Страница 28 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Заполните пропуски.

1) Выражения, соответствующие значения которых ___________ при ___________ входящих в них переменных, называют тождественно равными.

2) Тождеством называют ___________

3) Тождественным преобразованием выражения называют замену ___________

4) Для того чтобы доказать тождество, используют такие приёмы:

•

•

•

1) Выражения, соответственные значения которых равны при любых допустимых значениях входящих в них переменных, называют тождественно равными.
Ответ: равны; любых допустимых значениях.

2) Тождеством называют равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных.
Ответ: равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных.

3) Тождественным преобразованием выражения называют замену одного выражения другим, тождественно равным ему.
Ответ: одного выражения другим, тождественно равным ему.

4) Для того чтобы доказать тождество, используют такие приёмы:
• Левую часть равенства с помощью тождественных преобразований приводят к виду правой части.
• Правую часть равенства с помощью тождественных преобразований приводят к виду левой части.
• Обе части равенства с помощью тождественных преобразований приводят к одному и тому же выражению.
Ответ: приведение левой части к правой; приведение правой части к левой; приведение обеих частей к одному и тому же выражению.

2. Укажите с помощью стрелочки для каждого выражения, записанного в левом столбце, тождественно равное ему выражение, записанное в правом столбце.

$a - (b+c)$

$a - (b-c)$

$a - (-b+c)$

$a - (-b-c)$

$a - b + c$

$a + b + c$

$a - b - c$

$a + b - c$

Для решения этой задачи необходимо раскрыть скобки в каждом выражении из левого столбца. Основное правило, которое мы будем использовать: если перед скобками стоит знак «минус», то при раскрытии скобок знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.

$a - (b + c)$
В данном выражении перед скобками стоит знак минус. Внутри скобок находятся слагаемые $b$ и $c$. При раскрытии скобок их знаки меняются на противоположные: $b$ становится $-b$, а $c$ становится $-c$.
$a - (b + c) = a - b - c$
Ответ: $a - b - c$

$a - (b - c)$
Здесь перед скобками также стоит знак минус. Слагаемые в скобках: $b$ и $-c$. Меняем их знаки на противоположные: $b$ становится $-b$, а $-c$ становится $+c$.
$a - (b - c) = a - b + c$
Ответ: $a - b + c$

$a - (-b + c)$
Раскрываем скобки, перед которыми стоит минус. Слагаемые в скобках: $-b$ и $c$. Меняем их знаки на противоположные: $-b$ становится $+b$, а $c$ становится $-c$.
$a - (-b + c) = a + b - c$
Ответ: $a + b - c$

$a - (-b - c)$
Аналогично предыдущим случаям, меняем знаки слагаемых $-b$ и $-c$ в скобках на противоположные: $-b$ становится $+b$, а $-c$ становится $+c$.
$a - (-b - c) = a + b + c$
Ответ: $a + b + c$

3. Укажите с помощью стрелочки для каждого выражения, записанного в левом столбце, тождественно равное ему выражение, записанное в правом столбце.

$3(m - 2n)$ $-3m - 6n$

$-3(m - 2n)$ $3m - 6n$

$-3(m + 2n)$ $-3m + 6n$

$-3(-m - 2n)$ $3m + 6n$

Для того чтобы установить соответствие между выражениями в левом и правом столбцах, необходимо раскрыть скобки в каждом выражении из левого столбца. Для этого используется распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания: $a(b \pm c) = ab \pm ac$.

3(m - 2n)

Применим распределительное свойство. Умножим множитель $3$ на каждый член внутри скобок:

$3 \cdot m + 3 \cdot (-2n) = 3m - 6n$

Следовательно, данное выражение тождественно равно $3m - 6n$.

Ответ: $3m - 6n$

-3(m - 2n)

Умножим множитель $-3$ на каждый член внутри скобок, обращая внимание на знаки. Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число.

$(-3) \cdot m + (-3) \cdot (-2n) = -3m + 6n$

Следовательно, данное выражение тождественно равно $-3m + 6n$.

Ответ: $-3m + 6n$

-3(m + 2n)

Умножим множитель $-3$ на каждый член внутри скобок. Произведение отрицательного и положительного чисел дает отрицательное число.

$(-3) \cdot m + (-3) \cdot (2n) = -3m - 6n$

Следовательно, данное выражение тождественно равно $-3m - 6n$.

Ответ: $-3m - 6n$

-3(-m - 2n)

Умножим множитель $-3$ на каждый член внутри скобок. В обоих случаях мы умножаем отрицательное число на отрицательное, что дает положительный результат.

$(-3) \cdot (-m) + (-3) \cdot (-2n) = 3m + 6n$

Следовательно, данное выражение тождественно равно $3m + 6n$.

Ответ: $3m + 6n$

4. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{6}(18 - 2.4y) + 0.7y = 0.3y + 3;$

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$\frac{1}{6}(18 - 2.4y) + 0.7y =$

2) $(3x - 5) - 4x - (1 - 2x) = x - 6;$

Решение.

3) $3a(2 - b) - 2b(-1.5a + 1) = 4(a - 2b) + 2(a + 3b);$

Решение.

Преобразуем левую часть данного равенства:

$3a(2 - b) - 2b(-1.5a + 1) = $

Преобразуем правую часть данного равенства:

$4(a - 2b) + 2(a + 3b) = $

4) $0.6(x - 6) - (x + 0.4) = 5(0.4x - 0.3) - (2.4x + 2.5).$

1) Чтобы доказать тождество $\frac{1}{6}(18 - 2,4y) + 0,7y = 0,3y + 3$, преобразуем его левую часть.

Раскроем скобки, умножив $\frac{1}{6}$ на каждый член в скобках:

$\frac{1}{6}(18 - 2,4y) + 0,7y = \frac{1}{6} \cdot 18 - \frac{1}{6} \cdot 2,4y + 0,7y = 3 - \frac{2,4}{6}y + 0,7y = 3 - 0,4y + 0,7y$

Теперь приведем подобные слагаемые (члены, содержащие $y$):

$3 + (-0,4y + 0,7y) = 3 + 0,3y$

В результате преобразования левая часть равенства стала $0,3y + 3$, что в точности совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть $ \frac{1}{6}(18 - 2,4y) + 0,7y = 3 - 0,4y + 0,7y = 0,3y + 3 $. Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество $(3x - 5) - 4x - (1 - 2x) = x - 6$, преобразуем его левую часть.

Раскроем скобки. Перед первыми скобками нет знака (подразумевается плюс), поэтому их можно просто убрать. Перед вторыми скобками стоит знак минус, поэтому при их раскрытии знаки всех членов внутри меняются на противоположные:

$(3x - 5) - 4x - (1 - 2x) = 3x - 5 - 4x - 1 + 2x$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: члены с $x$ и свободные члены (числа):

$(3x - 4x + 2x) + (-5 - 1) = (3 - 4 + 2)x - 6 = 1x - 6 = x - 6$

Полученное выражение $x - 6$ совпадает с правой частью исходного равенства. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть $(3x - 5) - 4x - (1 - 2x) = 3x - 5 - 4x - 1 + 2x = x - 6$. Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

3) Чтобы доказать тождество $3a(2 - b) - 2b(-1,5a + 1) = 4(a - 2b) + 2(a + 3b)$, преобразуем левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть:

$3a(2 - b) - 2b(-1,5a + 1) = (3a \cdot 2 - 3a \cdot b) - (2b \cdot (-1,5a) + 2b \cdot 1) = (6a - 3ab) - (-3ab + 2b) = 6a - 3ab + 3ab - 2b$

Приведем подобные слагаемые: $-3ab$ и $+3ab$ взаимно уничтожаются.

$6a - 2b$

Преобразуем правую часть:

$4(a - 2b) + 2(a + 3b) = (4 \cdot a - 4 \cdot 2b) + (2 \cdot a + 2 \cdot 3b) = (4a - 8b) + (2a + 6b) = 4a - 8b + 2a + 6b$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(4a + 2a) + (-8b + 6b) = 6a - 2b$

После преобразований левая и правая части равенства стали одинаковыми: $6a - 2b = 6a - 2b$. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть $3a(2 - b) - 2b(-1,5a + 1) = 6a - 2b$. Правая часть $4(a - 2b) + 2(a + 3b) = 6a - 2b$. Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

4) Чтобы доказать тождество $0,6(x - 6) - (x + 0,4) = 5(0,4x - 0,3) - (2,4x + 2,5)$, преобразуем левую и правую части по отдельности.

Преобразуем левую часть:

$0,6(x - 6) - (x + 0,4) = 0,6x - 0,6 \cdot 6 - x - 0,4 = 0,6x - 3,6 - x - 0,4$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(0,6x - x) + (-3,6 - 0,4) = -0,4x - 4$

Преобразуем правую часть:

$5(0,4x - 0,3) - (2,4x + 2,5) = (5 \cdot 0,4x - 5 \cdot 0,3) - 2,4x - 2,5 = 2x - 1,5 - 2,4x - 2,5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(2x - 2,4x) + (-1,5 - 2,5) = -0,4x - 4$

После преобразований левая и правая части равенства стали одинаковыми: $-0,4x - 4 = -0,4x - 4$. Тождество доказано.

Ответ: Левая часть $0,6(x - 6) - (x + 0,4) = -0,4x - 4$. Правая часть $5(0,4x - 0,3) - (2,4x + 2,5) = -0,4x - 4$. Так как левая часть равна правой, тождество доказано.

1. Заполните пропуски.

1) Пару значений переменных, обращающую ____________ , называют решением уравнения с двумя переменными.

2) Решить уравнение с двумя переменными — это значит ____________.

3) Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим ____________.

4) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, ____________ , то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.

5) Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от ____________ число, то получим ____________.

6) Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из ____________ точек координатной плоскости, ____________.

7) Если какая-то фигура является графиком уравнения, то выполняются ____________ условия:

а) все решения уравнения являются ____________

б) координаты любой точки, принадлежащей графику, — это ____________

1) Пару значений переменных, обращающую уравнение в верное равенство, называют решением уравнения с двумя переменными.

Ответ: уравнение в верное равенство

2) Решить уравнение с двумя переменными — это значит найти все его решения или доказать, что решений нет.

Ответ: найти все его решения или доказать, что решений нет

3) Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получим уравнение, равносильное данному.

Ответ: уравнение, равносильное данному

4) Если какое-либо слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же решения, что и данное.

Ответ: изменив его знак на противоположный

5) Если обе части уравнения умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Ответ: нуля; уравнение, равносильное данному

6) Графиком уравнения с двумя переменными называют геометрическую фигуру, состоящую из всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

Ответ: всех; координаты которых являются решениями этого уравнения

7) Если какая-то фигура является графиком уравнения, то выполняются два условия:

Ответ: два

а) все решения уравнения являются координатами точек, принадлежащих этому графику;

Ответ: координатами точек, принадлежащих этому графику

б) координаты любой точки, принадлежащей графику, — это решение этого уравнения.

Ответ: решение этого уравнения

2. Подчеркните пары чисел, являющиеся решениями уравнения $x^2 - 2y + 3 = 0$.

1) (2; 3,5);

2) (0; -1,5);

3) (1; 2);

4) (5; 14);

5) (-3; -3).

Чтобы определить, является ли пара чисел решением уравнения $x^2 - 2y + 3 = 0$, необходимо подставить значения $x$ и $y$ из каждой пары в уравнение. Если в результате получается верное равенство, то пара является решением.

1) (2; 3,5);

Подставляем $x = 2$ и $y = 3,5$ в уравнение:

$2^2 - 2 \cdot 3,5 + 3 = 4 - 7 + 3 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное. Следовательно, пара чисел (2; 3,5) является решением уравнения.

Ответ: является решением.

2) (0; -1,5);

Подставляем $x = 0$ и $y = -1,5$ в уравнение:

$0^2 - 2 \cdot (-1,5) + 3 = 0 + 3 + 3 = 6$.

Так как $6 \neq 0$, равенство неверное. Следовательно, пара чисел (0; -1,5) не является решением уравнения.

Ответ: не является решением.

3) (1; 2);

Подставляем $x = 1$ и $y = 2$ в уравнение:

$1^2 - 2 \cdot 2 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное. Следовательно, пара чисел (1; 2) является решением уравнения.

Ответ: является решением.

4) (5; 14);

Подставляем $x = 5$ и $y = 14$ в уравнение:

$5^2 - 2 \cdot 14 + 3 = 25 - 28 + 3 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное. Следовательно, пара чисел (5; 14) является решением уравнения.

Ответ: является решением.

5) (-3; -3).

Подставляем $x = -3$ и $y = -3$ в уравнение:

$(-3)^2 - 2 \cdot (-3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18$.

Так как $18 \neq 0$, равенство неверное. Следовательно, пара чисел (-3; -3) не является решением уравнения.

Ответ: не является решением.