Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

13. У агрофирмы имеется 3 участка, на которых растут кусты малины. На первом участке растёт $ \frac{7}{16} $ всех кустов, на втором — $ 30\% $ всех кустов, а на третьем — на 9 кустов меньше, чем на втором. Сколько всего кустов малины растёт на трёх участках?

Решение.

Пусть всего на трёх участках растёт $x$ кустов малины. Тогда на первом участке растёт ____________ кустов, на втором — ____________ кустов, а на третьем — ____________ кустов.

Решение.

Пусть всего на трёх участках растёт $x$ кустов малины. Исходя из условий задачи, выразим количество кустов на каждом участке через $x$:

• На первом участке растёт $\frac{7}{16}$ всех кустов, что составляет $\frac{7}{16}x$ кустов.
• На втором участке растёт 30% всех кустов. Переведём проценты в десятичную дробь: $30\% = \frac{30}{100} = 0.3$. Таким образом, на втором участке растёт $0.3x$ кустов.
• На третьем участке на 9 кустов меньше, чем на втором, то есть $(0.3x - 9)$ кустов.

Сумма кустов на всех трёх участках равна общему количеству кустов $x$. Составим и решим уравнение:

$\frac{7}{16}x + 0.3x + (0.3x - 9) = x$

Упростим левую часть уравнения, сложив слагаемые с $x$:

$\frac{7}{16}x + 0.6x - 9 = x$

Чтобы было удобнее считать, представим десятичную дробь $0.6$ в виде обыкновенной: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$\frac{7}{16}x + \frac{3}{5}x - 9 = x$

Приведём дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 5 это $16 \cdot 5 = 80$.

$\frac{7 \cdot 5}{16 \cdot 5}x + \frac{3 \cdot 16}{5 \cdot 16}x - 9 = x$

$\frac{35}{80}x + \frac{48}{80}x - 9 = x$

$\frac{83}{80}x - 9 = x$

Теперь перенесём все члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а число — в правую:

$\frac{83}{80}x - x = 9$

Представим $x$ как $\frac{80}{80}x$:

$\frac{83}{80}x - \frac{80}{80}x = 9$

$\frac{3}{80}x = 9$

Теперь найдём $x$:

$x = 9 \div \frac{3}{80} = 9 \cdot \frac{80}{3}$

$x = \frac{9 \cdot 80}{3} = 3 \cdot 80 = 240$

Следовательно, общее количество кустов малины на трёх участках составляет 240.

Проверка:

• Первый участок: $\frac{7}{16} \cdot 240 = 7 \cdot 15 = 105$ кустов.
• Второй участок: $0.3 \cdot 240 = 72$ куста.
• Третий участок: $72 - 9 = 63$ куста.
• Всего: $105 + 72 + 63 = 240$ кустов.

Ответ: всего на трёх участках растёт 240 кустов малины.

16. При каком значении $k$ график функции $y = kx - 17$ проходит через точку $M (-3; 13)$?

Чтобы график функции $y = kx - 17$ проходил через точку $M$ с координатами $(-3; 13)$, эти координаты должны удовлетворять уравнению функции. Это значит, что если подставить в уравнение $x = -3$ и $y = 13$, то получится верное равенство.

Выполним подстановку координат точки $M(-3; 13)$ в уравнение функции $y = kx - 17$:
$13 = k \cdot (-3) - 17$

Теперь нам нужно решить полученное линейное уравнение относительно $k$:
$13 = -3k - 17$

Перенесем член $-17$ в левую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$13 + 17 = -3k$
$30 = -3k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $k$, то есть на $-3$:
$k = \frac{30}{-3}$
$k = -10$

Следовательно, при $k = -10$ график функции проходит через заданную точку.

Ответ: -10

17. График функции $y = kx + b$ пересекает оси координат в точках A $(0; -6)$ и B $(2; 0)$. Найдите значения $k$ и $b$.

Решение.

Подставив в формулу $y = kx + b$ координаты точки A, получаем:

Решение

Уравнение линейной функции имеет вид $y = kx + b$. Нам даны две точки, через которые проходит график этой функции: A(0; -6) и B(2; 0). Чтобы найти значения коэффициентов $k$ и $b$, мы можем подставить координаты этих точек в уравнение функции и решить получившуюся систему уравнений.

1. Используем координаты точки A(0; -6).

Подставим $x = 0$ и $y = -6$ в уравнение $y = kx + b$:

$-6 = k \cdot 0 + b$

$-6 = 0 + b$

$b = -6$

Теперь мы знаем значение коэффициента $b$.

2. Используем координаты точки B(2; 0) и найденное значение $b$.

Уравнение функции теперь имеет вид $y = kx - 6$. Подставим в него координаты точки B, где $x = 2$ и $y = 0$:

$0 = k \cdot 2 - 6$

$0 = 2k - 6$

Перенесем 6 в левую часть уравнения:

$2k = 6$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $k$:

$k = \frac{6}{2}$

$k = 3$

Таким образом, мы определили оба коэффициента.

Ответ: $k = 3$, $b = -6$.