Страница 22 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

10. В первый магазин завезли в 6 раз больше сахара, чем во второй. В течение недели в первом магазине было продано 432 кг сахара, а втором – 50 кг, после чего в первом магазине осталось на 60% больше сахара, чем во втором. Сколько килограммов сахара завезли в каждый магазин?

Решение.

Пусть во второй магазин завезли $x$ кг сахара. Тогда в первый завезли

кг. Через неделю во втором магазине осталось ( ) кг

сахара, а в первом – ( ) кг, что составило % массы сахара, оставшегося во втором магазине.

Решение.

Давайте решим эту задачу, составив уравнение. Обозначим количество сахара, которое завезли во второй магазин, за $x$ кг. Согласно условию, в первый магазин завезли в 6 раз больше сахара, следовательно, туда завезли $6x$ кг.

В течение недели в первом магазине было продано 432 кг сахара. Таким образом, в нем осталось $(6x - 432)$ кг сахара.

Во втором магазине за ту же неделю продали 50 кг сахара. Значит, в нем осталось $(x - 50)$ кг сахара.

Из условия известно, что после этого в первом магазине осталось на 60% больше сахара, чем во втором. Это означает, что количество сахара в первом магазине составило $100\% + 60\% = 160\%$ от количества сахара во втором. Выразим 160% в виде десятичной дроби: $160\% = 1.6$.

Теперь мы можем составить уравнение, приравняв количество сахара в первом магазине к 1.6, умноженному на количество сахара во втором магазине:

$6x - 432 = 1.6 \cdot (x - 50)$

Решим это уравнение шаг за шагом:

1. Раскроем скобки в правой части уравнения:

$6x - 432 = 1.6x - 1.6 \cdot 50$

$6x - 432 = 1.6x - 80$

2. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$6x - 1.6x = 432 - 80$

$4.4x = 352$

3. Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 4.4:

$x = \frac{352}{4.4}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{3520}{44}$

$x = 80$

Итак, мы нашли, что во второй магазин изначально завезли 80 кг сахара.

Теперь найдем, сколько сахара завезли в первый магазин, умножив количество сахара второго магазина на 6:

$6x = 6 \cdot 80 = 480$ кг.

Проверка:

1. Остаток в первом магазине: $480 - 432 = 48$ кг.

2. Остаток во втором магазине: $80 - 50 = 30$ кг.

3. Проверим, действительно ли остаток в первом магазине на 60% больше, чем во втором:

$\frac{48}{30} = 1.6$

Это означает, что 48 кг составляют 160% от 30 кг, то есть на 60% больше. Условия задачи выполняются.

Заполняя пропуски в предложенном на изображении решении, мы бы получили:

Пусть во второй магазин завезли x кг сахара. Тогда в первый завезли $6x$ кг. Через неделю во втором магазине осталось ($x - 50$) кг сахара, а в первом — ($6x - 432$) кг, что составило 160% массы сахара, оставшегося во втором магазине.

Ответ: в первый магазин завезли 480 кг сахара, а во второй — 80 кг.

7. Постройте график функции $y = 3 - 0.5x$. Пользуясь графиком, найдите значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Постройте график функции $y = 3 - 0,5x$

Заданная функция $y = 3 - 0,5x$ является линейной. Её график — это прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек, принадлежащих этой прямой.

Найдем точки пересечения графика с осями координат:
1) При $x = 0$ (пересечение с осью $Oy$):
$y = 3 - 0,5 \cdot 0 = 3$.
Получаем точку А с координатами $(0; 3)$.
2) При $y = 0$ (пересечение с осью $Ox$):
$0 = 3 - 0,5x$;
$0,5x = 3$;
$x = 6$.
Получаем точку B с координатами $(6; 0)$.

Построим в системе координат точки A(0; 3) и B(6; 0) и проведём через них прямую.

Ответ: График функции построен на рисунке выше.

Пользуясь графиком, найдите значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения

Чтобы найти значения аргумента ($x$), при которых функция принимает положительные значения ($y > 0$), необходимо определить, на каком промежутке график функции находится выше оси абсцисс ($Ox$).

Анализируя построенный график, мы видим, что прямая пересекает ось $Ox$ в точке B(6; 0). Для всех точек на прямой, которые находятся левее точки B, координата $x$ меньше 6. При этом сама прямая на этом участке лежит выше оси $Ox$, что означает, что координата $y$ для этих точек положительна.

Следовательно, функция $y = 3 - 0,5x$ принимает положительные значения при $x < 6$.

Ответ: $x < 6$.

8. Постройте график функции:

1) $y = 0.4x$

2) $y = -2$

1)

Функция $y = 0,4x$ является линейной функцией вида $y=kx$, где угловой коэффициент $k = 0,4$. Графиком такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат.

Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

Первая точка уже известна, так как прямая проходит через начало координат — это точка $(0; 0)$.

Для нахождения второй точки выберем произвольное значение $x$, отличное от нуля. Чтобы получить целое значение $y$ и избежать неточностей при построении, удобно представить коэффициент $0,4$ в виде обыкновенной дроби: $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Тогда уравнение функции примет вид $y = \frac{2}{5}x$.

Выберем $x=5$.

Подставим это значение в уравнение: $y = \frac{2}{5} \cdot 5 = 2$.

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(5; 2)$.

Теперь на координатной плоскости нужно отметить точки $(0; 0)$ и $(5; 2)$ и провести через них прямую линию.

Ответ: График функции $y = 0,4x$ — это прямая, проходящая через точки с координатами $(0; 0)$ и $(5; 2)$.

2)

Функция $y = -2$ является постоянной функцией (константой). Это означает, что для любого значения переменной $x$, значение переменной $y$ всегда будет равно -2.

Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси $x$) и проходящая через точку с координатой -2 на оси ординат (оси $y$).

Все точки этой прямой имеют ординату, равную -2. Например, точки $(0; -2)$, $(1; -2)$, $(3; -2)$, $(-4; -2)$ принадлежат этому графику.

Для построения графика необходимо провести горизонтальную прямую через отметку -2 на оси $y$.

Ответ: График функции $y = -2$ — это прямая, параллельная оси $x$ и проходящая через точку $(0; -2)$.

9. Укажите с помощью стрелочки для каждой функции, записанной в левом столбце, точку, записанную в правом столбце, через которую проходит график этой функции.

$y = 2x - 1$

$y = -\frac{1}{8}x$

$y = 10 - 7x$

$y = 8$

$y = \frac{1}{3}x + 6$

A (2; -4)

B (16; 8)

C (-16; 2)

D (5; 9)

E (-6; 4)

Чтобы установить соответствие между функцией и точкой, через которую проходит ее график, необходимо подставлять координаты каждой точки $(x; y)$ из правого столбца в уравнение функции. Если при подстановке получается верное числовое равенство, то данная точка лежит на графике этой функции.

$y=2x-1$

Проверим поочередно точки из правого столбца, подставляя их координаты в уравнение функции.

• Точка A(2; -4): $-4 = 2 \cdot 2 - 1 \implies -4 = 3$. Неверно.
• Точка B(16; 8): $8 = 2 \cdot 16 - 1 \implies 8 = 31$. Неверно.
• Точка C(-16; 2): $2 = 2 \cdot (-16) - 1 \implies 2 = -33$. Неверно.
• Точка D(5; 9): $9 = 2 \cdot 5 - 1 \implies 9 = 9$. Верно.

Следовательно, график функции проходит через точку D(5; 9).

Ответ: D (5; 9).

$y=-\frac{1}{8}x$

Проверим, какая из точек удовлетворяет этому уравнению.

• Точка A(2; -4): $-4 = -\frac{1}{8} \cdot 2 \implies -4 = -\frac{1}{4}$. Неверно.
• Точка B(16; 8): $8 = -\frac{1}{8} \cdot 16 \implies 8 = -2$. Неверно.
• Точка C(-16; 2): $2 = -\frac{1}{8} \cdot (-16) \implies 2 = \frac{16}{8} \implies 2 = 2$. Верно.

График функции проходит через точку C(-16; 2).

Ответ: C (-16; 2).

$y=10-7x$

Проверим оставшиеся точки для этого уравнения.

• Точка A(2; -4): $-4 = 10 - 7 \cdot 2 \implies -4 = 10 - 14 \implies -4 = -4$. Верно.

График функции проходит через точку A(2; -4).

Ответ: A (2; -4).

$y=8$

Это уравнение задает горизонтальную прямую, у всех точек которой ордината (координата y) равна 8. Из предложенных точек только одна имеет ординату 8.

• Точка B(16; 8): координата $y=8$. Верно.

График функции проходит через точку B(16; 8).

Ответ: B (16; 8).

$y=\frac{1}{3}x+6$

Проверим последнюю оставшуюся точку E(-6; 4).

• Точка E(-6; 4): $4 = \frac{1}{3} \cdot (-6) + 6 \implies 4 = -2 + 6 \implies 4 = 4$. Верно.

График функции проходит через точку E(-6; 4).

Ответ: E (-6; 4).