели степеней складываются. Также следует помнить, что любая переменная без показателя степени имеет показатель 1, например, $x = x^1$.

В выражении $m^6 m^5$ основание степени 'm' одинаковое. Чтобы представить выражение в виде степени, нужно сложить показатели степеней: $6 + 5 = 11$.

$m^6 m^5 = m^{6+5} = m^{11}$

Ответ: $m^{11}$

В выражении $x x^8$ основание 'x' одинаковое. У первого множителя 'x' показатель степени по умолчанию равен 1. Складываем показатели: $1 + 8 = 9$.

$x x^8 = x^1 \cdot x^8 = x^{1+8} = x^9$

Ответ: $x^9$

В выражении $a^5 a^5$ основание 'a' одинаковое. Складываем показатели степеней: $5 + 5 = 10$.

$a^5 a^5 = a^{5+5} = a^{10}$

Ответ: $a^{10}$

В выражении $y^4 y^6 y^{10}$ основание 'y' одинаковое для всех трех множителей. Складываем все показатели степеней: $4 + 6 + 10 = 20$.

$y^4 y^6 y^{10} = y^{4+6+10} = y^{20}$

Ответ: $y^{20}$

В выражении $a^3 a a^9 a^2$ основание 'a' одинаковое. Множитель 'a' без явного показателя имеет показатель степени 1. Складываем все показатели: $3 + 1 + 9 + 2 = 15$.

$a^3 a a^9 a^2 = a^{3+1+9+2} = a^{15}$

Ответ: $a^{15}$

В выражении $(m-n)^{10} \cdot (m-n)^5$ основанием является скобка $(m-n)$. Оно одинаковое у обоих множителей. Складываем показатели степеней: $10 + 5 = 15$.

$(m-n)^{10} \cdot (m-n)^5 = (m-n)^{10+5} = (m-n)^{15}$

Ответ: $(m-n)^{15}$

В выражении $(2a-7b)^{12} \cdot (2a-7b)^{13}$ основанием является скобка $(2a-7b)$. Складываем показатели степеней: $12 + 13 = 25$.

$(2a-7b)^{12} \cdot (2a-7b)^{13} = (2a-7b)^{12+13} = (2a-7b)^{25}$

Ответ: $(2a-7b)^{25}$

В выражении $(bc)^{16} \cdot (bc)^{12} \cdot (bc)$ основанием является скобка $(bc)$. Последний множитель $(bc)$ имеет показатель степени 1. Складываем все показатели: $16 + 12 + 1 = 29$.

$(bc)^{16} \cdot (bc)^{12} \cdot (bc) = (bc)^{16+12+1} = (bc)^{29}$

Ответ: $(bc)^{29}$

3. Заполните пропуск так, чтобы получилось тождество:

1) $a^4 \cdot \_ = a^{10}$;

2) $\_ \cdot a = a^{14}$;

3) $a^3 \cdot \_ \cdot a^5 = a^{11}$.

1) Чтобы найти пропущенный множитель в выражении $a^4 \cdot \text{___} = a^{10}$, необходимо использовать свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Это свойство гласит, что при умножении степеней их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Пусть искомый множитель равен $a^x$. Тогда тождество примет вид: $a^4 \cdot a^x = a^{10}$.
Применяя правило умножения степеней, получаем: $a^{4+x} = a^{10}$.
Так как основания степеней равны, для выполнения тождества должны быть равны и их показатели:
$4 + x = 10$
$x = 10 - 4$
$x = 6$
Следовательно, пропущенный множитель — это $a^6$.
Проверка: $a^4 \cdot a^6 = a^{4+6} = a^{10}$.
Ответ: $a^6$

2) В выражении $\text{___} \cdot a = a^{14}$ нужно найти первый множитель. Учтем, что переменную $a$ без показателя степени можно представить как $a^1$.
Пусть пропущенный множитель равен $a^x$. Тогда тождество можно записать так: $a^x \cdot a^1 = a^{14}$.
Используя свойство сложения показателей при умножении степеней, получаем: $a^{x+1} = a^{14}$.
Приравниваем показатели степеней:
$x + 1 = 14$
$x = 14 - 1$
$x = 13$
Таким образом, на месте пропуска должен стоять множитель $a^{13}$.
Проверка: $a^{13} \cdot a = a^{13} \cdot a^1 = a^{13+1} = a^{14}$.
Ответ: $a^{13}$

3) В выражении $a^3 \cdot \text{___} \cdot a^5 = a^{11}$ необходимо найти средний множитель.
Обозначим пропущенный множитель как $a^x$. Получаем тождество: $a^3 \cdot a^x \cdot a^5 = a^{11}$.
Применяя свойство умножения степеней, сложим все показатели в левой части выражения: $a^{3+x+5} = a^{11}$.
Упростим показатель степени в левой части: $a^{8+x} = a^{11}$.
Теперь приравняем показатели степеней:
$8 + x = 11$
$x = 11 - 8$
$x = 3$
Значит, пропущенный множитель — это $a^3$.
Проверка: $a^3 \cdot a^3 \cdot a^5 = a^{3+3+5} = a^{11}$.
Ответ: $a^3$

4. Выполните деление:

1) $a^6 : a^3 = \_$

2) $a^9 : a = \_$

3) $a^{17} : a^{16} = \_$

4) $(a-b)^{15} : (a-b)^5 = \_$

Для решения данных примеров воспользуемся свойством степени: при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит следующим образом: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1) $a^6 : a^3$

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием 'a'. Вычитаем показатели степеней: $6 - 3 = 3$.

$a^6 : a^3 = a^{6-3} = a^3$.

Ответ: $a^3$.

2) $a^9 : a$

Любое число или переменная без указания степени считается в первой степени, то есть $a = a^1$. Применяем правило деления степеней. Вычитаем показатели: $9 - 1 = 8$.

$a^9 : a = a^9 : a^1 = a^{9-1} = a^8$.

Ответ: $a^8$.

3) $a^{17} : a^{16}$

Используем то же правило для основания 'a'. Вычитаем показатели степеней: $17 - 16 = 1$.

$a^{17} : a^{16} = a^{17-16} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

4) $(a-b)^{15} : (a-b)^5$

В данном случае основанием степени является выражение $(a-b)$. Правило деления степеней остается тем же. Вычитаем показатели: $15 - 5 = 10$.

$(a-b)^{15} : (a-b)^5 = (a-b)^{15-5} = (a-b)^{10}$.

Ответ: $(a-b)^{10}$.

19. Сумма двух двузначных чисел равна 46. Найдите эти числа, если в их записи есть три одинаковые цифры.

Решение.

Обозначим одинаковые цифры буквой $x$, а отличную от них цифру — буквой $y$. Тогда одно число имеет вид $\overline{xx}$, а другое — $\overline{xy}$ или

Пусть искомые числа — это два двузначных числа. По условию, в их записи (всего 4 цифры) три цифры одинаковы, а одна отличается. Следуя рассуждению на изображении, обозначим три одинаковые цифры буквой $x$, а отличную от них цифру — буквой $y$.

Поскольку три из четырех цифр одинаковы, одно из чисел должно состоять из двух одинаковых цифр, то есть иметь вид $\overline{xx}$. Второе число тогда будет состоять из одной цифры $x$ и одной цифры $y$. Это означает, что для второго числа возможны два варианта записи: $\overline{xy}$ или $\overline{yx}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Числа имеют вид $\overline{xx}$ и $\overline{xy}$.

По условию, их сумма равна 46. Составим уравнение, представив числа в виде суммы их разрядных слагаемых: $(10x + x) + (10x + y) = 46$ $11x + 10x + y = 46$ $21x + y = 46$

Здесь $x$ и $y$ — это цифры от 0 до 9. Так как $\overline{xx}$ и $\overline{xy}$ являются двузначными числами, то $x$ не может быть равно 0. Также по условию $x \ne y$. Найдем подходящие цифры методом перебора для $x$:

- Если $x = 1$, то $21 \cdot 1 + y = 46$, откуда $y = 25$. Это значение не является цифрой.

- Если $x = 2$, то $21 \cdot 2 + y = 46$, откуда $42 + y = 46$, и $y = 4$. Это решение подходит, так как $y=4$ — это цифра и $y \ne x$ ($4 \ne 2$).

- Если $x \ge 3$, то произведение $21x$ будет больше 46, поэтому других решений в этом случае нет.

Таким образом, мы нашли первую пару чисел: первое число $\overline{xx} = 22$ и второе число $\overline{xy} = 24$. Проверка: $22 + 24 = 46$. В записи чисел 22 и 24 (цифры 2, 2, 2, 4) действительно три одинаковые цифры.

Случай 2: Числа имеют вид $\overline{xx}$ и $\overline{yx}$.

Их сумма также равна 46. Составим уравнение: $(10x + x) + (10y + x) = 46$ $11x + 10y + x = 46$ $12x + 10y = 46$

Для удобства вычислений разделим обе части уравнения на 2: $6x + 5y = 23$

Так как $\overline{xx}$ и $\overline{yx}$ — двузначные числа, обе цифры $x$ и $y$ должны быть отличны от нуля ($x \ge 1$, $y \ge 1$). Также $x \ne y$. Найдем подходящие цифры перебором:

- Если $x = 1$, то $6 \cdot 1 + 5y = 23 \implies 5y = 17$. Нет целочисленного решения для $y$.

- Если $x = 2$, то $6 \cdot 2 + 5y = 23 \implies 12 + 5y = 23 \implies 5y = 11$. Нет целочисленного решения для $y$.

- Если $x = 3$, то $6 \cdot 3 + 5y = 23 \implies 18 + 5y = 23 \implies 5y = 5 \implies y = 1$. Это решение подходит, так как $y=1$ — это цифра, $y \ne 0$ и $y \ne x$ ($1 \ne 3$).

- Если $x = 4$, то $6 \cdot 4 = 24$, что уже больше 23. Дальнейший перебор для $x$ не имеет смысла.

Таким образом, мы нашли вторую пару чисел: первое число $\overline{xx} = 33$ и второе число $\overline{yx} = 13$. Проверка: $33 + 13 = 46$. В записи чисел 33 и 13 (цифры 3, 3, 1, 3) действительно три одинаковые цифры.

Задача имеет два возможных набора чисел, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: искомые числа — это 22 и 24, или 13 и 33.

20. Если в некотором двузначном числе переставить цифры, то полученное число будет больше этого числа на 54. Найдите все такие числа.

Решение.

Пусть искомое число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Следовательно, оно равно

Решение.

Пусть искомое число имеет $a$ десятков и $b$ единиц. Следовательно, оно равно $10a + b$. Поскольку это двузначное число, цифра $a$ (количество десятков) не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$, а цифра $b$ (количество единиц) может быть любой от 0 до 9, то есть $b \in \{0, 1, ..., 9\}$.

Если переставить цифры местами, то получится новое число, в котором $b$ десятков и $a$ единиц. Его значение будет равно $10b + a$.

По условию задачи, полученное число больше исходного на 54. Это можно записать в виде уравнения:
$(10b + a) - (10a + b) = 54$

Решим это уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$10b + a - 10a - b = 54$
$9b - 9a = 54$

Разделим обе части уравнения на 9:
$b - a = 6$
Или, что то же самое, $b = a + 6$.

Это уравнение показывает, что цифра единиц $b$ должна быть на 6 больше цифры десятков $a$. Теперь найдем все возможные пары цифр $(a, b)$, которые удовлетворяют этому условию и ограничениям для цифр.
1. Если $a = 1$, то $b = 1 + 6 = 7$. Искомое число — 17. Проверяем: $71 - 17 = 54$. Подходит.
2. Если $a = 2$, то $b = 2 + 6 = 8$. Искомое число — 28. Проверяем: $82 - 28 = 54$. Подходит.
3. Если $a = 3$, то $b = 3 + 6 = 9$. Искомое число — 39. Проверяем: $93 - 39 = 54$. Подходит.

Если взять $a = 4$, то $b = 4 + 6 = 10$, что уже не является цифрой. При больших значениях $a$ значение $b$ также будет больше 9. Поэтому других решений нет.

Ответ: 17, 28, 39.