Страница 8 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

1. Заполните пропуски.

1) Уравнение вида $ax = b$, где $x$ — _______________, а $a$ и $b$ — ________________, называют ________________.

2) Если $a$ _______________ $0$, то уравнение $ax = b$ имеет единственный корень, равный _______________.

3) Если $a$ _______________ $0$ и $b$ _______________ $0$, то уравнение $ax = b$ имеет бесконечно много корней: _______________ число является его корнем.

4) Если $a$ _______________ $0$ и $b$ _______________ $0$, то уравнение $ax = b$ корней не имеет.

1)

Это задание на знание определения линейного уравнения с одной переменной. В уравнении вида $ax = b$:

- $x$ – это искомая величина, которую называют переменной или неизвестным.
- $a$ и $b$ – это заданные значения, которые могут быть любыми числами. Их называют некоторыми числами или коэффициентами.
- Само уравнение $ax = b$ называют линейным уравнением с одной переменной.

Таким образом, заполненное предложение выглядит так: Уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа, называют линейным уравнением с одной переменной.

Ответ: переменная, некоторые числа, линейным уравнением с одной переменной.

2)

Рассмотрим уравнение $ax = b$. Чтобы найти корень, нужно выразить $x$. Это можно сделать, разделив обе части уравнения на коэффициент $a$. Однако операция деления на ноль не определена. Следовательно, чтобы корень был единственным, необходимо, чтобы коэффициент $a$ не был равен нулю, то есть $a \neq 0$.

При выполнении этого условия ($a \neq 0$) мы получаем:

$ax = b$
$x = \frac{b}{a}$

Это и есть единственный корень уравнения.

Заполненное предложение: Если $a \neq 0$, то уравнение $ax = b$ имеет единственный корень, равный $\frac{b}{a}$.

Ответ: $\neq$, $\frac{b}{a}$.

3)

Рассмотрим случай, когда уравнение имеет бесконечно много корней. Это происходит, когда уравнение превращается в тождество — равенство, верное для любого значения переменной $x$.

Для этого необходимо, чтобы и коэффициент $a$, и свободный член $b$ были равны нулю ($a = 0$ и $b = 0$). Подставим эти значения в уравнение $ax = b$:

$0 \cdot x = 0$

В результате получаем верное равенство $0 = 0$. Оно не зависит от значения $x$, поэтому любое число является корнем этого уравнения.

Заполненное предложение: Если $a = 0$ и $b = 0$, то уравнение $ax = b$ имеет бесконечно много корней: любое число является его корнем.

Ответ: $=$, $=$, любое.

4)

Рассмотрим случай, когда у уравнения нет решений. Это происходит, когда уравнение превращается в противоречие — неверное равенство.

Это случится, если коэффициент при переменной $x$ равен нулю ($a = 0$), а свободный член не равен нулю ($b \neq 0$). Подставим эти условия в уравнение $ax = b$:

$0 \cdot x = b$

В результате получаем равенство $0 = b$. Поскольку мы знаем, что $b \neq 0$, это равенство ложно. Это означает, что не существует такого значения $x$, которое могло бы сделать его верным. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Заполненное предложение: Если $a = 0$ и $b \neq 0$, то уравнение $ax = b$ корней не имеет.

Ответ: $=$, $\neq$.

2. Подчеркните номера уравнений, являющихся линейными:

1) $5x = 1;$

2) $x = 3;$

3) $x^2 = 9;$

4) $\frac{1}{6}x = -2;$

5) $0x = -4;$

6) $\frac{6}{x} = 3.$

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа. Основные признаки линейного уравнения:

• Переменная (в данном случае $x$) находится в первой степени (т.е. нет $x^2$, $x^3$ и т.д.).
• Переменная не находится в знаменателе дроби.

Проанализируем каждое из предложенных уравнений:

1) $5x = 1$
Это уравнение полностью соответствует стандартному виду линейного уравнения $ax = b$, где $a=5$ и $b=1$.
Ответ: является линейным.

2) $x = 3$
Это уравнение также можно представить в виде $ax = b$. Если записать его как $1 \cdot x = 3$, то мы видим, что $a=1$ и $b=3$. Это линейное уравнение.
Ответ: является линейным.

3) $x^2 = 9$
В этом уравнении переменная $x$ возведена во вторую степень. Такие уравнения называются квадратными, а не линейными.
Ответ: не является линейным.

4) $\frac{1}{6}x = -2$
Это уравнение соответствует виду $ax = b$, где коэффициент $a = \frac{1}{6}$, а $b = -2$. Переменная $x$ находится в первой степени и не в знаменателе. Это линейное уравнение.
Ответ: является линейным.

5) $0x = -4$
Данное уравнение также имеет вид $ax = b$, где $a=0$ и $b=-4$. Несмотря на то, что оно не имеет решений (поскольку умножение на ноль всегда дает ноль, а не -4), по своей структуре оно является линейным.
Ответ: является линейным.

6) $\frac{6}{x} = 3$
В этом уравнении переменная $x$ находится в знаменателе. Уравнения, в которых переменная стоит в знаменателе, не являются линейными. Они относятся к классу рациональных уравнений.
Ответ: не является линейным.

Таким образом, линейными являются уравнения под номерами: 1, 2, 4, 5.

3. Найдите корень уравнения:

1) $4x + 12 = 40 - 3x;$

Решение.

$4x \quad 3x = 40 \quad 12;$

2) $\frac{3}{4}x - 13 = \frac{1}{3}x - 23.$

Решение.

$\frac{3}{4}x \quad \frac{1}{3}x = -23 \quad 13;$

1) $4x + 12 = 40 - 3x$

Чтобы решить уравнение, нужно сгруппировать слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) – в другой. Для этого перенесем $-3x$ из правой части в левую, изменив знак на противоположный, и перенесем $12$ из левой части в правую, также изменив знак.

$4x + 3x = 40 - 12$

Теперь приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$7x = 28$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 7:

$x = \frac{28}{7}$

$x = 4$

Ответ: 4

2) $\frac{3}{4}x - 13 = \frac{1}{3}x - 23$

Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части, а свободные члены – в правой. Перенесем $\frac{1}{3}x$ влево и $-13$ вправо, меняя их знаки.

$\frac{3}{4}x - \frac{1}{3}x = -23 + 13$

Упростим правую часть уравнения:

$\frac{3}{4}x - \frac{1}{3}x = -10$

Чтобы вычесть дроби в левой части, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 – это 12.

$(\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3})x - (\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4})x = -10$

$\frac{9}{12}x - \frac{4}{12}x = -10$

Теперь выполним вычитание коэффициентов при $x$:

$(\frac{9 - 4}{12})x = -10$

$\frac{5}{12}x = -10$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $x$, то есть на $\frac{12}{5}$:

$x = -10 \cdot \frac{12}{5}$

Сократим 10 и 5:

$x = -2 \cdot 12$

$x = -24$

Ответ: -24

11. В баке было 120 л топлива. В течение 10 мин из него сливали топливо со скоростью 8 л в минуту. Постройте график изменения величины $y$ и заполните пропуски.

1) Зависимость количества $y$ литров топлива в баке от времени $x$ мин, в течение которого из бака сливали топливо, задаётся формулой $y = $

2) $y(5) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$, $y(8) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$, $y(10) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$

График изменения величины $y$ имеет вид:

$y$, л

$x$, мин

1)

Чтобы найти формулу зависимости количества топлива $y$ (в литрах) в баке от времени $x$ (в минутах), учтем начальные условия и скорость изменения.
Начальное количество топлива в баке составляет 120 литров. Это значение $y$ в момент времени $x=0$.
Топливо сливают со скоростью 8 литров в минуту. Это означает, что каждую минуту количество топлива в баке уменьшается на 8 литров. За $x$ минут количество топлива уменьшится на $8x$ литров.
Следовательно, количество топлива $y$, оставшееся в баке через $x$ минут, равно начальному количеству минус слитое количество:
$y = 120 - 8x$
Эта зависимость является линейной функцией, определенной для $0 \le x \le 10$.

Ответ: Зависимость количества $y$ литров топлива в баке от времени $x$ мин, в течение которого из бака сливали топливо, задаётся формулой $y = 120 - 8x$.

2)

Чтобы найти значения $y$ при $x=5$, $x=8$ и $x=10$, подставим эти значения в полученную формулу $y = 120 - 8x$.
При $x = 5$:
$y(5) = 120 - 8 \cdot 5 = 120 - 40 = 80$
При $x = 8$:
$y(8) = 120 - 8 \cdot 8 = 120 - 64 = 56$
При $x = 10$:
$y(10) = 120 - 8 \cdot 10 = 120 - 80 = 40$

Ответ: $y(5) = 80$, $y(8) = 56$, $y(10) = 40$.

График изменения величины y имеет вид:

График функции $y = 120 - 8x$ является прямой линией. Для его построения на интервале $0 \le x \le 10$ достаточно найти две точки. Мы уже вычислили несколько:

• При $x=0$, $y=120$. Точка (0; 120).
• При $x=10$, $y=40$. Точка (10; 40).

Соединим эти две точки отрезком на координатной плоскости.

Ответ: График зависимости построен выше.

1. Заполните пропуски.

1) Функция считается заданной, если указаны её и правило, с помощью которого можно

2) Существуют следующие способы задания функции:

3) Если функция задана формулой, правая часть которой – целое выражение, и при этом не указана область определения, то считают, что областью определения такой функции

1) Чтобы задать функцию, необходимо определить два ключевых элемента. Во-первых, это область определения — множество всех допустимых значений независимой переменной (аргумента). Во-вторых, это правило (закон), по которому каждому значению аргумента из области определения ставится в соответствие ровно одно значение зависимой переменной (функции). Наличие этих двух компонентов и означает, что функция задана.

Предложение из задания, с заполненными пропусками, выглядит следующим образом:
«Функция считается заданной, если указаны её область определения и правило, с помощью которого можно для каждого значения независимой переменной найти соответствующее ему единственное значение зависимой переменной».

Ответ: в первый пропуск следует вписать «область определения»; во второй — «для каждого значения независимой переменной найти соответствующее ему единственное значение зависимой переменной».

2) Существуют следующие основные способы задания функции, которые соответствуют трем представленным пунктам:

• Аналитический способ — функция задается с помощью математической формулы, которая связывает зависимую переменную ($y$) с независимой ($x$). Например: $y = 5x^3 - 2x + 1$. Этот способ является наиболее универсальным и позволяет точно вычислять значения функции.
• Табличный способ — составляется таблица, в которой для определённого набора значений аргумента указываются соответствующие им значения функции. Этот способ часто используется при проведении экспериментов и наблюдений, когда значения получают опытным путем.
• Графический способ — изображается график функции. График наглядно представляет поведение функции: её возрастание, убывание, максимумы и минимумы. Графиком функции $y=f(x)$ является множество всех точек $(x; y)$ на координатной плоскости, где $y = f(x)$.

Ответ: аналитический, табличный, графический.

3) Если функция задана формулой, но её область определения не указана, то по умолчанию используется её естественная область определения. Это множество всех значений аргумента, при которых данная формула имеет смысл (т.е. все операции в ней выполнимы).
«Целое выражение» в алгебре — это выражение, составленное из чисел и переменных с помощью операций сложения, вычитания и умножения (например, многочлен $P(x) = a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$). Поскольку эти операции определены для любых действительных чисел, целое выражение имеет смысл при любом действительном значении переменной.

Таким образом, предложение заполняется следующим образом:
«Если функция задана формулой, правая часть которой — целое выражение, и при этом не указана область определения, то считают, что областью определения такой функции является множество всех действительных чисел».

Ответ: является множество всех действительных чисел.