Страница 31 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

2. Выполните возведение в степень:

1) $0,2^2 = \rule{3em}{0.4pt}$

2) $13^2 = \rule{3em}{0.4pt}$

3) $10^5 = \rule{3em}{0.4pt}$

4) $(-1)^{19} = \rule{3em}{0.4pt}$

5) $0^6 = \rule{3em}{0.4pt}$

6) $(\frac{2}{3})^4 = \rule{3em}{0.4pt}$

7) $(1\frac{9}{11})^2 = \rule{3em}{0.4pt}$

8) $(-1\frac{1}{2})^5 = \rule{3em}{0.4pt}$

1) Чтобы возвести десятичную дробь $0,2$ во вторую степень, необходимо умножить ее саму на себя:
$0,2^2 = 0,2 \times 0,2 = 0,04$.
Ответ: 0,04

2) Возведение числа $13$ в квадрат (во вторую степень) означает умножение этого числа на само себя:
$13^2 = 13 \times 13 = 169$.
Ответ: 169

3) Число $10$ в пятой степени — это произведение пяти десяток. Также это можно представить как единицу с пятью нулями:
$10^5 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 100000$.
Ответ: 100000

4) При возведении отрицательного числа в степень, результат будет отрицательным, если показатель степени — нечетное число. Так как $19$ — это нечетное число, то результат будет отрицательным. Единица в любой степени равна единице.
$(-1)^{19} = -1$.
Ответ: -1

5) Ноль, возведенный в любую натуральную степень (кроме нуля), равен нулю:
$0^6 = 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0 \times 0 = 0$.
Ответ: 0

6) Чтобы возвести обыкновенную дробь в степень, нужно возвести в эту степень и ее числитель, и ее знаменатель:
$(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \times 2 \times 2 \times 2}{3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{16}{81}$.
Ответ: $\frac{16}{81}$

7) Сначала необходимо перевести смешанное число в неправильную дробь. Для этого целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель:
$1\frac{9}{11} = \frac{1 \times 11 + 9}{11} = \frac{20}{11}$.
Теперь возводим полученную дробь в квадрат:
$(\frac{20}{11})^2 = \frac{20^2}{11^2} = \frac{400}{121}$.
Для удобства можно перевести неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком: $400 \div 121 = 3$ и остаток $37$.
$\frac{400}{121} = 3\frac{37}{121}$.
Ответ: $3\frac{37}{121}$

8) Аналогично предыдущему примеру, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$-1\frac{1}{2} = -(\frac{1 \times 2 + 1}{2}) = -\frac{3}{2}$.
Так как основание отрицательное, а показатель степени ($5$) — нечетное число, результат будет отрицательным. Возводим дробь в степень:
$(-\frac{3}{2})^5 = -(\frac{3^5}{2^5}) = -\frac{3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3}{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2} = -\frac{243}{32}$.
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $243 \div 32 = 7$ и остаток $19$.
$-\frac{243}{32} = -7\frac{19}{32}$.
Ответ: $-7\frac{19}{32}$

3. Заполните таблицу.

Для того чтобы заполнить таблицу, необходимо последовательно подставить каждое значение переменной $a$ в выражения из левого столбца и произвести вычисления.

При $a=5$: $3a^2 = 3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$

При $a=-5$: $3a^2 = 3 \cdot (-5)^2 = 3 \cdot 25 = 75$

При $a=0,2$: $3a^2 = 3 \cdot (0,2)^2 = 3 \cdot 0,04 = 0,12$

При $a=-0,2$: $3a^2 = 3 \cdot (-0,2)^2 = 3 \cdot 0,04 = 0,12$

При $a=\frac{1}{3}$: $3a^2 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

При $a=-\frac{1}{3}$: $3a^2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

При $a=0$: $3a^2 = 3 \cdot 0^2 = 3 \cdot 0 = 0$

При $a=\frac{1}{6}$: $3a^2 = 3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

При $a=-\frac{1}{6}$: $3a^2 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^2 = 3 \cdot \frac{1}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Ответ: значения для строки $3a^2$ следующие: 75; 75; 0,12; 0,12; $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{3}$; 0; $\frac{1}{12}$; $\frac{1}{12}$.

При $a=5$: $(3a)^2 = (3 \cdot 5)^2 = 15^2 = 225$

При $a=-5$: $(3a)^2 = (3 \cdot (-5))^2 = (-15)^2 = 225$

При $a=0,2$: $(3a)^2 = (3 \cdot 0,2)^2 = (0,6)^2 = 0,36$

При $a=-0,2$: $(3a)^2 = (3 \cdot (-0,2))^2 = (-0,6)^2 = 0,36$

При $a=\frac{1}{3}$: $(3a)^2 = \left(3 \cdot \frac{1}{3}\right)^2 = 1^2 = 1$

При $a=-\frac{1}{3}$: $(3a)^2 = \left(3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\right)^2 = (-1)^2 = 1$

При $a=0$: $(3a)^2 = (3 \cdot 0)^2 = 0^2 = 0$

При $a=\frac{1}{6}$: $(3a)^2 = \left(3 \cdot \frac{1}{6}\right)^2 = \left(\frac{3}{6}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

При $a=-\frac{1}{6}$: $(3a)^2 = \left(3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right)^2 = \left(-\frac{3}{6}\right)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Ответ: значения для строки $(3a)^2$ следующие: 225; 225; 0,36; 0,36; 1; 1; 0; $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{4}$.

При $a=5$: $3a^3 = 3 \cdot 5^3 = 3 \cdot 125 = 375$

При $a=-5$: $3a^3 = 3 \cdot (-5)^3 = 3 \cdot (-125) = -375$

При $a=0,2$: $3a^3 = 3 \cdot (0,2)^3 = 3 \cdot 0,008 = 0,024$

При $a=-0,2$: $3a^3 = 3 \cdot (-0,2)^3 = 3 \cdot (-0,008) = -0,024$

При $a=\frac{1}{3}$: $3a^3 = 3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 = 3 \cdot \frac{1}{27} = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}$

При $a=-\frac{1}{3}$: $3a^3 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^3 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) = -\frac{3}{27} = -\frac{1}{9}$

При $a=0$: $3a^3 = 3 \cdot 0^3 = 3 \cdot 0 = 0$

При $a=\frac{1}{6}$: $3a^3 = 3 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^3 = 3 \cdot \frac{1}{216} = \frac{3}{216} = \frac{1}{72}$

При $a=-\frac{1}{6}$: $3a^3 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^3 = 3 \cdot \left(-\frac{1}{216}\right) = -\frac{3}{216} = -\frac{1}{72}$

Ответ: значения для строки $3a^3$ следующие: 375; -375; 0,024; -0,024; $\frac{1}{9}$; $-\frac{1}{9}$; 0; $\frac{1}{72}$; $-\frac{1}{72}$.

Итоговая заполненная таблица:

4. Заполните пропуск положительным числом:

1) $0,36 = (\text{_______})^2;$

2) $\frac{9}{25} = (\frac{\text{_______}}{\text{_______}})^2;$

3) $-27 = (-\text{_______})^3;$

4) $0,0625 = (\text{_______})^4.$

1) В данном уравнении $0,36 = (x)^2$ требуется найти положительное число $x$. Для этого необходимо извлечь квадратный корень из числа $0,36$. $x = \sqrt{0,36}$ Мы знаем, что $6 \times 6 = 36$, следовательно, $0,6 \times 0,6 = 0,36$. Таким образом, искомое число равно $0,6$.
Ответ: 0,6

2) Нужно найти положительное число $x$ для уравнения $\frac{9}{25} = (-x)^2$. Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного числа, то есть $(-x)^2 = x^2$, уравнение можно переписать в виде $\frac{9}{25} = x^2$. Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из дроби: $x = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{25}} = \frac{3}{5}$. Искомое положительное число — это дробь $\frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

3) Требуется найти положительное число $x$ для уравнения $-27 = (-x)^3$. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (3) дает отрицательный результат: $(-x)^3 = -x^3$. Получаем уравнение $-27 = -x^3$. Умножив обе части на $-1$, имеем $27 = x^3$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из $27$: $x = \sqrt[3]{27}$. Так как $3 \times 3 \times 3 = 27$, искомое число равно $3$.
Ответ: 3

4) Необходимо найти положительное число $x$ для уравнения $0,0625 = (x)^4$. Для этого извлечем корень четвертой степени из $0,0625$. $x = \sqrt[4]{0,0625}$. Проще работать с обыкновенной дробью: $0,0625 = \frac{625}{10000}$. Тогда $x = \sqrt[4]{\frac{625}{10000}} = \frac{\sqrt[4]{625}}{\sqrt[4]{10000}}$. Мы знаем, что $5^4 = 625$ и $10^4 = 10000$. Следовательно, $x = \frac{5}{10} = 0,5$. Искомое число равно $0,5$.
Ответ: 0,5

5. Найдите значение выражения:

1) $7 \cdot 3^2 - 2^4 = $

2) $(3^2 + 3)^2 = $

3) $5^3 - 3 \cdot 7^2 = $

1) Для нахождения значения выражения $7 \cdot 3^2 - 2^4$ необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Сначала выполняется возведение в степень, затем умножение и, наконец, вычитание.

1. Вычислим значения степеней:

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

2. Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$7 \cdot 9 - 16$

3. Теперь выполним операцию умножения:

$7 \cdot 9 = 63$

4. Последним действием выполним вычитание:

$63 - 16 = 47$

Ответ: 47

2) В выражении $(3^2 + 3)^2$ сначала нужно выполнить все действия внутри скобок, а затем возвести полученный результат в степень.

1. Вычислим значение выражения в скобках. Сначала возводим в степень:

$3^2 = 9$

2. Затем выполняем сложение в скобках:

$9 + 3 = 12$

3. Теперь возводим результат в квадрат:

$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$

Ответ: 144

3) Чтобы найти значение выражения $5^3 - 3 \cdot 7^2$, следуем порядку действий: сначала возведение в степень, затем умножение и в конце вычитание.

1. Вычислим значения степеней:

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

2. Подставим эти значения в выражение:

$125 - 3 \cdot 49$

3. Выполним умножение:

$3 \cdot 49 = 147$

4. Выполним вычитание:

$125 - 147 = -22$

Ответ: -22

9. Запишите какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел:

1) (2; -7):

2) (1; 0):

3) (0,6; $\frac{1}{3}$):

1) (2; -7):

Чтобы составить уравнение с двумя переменными, решением которого является пара чисел $(2; -7)$, мы можем использовать переменные $x$ и $y$, где $x=2$ и $y=-7$. Самый простой способ — это составить линейное уравнение вида $ax + by = c$.

Мы можем выбрать любые коэффициенты $a$ и $b$ (не равные нулю одновременно), а затем вычислить $c$. Например, выберем самые простые коэффициенты $a=1$ и $b=1$. Тогда наше уравнение примет вид $x + y = c$.

Теперь подставим значения $x=2$ и $y=-7$ в левую часть уравнения, чтобы найти $c$:

$c = 2 + (-7) = 2 - 7 = -5$.

Таким образом, мы получаем уравнение $x + y = -5$.

Проверим, является ли пара $(2; -7)$ решением этого уравнения:

$2 + (-7) = -5$

$-5 = -5$

Равенство верное, значит, уравнение составлено правильно. Заметим, что можно составить бесконечно много таких уравнений, например, $x - y = 9$ или $2x + y = -3$.

Ответ: $x + y = -5$

2) (1; 0):

Для пары чисел $(1; 0)$ мы имеем $x=1$ и $y=0$. Составим уравнение, решением которого будет эта пара.

Возьмем, к примеру, уравнение вида $ax + by = c$. Выберем коэффициенты, например, $a=1$ и $b=-1$. Уравнение будет иметь вид $x - y = c$.

Подставим значения $x=1$ и $y=0$ для нахождения $c$:

$c = 1 - 0 = 1$.

Следовательно, искомое уравнение — $x - y = 1$.

Проверим его: $1 - 0 = 1$, что является верным равенством. Другими возможными примерами могут быть $x+y=1$ или $5x-3y=5$.

Ответ: $x - y = 1$

3) (0,6; 1/3):

Для пары чисел $(0,6; \frac{1}{3})$ зададим переменные $x=0,6$ и $y=\frac{1}{3}$. Для удобства вычислений представим десятичную дробь в виде обыкновенной:

$x = 0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Итак, наша пара чисел — $(\frac{3}{5}; \frac{1}{3})$.

Чтобы составить уравнение с целыми коэффициентами, удобно выбрать коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении $ax + by = c$ так, чтобы они были кратны знаменателям дробей. Знаменатели у нас 5 и 3.

Возьмем $a=5$ и $b=3$. Тогда уравнение будет $5x + 3y = c$.

Найдем значение $c$, подставив $x = \frac{3}{5}$ и $y = \frac{1}{3}$:

$c = 5 \cdot (\frac{3}{5}) + 3 \cdot (\frac{1}{3}) = 3 + 1 = 4$.

Таким образом, мы получили уравнение с целыми коэффициентами: $5x + 3y = 4$.

Проверим, подставив исходные значения:

$5 \cdot 0,6 + 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 + 1 = 4$.

$4=4$.

Равенство верное.

Ответ: $5x + 3y = 4$

10. Решите уравнение $(x - 6)^2 + |y + 2|^2 = 0.$

Решение.

Поскольку $(x - 6)^2 \ge 0$ и $|y + 2| \ge 0$ при любых значениях переменных, то левая часть уравнения обращается в нуль только при одновременном выполнении условий:

Левая часть данного уравнения, $(x - 6)^2 + |y + 2|^2 = 0$, представляет собой сумму двух слагаемых.

Рассмотрим каждое слагаемое. Первое слагаемое, $(x - 6)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно (больше или равно нулю): $(x - 6)^2 \ge 0$. Это выражение равно нулю только при условии, что $x - 6 = 0$.

Второе слагаемое, $|y + 2|^2$, является квадратом модуля. Модуль числа $|y + 2|$ всегда неотрицателен, и его квадрат также всегда неотрицателен: $|y + 2|^2 \ge 0$. Это выражение равно нулю только при условии, что $y + 2 = 0$.

Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих выражений равно нулю. Поэтому исходное уравнение эквивалентно системе двух уравнений, которые должны выполняться одновременно:

$$ \begin{cases} (x - 6)^2 = 0 \\ |y + 2|^2 = 0 \end{cases} $$

Решим первое уравнение системы:

$(x - 6)^2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x = 6$

Решим второе уравнение системы:

$|y + 2|^2 = 0$

$|y + 2| = 0$

$y + 2 = 0$

$y = -2$

Следовательно, единственным решением уравнения является пара чисел $x = 6$ и $y = -2$.

Ответ: $(6; -2)$.

11. Решите уравнение:

1) $(x+1)^2 + y^2 = 0;$

2) $|x-3| + (y-10)^2 = 0.$

1) $(x + 1)^2 + y^2 = 0$

Данное уравнение представляет собой сумму двух слагаемых. Первое слагаемое, $(x + 1)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(x + 1)^2 \geq 0$. Второе слагаемое, $y^2$, также является квадратом и также неотрицательно: $y^2 \geq 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел равно нулю. Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} (x + 1)^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} $

Решая первое уравнение, получаем:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Решая второе уравнение, получаем:

$y = 0$

Следовательно, единственное решение данного уравнения — это пара чисел $x = -1$ и $y = 0$.

Ответ: $x = -1$, $y = 0$.

2) $|x - 3| + (y - 10)^2 = 0$

В этом уравнении также представлена сумма двух неотрицательных слагаемых. Первое слагаемое, $|x - 3|$, является модулем действительного числа, и его значение всегда неотрицательно: $|x - 3| \geq 0$. Второе слагаемое, $(y - 10)^2$, является квадратом действительного числа и также всегда неотрицательно: $(y - 10)^2 \geq 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю. Это позволяет нам перейти к системе уравнений:

$ \begin{cases} |x - 3| = 0 \\ (y - 10)^2 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение системы:

Из первого уравнения $|x - 3| = 0$ следует, что выражение под знаком модуля равно нулю:

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Из второго уравнения $(y - 10)^2 = 0$ следует, что основание степени равно нулю:

$y - 10 = 0$

$y = 10$

Таким образом, решением уравнения является пара чисел $x = 3$ и $y = 10$.

Ответ: $x = 3$, $y = 10$.

12. При каких значениях a уравнение $3x^2 + 4|y| = a - 3$:

1) имеет одно решение;

2) не имеет решений?

Ответ: 1) _____; 2) ________.

Рассмотрим данное уравнение: $3x^2 + 4|y| = a - 3$.

Левая часть уравнения, $3x^2 + 4|y|$, состоит из двух слагаемых, каждое из которых является неотрицательным при любых значениях $x$ и $y$.

Действительно, $x^2 \ge 0$, следовательно, $3x^2 \ge 0$.

Аналогично, $|y| \ge 0$, следовательно, $4|y| \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных выражений также является неотрицательной: $3x^2 + 4|y| \ge 0$.

Минимальное значение левой части достигается тогда и только тогда, когда оба слагаемых равны нулю, то есть при $x=0$ и $y=0$. В этом случае значение выражения равно $3(0)^2 + 4|0| = 0$.

Правая часть уравнения, $a - 3$, представляет собой константу, зависящую от параметра $a$.

1) имеет одно решение

Уравнение имеет решения (пары $(x, y)$) только в том случае, если правая часть не меньше левой. Поскольку минимальное значение левой части равно 0, уравнение может иметь решения только при $a - 3 \ge 0$.

Рассмотрим симметрию решений. Если пара $(x_0, y_0)$ является решением, то:

- Пара $(-x_0, y_0)$ также является решением, так как $(-x_0)^2 = x_0^2$.

- Пара $(x_0, -y_0)$ также является решением, так как $|-y_0| = |y_0|$.

Чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы все симметричные решения совпадали. Это возможно только в том случае, когда $x_0 = -x_0$ и $y_0 = -y_0$, что означает $x_0 = 0$ и $y_0 = 0$.

Таким образом, единственное возможное решение — это пара $(0, 0)$. Подставим эти значения в исходное уравнение, чтобы найти соответствующее значение параметра $a$:

$3(0)^2 + 4|0| = a - 3$

$0 + 0 = a - 3$

$0 = a - 3$

$a = 3$

Проверим. При $a=3$ уравнение принимает вид $3x^2 + 4|y| = 0$. Как мы уже установили, сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю. То есть $3x^2=0$ и $4|y|=0$, откуда следует, что $x=0$ и $y=0$. Это и есть единственное решение.

Ответ: $a=3$

2) не имеет решений

Уравнение не будет иметь решений, если значение левой части никогда не сможет быть равным значению правой части.

Мы установили, что левая часть уравнения, $3x^2 + 4|y|$, всегда неотрицательна: $3x^2 + 4|y| \ge 0$.

Следовательно, если правая часть уравнения, $a - 3$, будет строго отрицательной, то равенство станет невозможным, и уравнение не будет иметь решений.

Найдем значения $a$, при которых правая часть отрицательна:

$a - 3 < 0$

$a < 3$

При таких значениях $a$ неотрицательное выражение $3x^2 + 4|y|$ должно равняться отрицательному числу $a-3$, что невозможно для действительных чисел $x$ и $y$.

Ответ: $a < 3$