Страница 30 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

5. Впишите в пустые клетки знаки «+» или «−» так, чтобы полученное равенство было тождеством:

1) $x \square 9 \square x \square 7 = 2;$

2) $m \square n \square 2m \square 4n \square 3m \square 8n = 3n;$

3) $4y \square 6 \square 7y \square 5 = 11 - 3y;$

4) $3c \square 3 \square 5b \square 3c \square 2b = 3 \square 3b.$

1) Чтобы равенство $x \Box 9 \Box x \Box 7 = 2$ было тождеством, необходимо, чтобы его истинность не зависела от значения переменной $x$. Для этого нужно, чтобы все члены, содержащие $x$, в левой части уравнения взаимно уничтожились (в сумме дали ноль). У нас есть $+x$ и еще один член с $x$. Чтобы они сократились, второй член должен быть $-x$. Значит, во второй клетке должен стоять знак «−».
Выражение принимает вид: $x \Box 9 - x \Box 7 = 2$.
Упростив, получаем: $ (x - x) + ( \Box 9 \Box 7 ) = 2$, что сводится к $ \Box 9 \Box 7 = 2$.
Теперь подберем знаки для чисел $9$ и $7$ так, чтобы получилось $2$. Единственная верная комбинация — это $9 - 7 = 2$.
Таким образом, в первой клетке должен стоять знак «+», а в третьей — знак «−».
Проверим получившееся тождество: $x + 9 - x - 7 = (x-x) + (9-7) = 0 + 2 = 2$. Равенство $2 = 2$ верно при любых $x$.
Ответ: $x + 9 - x - 7 = 2$.

2) В равенстве $m \Box n \Box 2m \Box 4n \Box 3m \Box 8n = 3n$ левая часть должна быть тождественно равна правой. Это значит, что после упрощения левой части все члены с переменной $m$ должны сократиться (так как в правой части $m$ отсутствует), а сумма членов с переменной $n$ должна быть равна $3n$.
Сгруппируем члены с $m$: $m$, $2m$, $3m$. Чтобы их сумма была равна нулю, нужно подобрать знаки. Первый член $m$ положителен. Проверим комбинацию: $m + 2m - 3m = 0$. Эта комбинация подходит. Значит, перед $2m$ ставим «+», а перед $3m$ — «−».
Сгруппируем члены с $n$: $n$, $4n$, $8n$. Их сумма должна быть равна $3n$. Подберем знаки: $-n - 4n + 8n = -5n + 8n = 3n$. Эта комбинация подходит. Значит, перед $n$ ставим «−», перед $4n$ — «−», перед $8n$ — «+».
Объединим все знаки в исходное выражение: $m - n + 2m - 4n - 3m + 8n = 3n$.
Проверим: $(m + 2m - 3m) + (-n - 4n + 8n) = 0 + 3n = 3n$. Равенство $3n = 3n$ верно.
Ответ: $m - n + 2m - 4n - 3m + 8n = 3n$.

3) Рассмотрим равенство $4y \Box 6 \Box 7y \Box 5 = 11 - 3y$. Чтобы оно было тождеством, выражения в левой и правой частях должны быть равны при любом $y$. Упростим левую часть, сгруппировав члены с $y$ и константы.
Члены с $y$: $4y$ и $7y$. Чтобы в сумме получить $-3y$ (коэффициент при $y$ в правой части), необходимо, чтобы $4y - 7y = -3y$. Значит, во второй клетке должен быть знак «−».
Константы: $6$ и $5$. Чтобы в сумме получить $11$ (свободный член в правой части), необходимо, чтобы $6 + 5 = 11$. Значит, в первой и третьей клетках должны быть знаки «+».
Получаем выражение: $4y + 6 - 7y + 5 = 11 - 3y$.
Проверим левую часть: $(4y - 7y) + (6 + 5) = -3y + 11$.
Равенство $-3y + 11 = 11 - 3y$ является тождеством.
Ответ: $4y + 6 - 7y + 5 = 11 - 3y$.

4) В равенстве $3c \Box 3 \Box 5b \Box 3c \Box 2b = 3 \Box 3b$ в правой части отсутствует переменная $c$. Следовательно, в левой части члены с $c$ должны взаимно уничтожиться: $3c - 3c = 0$. Значит, в третьей клетке (перед вторым $3c$) должен быть знак «−».
Равенство принимает вид: $3c \Box 3 \Box 5b - 3c \Box 2b = 3 \Box 3b$.
После сокращения членов с $c$ получаем: $\Box 3 \Box 5b \Box 2b = 3 \Box 3b$.
Приравняем свободные члены (константы) в левой и правой частях. Слева это $\Box 3$, справа $3$. Чтобы $\Box 3 = 3$, в первой клетке должен стоять знак «+».
Теперь приравняем члены с переменной $b$: $\Box 5b \Box 2b = \Box 3b$.
Рассмотрим возможные знаки. Если мы хотим получить в правой части $+3b$, то в последней клетке будет «+». Тогда в левой части должно получиться $+3b$. Это возможно, если $+5b - 2b = 3b$. Значит, перед $5b$ ставим «+», а перед $2b$ — «−».
Собираем все вместе: $3c + 3 + 5b - 3c - 2b = 3 + 3b$.
Проверим: $(3c - 3c) + (5b - 2b) + 3 = 0 + 3b + 3 = 3b + 3$. Правая часть: $3 + 3b$. Равенство $3b+3=3+3b$ является тождеством.
Примечание: для этого пункта существует и второе верное решение. Если в последней клетке поставить «−», то правая часть станет $3-3b$. Тогда в левой части можно подобрать знаки так: $-5b+2b=-3b$. Это приводит к тождеству $3c + 3 - 5b - 3c + 2b = 3 - 3b$.
Ответ: $3c + 3 + 5b - 3c - 2b = 3 + 3b$.

1. Заполните пропуски.

1) Выражение $5^6$ называют _____, число 5 — _____, а число 6 — _____.

2) Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим 1, называют _____.

3) Степень с основанием $a$ и показателем $n$ обозначают _____ и читают: «_____».

4) Запись $a^2$ читают: «_____».

5) Запись $a^3$ читают: «_____».

6) Степенью числа $a$ с показателем 1 называют _____.

7) При возведении неотрицательного числа в степень получаем _____ число.

8) При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем _____ число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем _____ число.

1) Выражение 5⁶ называют ____, число 5 — ____, а число 6 — ____.

Выражение вида $a^n$ называется степенью. Число $a$, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число $n$, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. В данном случае, $5^6$ — это степень, 5 — основание, а 6 — показатель.
Ответ: Выражение $5^6$ называют степенью, число 5 — основанием степени, а число 6 — показателем степени.

2) Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называют ____.

По определению, степень числа $a$ с натуральным показателем $n > 1$ — это математическая операция, представляющая собой результат умножения числа $a$ на самого себя $n$ раз. Это можно записать в виде формулы: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$.
Ответ: Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим 1, называют произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

3) Степень с основанием a и показателем n обозначают ____ и читают: «____».

Для записи степени используется стандартная форма: основание $a$ пишется в основном тексте, а показатель $n$ — в виде надстрочного индекса справа от основания ($a^n$). Это выражение принято читать как «$a$ в степени $n$».
Ответ: Степень с основанием $a$ и показателем $n$ обозначают $a^n$ и читают: «$a$ в степени $n$».

4) Запись a² читают: «____».

Вторая степень числа имеет особое название — «квадрат». Это связано с формулой площади квадрата со стороной $a$, которая равна $S = a \cdot a = a^2$. Поэтому запись $a^2$ обычно читают как «$a$ в квадрате».
Ответ: Запись $a^2$ читают: «$a$ в квадрате».

5) Запись a³ читают: «____».

Третья степень числа также имеет особое название — «куб». Это название происходит от формулы объёма куба с ребром $a$, который равен $V = a \cdot a \cdot a = a^3$. Поэтому запись $a^3$ обычно читают как «$a$ в кубе».
Ответ: Запись $a^3$ читают: «$a$ в кубе».

6) Степенью числа a с показателем 1 называют ____.

По определению, первая степень любого числа равна самому этому числу, так как число умножается само на себя всего один раз (то есть, фактически, умножения не происходит). Таким образом, $a^1 = a$.
Ответ: Степенью числа $a$ с показателем 1 называют само это число $a$.

7) При возведении неотрицательного числа в степень получаем ____ число.

Неотрицательное число — это либо ноль, либо положительное число ($a \ge 0$). Если $a = 0$, то $0^n = 0$ (при $n > 0$), что является неотрицательным числом. Если $a > 0$, то произведение положительных чисел всегда будет положительным числом, которое также является неотрицательным. Например, $2^3 = 8$. Следовательно, результат всегда будет неотрицательным.
Ответ: При возведении неотрицательного числа в степень получаем неотрицательное число.

8) При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем ____ число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем ____ число.

Знак результата зависит от чётности показателя степени.
Чётный показатель ($n = 2k$): При умножении отрицательных чисел чётное количество раз, все знаки «минус» сокращаются попарно (минус на минус даёт плюс). Например, $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2 > 0$. Результат всегда будет положительным.
Нечётный показатель ($n = 2k+1$): При умножении нечётного количества отрицательных чисел один «минус» останется без пары, и в итоге результат будет отрицательным. Например, $(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a) = a^2 \cdot (-a) = -a^3 < 0$. Результат всегда будет отрицательным.
Ответ: При возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получаем положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем получаем отрицательное число.

8. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика уравнения $x - y^2 = 36$ с осями координат.

Решение.

Чтобы найти точку пересечения графика с осью абсцисс, подставим в данное уравнение вместо переменной число

Получаем уравнение с одной переменной:

Решим его:

Следовательно, график пересекает ось абсцисс в точке с координатами

Для нахождения координат точек пересечения графика уравнения $x - y^2 = 36$ с осями координат, необходимо рассмотреть два случая.

1. Пересечение с осью абсцисс (осью ОХ)

Точки, лежащие на оси абсцисс, имеют координату $y = 0$. Чтобы найти точку пересечения графика с этой осью, подставим в данное уравнение вместо переменной $y$ число $0$.

Получаем уравнение с одной переменной:
$x - 0^2 = 36$

Решим его:
$x - 0 = 36$
$x = 36$

Таким образом, график пересекает ось абсцисс в точке с координатами $(36; 0)$.

Ответ: $(36; 0)$.

2. Пересечение с осью ординат (осью ОY)

Точки, лежащие на оси ординат, имеют координату $x = 0$. Чтобы найти точки пересечения графика с этой осью, подставим в данное уравнение вместо переменной $x$ число $0$.

Получаем уравнение с одной переменной:
$0 - y^2 = 36$

Решим его:
$-y^2 = 36$
$y^2 = -36$

Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, у графика нет точек пересечения с осью ординат.

Ответ: точек пересечения с осью ординат нет.