Страница 32 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

6. Сравните значения выражений:

1) $(-4,8)^5$ $(-2,3)^2$;

2) $-10^{10}$ $(-10)^{10}$.

3) $(-46)^{24}$ $46^{24}$.

4) $(-51)^7$ $(-53)^7$.

1) Сравним выражения $(-4,8)^5$ и $(-2,3)^2$.

Первое выражение, $(-4,8)^5$, является отрицательным числом, так как отрицательное основание возводится в нечетную степень.
$(-4,8)^5 < 0$

Второе выражение, $(-2,3)^2$, является положительным числом, так как отрицательное основание возводится в четную степень.
$(-2,3)^2 > 0$

Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, следовательно, $(-4,8)^5 < (-2,3)^2$.
Ответ: $(-4,8)^5 < (-2,3)^2$.

2) Сравним выражения $-10^{10}$ и $(-10)^{10}$.

В первом выражении, $-10^{10}$, операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Поэтому сначала вычисляется $10^{10}$, а затем к результату применяется знак минус. Значение выражения отрицательно.
$-10^{10} = -(10^{10})$

Во втором выражении, $(-10)^{10}$, отрицательное число $-10$ возводится в четную степень $10$. Результат будет положительным.
$(-10)^{10} = 10^{10}$

Отрицательное число всегда меньше положительного, поэтому $-10^{10} < (-10)^{10}$.
Ответ: $-10^{10} < (-10)^{10}$.

3) Сравним выражения $(-46)^{24}$ и $46^{24}$.

При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положителен. Знак минус "исчезает".
$(-46)^{24} = 46^{24}$

Таким образом, значения данных выражений равны.
Ответ: $(-46)^{24} = 46^{24}$.

4) Сравним выражения $(-51)^7$ и $(-53)^7$.

Оба выражения представляют собой отрицательные числа, возведенные в нечетную степень $7$. В обоих случаях результат будет отрицательным.
$(-51)^7 = -51^7$
$(-53)^7 = -53^7$

Нам нужно сравнить два отрицательных числа: $-51^7$ и $-53^7$. Для этого сначала сравним их модули (абсолютные величины): $51^7$ и $53^7$.

Поскольку основания $51 < 53$, а показатели степени одинаковы, то $51^7 < 53^7$.

При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше. Так как $51^7 < 53^7$, то $-51^7 > -53^7$.

Следовательно, $(-51)^7 > (-53)^7$.
Ответ: $(-51)^7 > (-53)^7$.

7. Сравните с нулём значение выражения:

1) $(-6)^8 \cdot (-15)^9 \square 0;$

2) $(-11)^7 \cdot (-19)^3 \square 0;$

3) $(-4)^{15} \cdot (-5)^{16} \cdot (-9)^{21} \square 0;$

4) $(-2)^{18} \cdot (-7)^{13} \cdot (-8)^{20} \square 0.$

1) Для сравнения значения выражения $(-6)^8 \cdot (-15)^9$ с нулём, необходимо определить знак каждого множителя.
Основное правило: при возведении отрицательного числа в степень, результат будет положительным, если показатель степени — чётное число, и отрицательным, если показатель степени — нечётное число.
- Первый множитель $(-6)^8$: основание $-6$ отрицательное, а показатель степени $8$ — чётный. Следовательно, $(-6)^8$ является положительным числом ($(-6)^8 > 0$).
- Второй множитель $(-15)^9$: основание $-15$ отрицательное, а показатель степени $9$ — нечётный. Следовательно, $(-15)^9$ является отрицательным числом ($(-15)^9 < 0$).
Произведение положительного числа на отрицательное есть число отрицательное.
Таким образом, $(-6)^8 \cdot (-15)^9 < 0$.
Ответ: $(-6)^8 \cdot (-15)^9 < 0$.

2) Сравним выражение $(-11)^7 \cdot (-19)^3$ с нулём.
- Первый множитель $(-11)^7$: основание $-11$ отрицательное, показатель степени $7$ — нечётный. Значит, $(-11)^7$ — отрицательное число ($(-11)^7 < 0$).
- Второй множитель $(-19)^3$: основание $-19$ отрицательное, показатель степени $3$ — нечётный. Значит, $(-19)^3$ — отрицательное число ($(-19)^3 < 0$).
Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.
Таким образом, $(-11)^7 \cdot (-19)^3 > 0$.
Ответ: $(-11)^7 \cdot (-19)^3 > 0$.

3) Сравним выражение $(-4)^{15} \cdot (-5)^{16} \cdot (-9)^{21}$ с нулём.
Определим знак каждого из трёх множителей:
- Множитель $(-4)^{15}$: основание отрицательное, показатель $15$ — нечётный. Результат отрицательный ($(-4)^{15} < 0$).
- Множитель $(-5)^{16}$: основание отрицательное, показатель $16$ — чётный. Результат положительный ($(-5)^{16} > 0$).
- Множитель $(-9)^{21}$: основание отрицательное, показатель $21$ — нечётный. Результат отрицательный ($(-9)^{21} < 0$).
Теперь определим знак всего произведения: $(\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное}) \cdot (\text{отрицательное})$. В произведении два отрицательных множителя. Чётное количество отрицательных множителей даёт в итоге положительный результат.
Таким образом, $(-4)^{15} \cdot (-5)^{16} \cdot (-9)^{21} > 0$.
Ответ: $(-4)^{15} \cdot (-5)^{16} \cdot (-9)^{21} > 0$.

4) Сравним выражение $(-2)^{18} \cdot (-7)^{13} \cdot (-8)^{20}$ с нулём.
Определим знак каждого из трёх множителей:
- Множитель $(-2)^{18}$: основание отрицательное, показатель $18$ — чётный. Результат положительный ($(-2)^{18} > 0$).
- Множитель $(-7)^{13}$: основание отрицательное, показатель $13$ — нечётный. Результат отрицательный ($(-7)^{13} < 0$).
- Множитель $(-8)^{20}$: основание отрицательное, показатель $20$ — чётный. Результат положительный ($(-8)^{20} > 0$).
Теперь определим знак всего произведения: $(\text{положительное}) \cdot (\text{отрицательное}) \cdot (\text{положительное})$. В произведении один отрицательный множитель. Нечётное количество отрицательных множителей даёт в итоге отрицательный результат.
Таким образом, $(-2)^{18} \cdot (-7)^{13} \cdot (-8)^{20} < 0$.
Ответ: $(-2)^{18} \cdot (-7)^{13} \cdot (-8)^{20} < 0$.

8. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) сумма кубов чисел 5 и 3; $5^3 + 3^3$

2) квадрат разности чисел $\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{12}$; $(\frac{1}{8} - \frac{5}{12})^2$

3) квадрат суммы куба числа $-6$ и квадрата числа $-15$. $((-6)^3 + (-15)^2)^2$

1) сумма кубов чисел 5 и 3
Составим числовое выражение, соответствующее данному условию. Куб числа 5 – это $5^3$. Куб числа 3 – это $3^3$. Сумма кубов этих чисел – это $5^3 + 3^3$.
Теперь найдем значение этого выражения:
Сначала вычислим куб каждого числа:
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$
Затем найдем их сумму:
$125 + 27 = 152$
Ответ: 152

2) квадрат разности чисел $\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{12}$
Составим числовое выражение. Разность чисел $\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{12}$ – это $(\frac{1}{8} - \frac{5}{12})$. Квадрат этой разности – это $(\frac{1}{8} - \frac{5}{12})^2$.
Найдем значение выражения. Сначала выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 12 – это 24.
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$
Теперь найдем разность:
$\frac{3}{24} - \frac{10}{24} = -\frac{7}{24}$
Возведем полученную дробь в квадрат:
$(-\frac{7}{24})^2 = \frac{(-7)^2}{24^2} = \frac{49}{576}$
Ответ: $\frac{49}{576}$

3) квадрат суммы куба числа –6 и квадрата числа –15
Составим числовое выражение. Куб числа –6 – это $(-6)^3$. Квадрат числа –15 – это $(-15)^2$. Сумма этих значений – это $((-6)^3 + (-15)^2)$. Квадрат этой суммы – это $ ((-6)^3 + (-15)^2)^2 $.
Найдем значение выражения по действиям:
1. Вычислим куб числа –6:
$(-6)^3 = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) = -216$
2. Вычислим квадрат числа –15:
$(-15)^2 = (-15) \cdot (-15) = 225$
3. Найдем сумму результатов:
$-216 + 225 = 9$
4. Возведем полученную сумму в квадрат:
$9^2 = 81$
Ответ: 81

9. Впишите в пустую клетку такое число, чтобы получилось верное равенство:

1) 1 га = $10^{\square}$ а;

2) 1 га = $10^{\square}$ м$^2$;

3) 1 а = $10^{\square}$ м$^2$;

4) 1 га = $10^{\square}$ см$^2$.

1) Чтобы найти число, которое нужно вписать в клетку, необходимо знать соотношение между гектарами (га) и арами (а). Один гектар равен ста арам.
$1 \text{ га} = 100 \text{ а}$
Теперь нам нужно представить число 100 в виде степени с основанием 10. Поскольку $10 \times 10 = 100$, то $100 = 10^2$.
Таким образом, равенство будет выглядеть так:
$1 \text{ га} = 10^2 \text{ а}$
Ответ: 2

2) В этом пункте нужно перевести гектары (га) в квадратные метры (м²). 1 гектар — это площадь квадрата со стороной 100 метров. Площадь этого квадрата равна:
$S = 100 \text{ м} \times 100 \text{ м} = 10000 \text{ м}^2$
Следовательно, $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$.
Представим число 10000 в виде степени с основанием 10. Число 10000 имеет четыре нуля, значит, это $10^4$.
$10000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4$
Получаем верное равенство:
$1 \text{ га} = 10^4 \text{ м}^2$
Ответ: 4

3) Здесь необходимо установить соотношение между аром (а) и квадратным метром (м²). 1 ар (также известный как "сотка") представляет собой площадь квадрата со стороной 10 метров.
$1 \text{ а} = 10 \text{ м} \times 10 \text{ м} = 100 \text{ м}^2$
Представим число 100 в виде степени с основанием 10:
$100 = 10^2$
Таким образом, верное равенство:
$1 \text{ а} = 10^2 \text{ м}^2$
Ответ: 2

4) В этой задаче нужно перевести гектары (га) в квадратные сантиметры (см²). Выполним перевод поэтапно.
Сначала переведем гектары в квадратные метры, как в пункте 2:
$1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$
Далее переведем квадратные метры в квадратные сантиметры. Мы знаем, что в 1 метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$).
Тогда 1 квадратный метр равен:
$1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$
Теперь подставим это значение в наше выражение для гектара:
$1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2 = 10000 \times 10000 \text{ см}^2 = 100000000 \text{ см}^2$
Осталось представить число 100 000 000 в виде степени с основанием 10. В этом числе 8 нулей, поэтому оно равно $10^8$.
$100000000 = 10^8$
Итоговое равенство:
$1 \text{ га} = 10^8 \text{ см}^2$
Ответ: 8

10. При каких значениях x и y верно равенство $(x - 7)^2 + (y + 3)^2 = 0$?

Решение.

Выражения $(x - 7)^2$ и $(y + 3)^2$ принимают неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Решение.

Данное равенство представляет собой сумму двух квадратов: $(x - 7)^2 + (y + 3)^2 = 0$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, то есть он всегда больше или равен нулю. Следовательно, мы имеем два условия:

• $(x - 7)^2 \ge 0$ для любого значения $x$.
• $(y + 3)^2 \ge 0$ для любого значения $y$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых может быть равна нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю. Таким образом, для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия:

1) $(x - 7)^2 = 0$

2) $(y + 3)^2 = 0$

Решим первое уравнение:

$(x - 7)^2 = 0$

$x - 7 = 0$

$x = 7$

Решим второе уравнение:

$(y + 3)^2 = 0$

$y + 3 = 0$

$y = -3$

Следовательно, равенство верно только при $x = 7$ и $y = -3$.

Ответ: Равенство верно при $x = 7$ и $y = -3$.

13. Постройте график уравнения $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 0$.

Решение.

Решение.

Проанализируем данное уравнение: $(x - 1)^2 + (y + 4)^2 = 0$. Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, мы имеем $(x - 1)^2 \ge 0$ и $(y + 4)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: $(x - 1)^2 = 0$ и $(y + 4)^2 = 0$.

Это равносильно системе уравнений: $\begin{cases} x - 1 = 0 \\ y + 4 = 0 \end{cases}$

Решая эту систему, находим единственное решение: $\begin{cases} x = 1 \\ y = -4 \end{cases}$

Таким образом, графиком данного уравнения является единственная точка на координатной плоскости с координатами $(1; -4)$. Ниже представлен график этого уравнения.

Ответ: Графиком уравнения является точка с координатами (1; -4).

14. Постройте график уравнения $xy + y^2 = 0$.

Решение.

Разложим на множители левую часть данного уравнения:

Решение.

Разложим на множители левую часть данного уравнения: $xy + y^2 = 0$.

Для этого вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(x + y) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y = 0$ или $x + y = 0$.

Графиком исходного уравнения является объединение графиков каждого из этих двух уравнений.

1. Графиком уравнения $y = 0$ является прямая, совпадающая с осью абсцисс (осью Ox). Это горизонтальная линия, проходящая через все точки, у которых ордината равна нулю.

2. Графиком уравнения $x + y = 0$ также является прямая. Выразим $y$ через $x$ для удобства построения:

$y = -x$

Это прямая, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Она проходит через начало координат (0,0) и, например, через точку (1, -1) и (-1, 1).

Таким образом, искомый график состоит из двух прямых, пересекающихся в точке (0,0): оси Ox и прямой $y = -x$.

Ответ: Графиком уравнения $xy + y^2 = 0$ является объединение двух пересекающихся прямых: $y = 0$ (ось Ox) и $y = -x$.

15. Сопоставьте каждой фигуре, изображённой на рисунке, уравнение, графиком которого она является.

1) $(y + 3)(y - 1) = 0$;

2) $(y - 3)^2 + (x + 1)^2 = 0$;

3) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0$;

4) $(|x| - 1)^2 + (y + 3)^2 = 0$;

5) $|x - 1|^2 + (|y| + 3)^2 = 0$;

6) $(y + 3)(x - 1) = 0$.

1) 2) 3) 4) Ответ:

Для того, чтобы сопоставить каждой фигуре уравнение, проанализируем каждое уравнение и соответствующий ему график.

1) На рисунке 1 изображены две перпендикулярные прямые: вертикальная прямая $x=1$ и горизонтальная прямая $y=-3$. Уравнение, описывающее объединение двух графиков, можно получить, приравняв к нулю произведение выражений, задающих каждый из графиков. Уравнение прямой $x=1$ можно записать как $x-1=0$. Уравнение прямой $y=-3$ можно записать как $y+3=0$. Таким образом, уравнение, описывающее обе эти прямые, имеет вид $(x-1)(y+3)=0$. Это соответствует уравнению под номером 6.
Ответ: 6

2) На рисунке 2 изображены две параллельные горизонтальные прямые: $y=1$ и $y=-3$. По аналогии с предыдущим пунктом, запишем уравнения этих прямых: $y-1=0$ и $y+3=0$. Объединение этих двух прямых описывается уравнением $(y-1)(y+3)=0$. Это соответствует уравнению под номером 1.
Ответ: 1

3) На рисунке 3 изображена одна точка с координатами $(1, -3)$. Уравнение вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = 0$ задает на плоскости единственную точку с координатами $(a, b)$, так как сумма двух неотрицательных слагаемых (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. То есть, $x-a=0$ и $y-b=0$. Для точки $(1, -3)$ имеем $a=1$ и $b=-3$. Уравнение будет выглядеть как $(x-1)^2 + (y-(-3))^2 = 0$, что равносильно $(x-1)^2 + (y+3)^2 = 0$. Это соответствует уравнению под номером 3.
Ответ: 3

4) На рисунке 4 изображены две точки с координатами $(1, -3)$ и $(-1, -3)$. Рассмотрим уравнение 4: $(|x|-1)^2+(y+3)^2=0$. Это уравнение выполняется только в том случае, если оба слагаемых равны нулю:
$|x|-1 = 0$ и $y+3=0$.
Из второго уравнения получаем $y=-3$.
Из первого уравнения получаем $|x|=1$, что дает два решения: $x=1$ и $x=-1$.
Таким образом, мы получаем две точки: $(1, -3)$ и $(-1, -3)$, что в точности соответствует изображению на рисунке 4.
Ответ: 4

Заполним итоговую таблицу: