Страница 6 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

6. Найдите значение выражения $ \frac{1}{6}a - 2b $, если:

1) $a = -12, b = 0,4$

$ \frac{1}{6}a - 2b = \frac{1}{6} \cdot (-12) - 2 \cdot 0,4 = $

2) $a = -4,8, b = 1,5$

3) $a = 1, b = -\frac{1}{12}$

1) Подставим значения $a = -12$ и $b = 0,4$ в выражение $\frac{1}{6}a - 2b$:

$\frac{1}{6}a - 2b = \frac{1}{6} \cdot (-12) - 2 \cdot 0,4$

Выполним действия по порядку:

1. Умножение: $\frac{1}{6} \cdot (-12) = -\frac{12}{6} = -2$

2. Умножение: $2 \cdot 0,4 = 0,8$

3. Вычитание: $-2 - 0,8 = -2,8$

Ответ: $-2,8$

2) Подставим значения $a = -4,8$ и $b = 1,5$ в выражение:

$\frac{1}{6}a - 2b = \frac{1}{6} \cdot (-4,8) - 2 \cdot 1,5$

Выполним действия по порядку:

1. Умножение: $\frac{1}{6} \cdot (-4,8) = -\frac{4,8}{6} = -0,8$

2. Умножение: $2 \cdot 1,5 = 3$

3. Вычитание: $-0,8 - 3 = -3,8$

Ответ: $-3,8$

3) Подставим значения $a = 1$ и $b = -\frac{1}{12}$ в выражение:

$\frac{1}{6}a - 2b = \frac{1}{6} \cdot 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{12})$

Выполним действия по порядку:

1. Умножение: $\frac{1}{6} \cdot 1 = \frac{1}{6}$

2. Умножение: $-2 \cdot (-\frac{1}{12}) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

3. Сложение: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1+1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

7. По условию задачи составьте выражение с переменными.

В первой вазе стояло $x$ роз, а во второй – $y$ роз. Затем из первой вазы взяли 2 розы, а во вторую поставили ещё 5 роз. Сколько роз стало в обеих вазах вместе?

Для того чтобы составить выражение по условию задачи, необходимо последовательно отразить все изменения, которые произошли с количеством роз в каждой вазе.

1. Начальное количество роз в первой вазе — $x$. Из нее взяли 2 розы, следовательно, количество роз в первой вазе стало равно $(x - 2)$.

2. Начальное количество роз во второй вазе — $y$. В нее поставили еще 5 роз, следовательно, количество роз во второй вазе стало равно $(y + 5)$.

3. Чтобы найти, сколько роз стало в обеих вазах вместе, нужно сложить количество роз в каждой вазе после всех изменений. Составим сумму:

$(x - 2) + (y + 5)$

4. Упростим полученное выражение. Так как перед скобками стоит знак плюс, мы можем просто убрать их. Затем сгруппируем переменные и числа:

$x - 2 + y + 5 = x + y + 5 - 2$

Выполним вычитание:

$x + y + 3$

Таким образом, итоговое выражение, показывающее общее количество роз в двух вазах, — это $x + y + 3$.

Ответ: $x + y + 3$.

8. По условию задачи составьте выражение с переменными.

Из одного города одновременно в противоположных направлениях выехали два автомобиля со скоростями $x$ км/ч и $y$ км/ч. Через сколько часов после начала движения расстояние между ними будет $s$ км?

Вычислите значение полученного выражения при $x = 80$, $y = 60$, $s = 105$.

По условию задачи составьте выражение с переменными.

Пусть $t$ — это искомое время в часах. Скорость первого автомобиля равна $x$ км/ч, а скорость второго — $y$ км/ч. Поскольку автомобили движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (так называемая скорость удаления), равна сумме их скоростей.

Скорость удаления: $v_{уд} = x + y$ (км/ч).

Расстояние $s$ между объектами находится по формуле: расстояние = скорость × время. В нашем случае: $s = v_{уд} \cdot t$.

Подставим выражение для скорости удаления: $s = (x + y) \cdot t$.

Из этой формулы выразим время $t$, разделив расстояние на скорость удаления: $t = \frac{s}{x + y}$.

Ответ: $\frac{s}{x + y}$.

Вычислите значение полученного выражения при x = 80, y = 60, s = 105.

Подставим заданные числовые значения в полученное выражение для времени $t$:

$x = 80$ км/ч
$y = 60$ км/ч
$s = 105$ км

$t = \frac{105}{80 + 60}$

Сначала выполним действие в знаменателе (найдем скорость удаления): $80 + 60 = 140$ (км/ч).

Теперь подставим это значение обратно в дробь: $t = \frac{105}{140}$

Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 35: $t = \frac{105 \div 35}{140 \div 35} = \frac{3}{4}$

Время равно $\frac{3}{4}$ часа. Можно представить это в виде десятичной дроби: $\frac{3}{4} = 0,75$ часа.

Ответ: 0,75 ч.

6. Рассмотрим функцию $f$, заданную следующим правилом: каждому однозначному натуральному числу $n$ поставили в соответствие последнюю цифру значения выражения $2^n$. Пользуясь таблицей степеней числа 2, расположенной на форзаце учебника, заполните пропуски.

1) Областью определения функции $f$ являются числа ________.

2) $f(4) = \_\_\_\_\_\_$, $f(6) = \_\_\_\_\_\_$, $f(8) = \_\_\_\_\_\_$, $f(9) = \_\_\_\_\_\_.$

3) Областью значений функции $f$ являются числа ________.

1) Областью определения функции f являются числа
Согласно условию, функция $f$ задана для каждого однозначного натурального числа $n$. Однозначными натуральными числами являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Это и есть область определения функции $f$.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

2) f(4) = __, f(6) = __, f(8) = __, f(9) = __
Функция $f(n)$ ставит в соответствие числу $n$ последнюю цифру значения выражения $2^n$. Найдем требуемые значения:
- Для $f(4)$: $2^4 = 16$. Последняя цифра числа 16 - это 6. Значит, $f(4) = 6$.
- Для $f(6)$: $2^6 = 64$. Последняя цифра числа 64 - это 4. Значит, $f(6) = 4$.
- Для $f(8)$: $2^8 = 256$. Последняя цифра числа 256 - это 6. Значит, $f(8) = 6$.
- Для $f(9)$: $2^9 = 512$. Последняя цифра числа 512 - это 2. Значит, $f(9) = 2$.
Ответ: $f(4) = 6$, $f(6) = 4$, $f(8) = 6$, $f(9) = 2$.

3) Областью значений функции f являются числа
Область значений функции - это множество всех значений, которые она может принимать. Найдем значения функции для каждого элемента из области определения {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}:
$f(1)$: последняя цифра $2^1=2$ → 2
$f(2)$: последняя цифра $2^2=4$ → 4
$f(3)$: последняя цифра $2^3=8$ → 8
$f(4)$: последняя цифра $2^4=16$ → 6
$f(5)$: последняя цифра $2^5=32$ → 2
$f(6)$: последняя цифра $2^6=64$ → 4
$f(7)$: последняя цифра $2^7=128$ → 8
$f(8)$: последняя цифра $2^8=256$ → 6
$f(9)$: последняя цифра $2^9=512$ → 2
Все возможные значения, которые принимает функция $f$, образуют множество {2, 4, 8, 6}.
Ответ: 2, 4, 6, 8.

7. Рассмотрим функцию $g$, заданную следующим правилом: каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на 11. Заполните пропуски.

1) $g(35)$ = _____, $g(91)$ = _____, $g(51)$ = _____, $g(77)$ = _____.

2) Областью значений функции $g$ являются числа _____

1) Согласно условию, функция $g$ сопоставляет каждому натуральному числу остаток от деления этого числа на 11. Это можно записать как $g(n) = n \pmod{11}$. Вычислим значения для заданных чисел:

• Для $g(35)$: разделим 35 на 11. $35 = 3 \cdot 11 + 2$. Остаток равен 2. Значит, $g(35) = 2$.
• Для $g(91)$: разделим 91 на 11. $91 = 8 \cdot 11 + 3$. Остаток равен 3. Значит, $g(91) = 3$.
• Для $g(51)$: разделим 51 на 11. $51 = 4 \cdot 11 + 7$. Остаток равен 7. Значит, $g(51) = 7$.
• Для $g(77)$: разделим 77 на 11. $77 = 7 \cdot 11 + 0$. Остаток равен 0. Значит, $g(77) = 0$.

Ответ: $g(35) = 2, g(91) = 3, g(51) = 7, g(77) = 0$.

2) Областью значений функции является множество всех возможных значений, которые она может принимать. Так как функция $g$ возвращает остаток от деления натурального числа на 11, ее значениями могут быть только целые числа от 0 до 10 включительно.

Убедимся, что все эти значения достижимы. Поскольку область определения функции — все натуральные числа, то для любого целого числа $r$ из диапазона $0 \le r \le 10$ мы можем найти соответствующее натуральное число $n$. Например:

• $g(1) = 1$
• $g(2) = 2$
• ...
• $g(10) = 10$
• $g(11) = 0$

Таким образом, все целые числа от 0 до 10 являются значениями функции.

Ответ: числа $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

8. Заполните пропуски. В музее проводятся экскурсии для групп, содержащих от 10 до 25 посетителей. Стоимость $s$ экскурсии определяется следующим образом: за каждого экскурсанта надо заплатить 250 р., а за сопровождение группы экскурсоводом дополнительно требуется заплатить 800 р. Зависимость стоимости экскурсии для группы, состоящей из $x$ человек, выражается формулой $s = $__________.

Тогда $s(10) = $__________, $s(18) = $__________, $s(25) = $__________.

Зависимость стоимости экскурсии для группы, состоящей из x человек, выражается формулой s =
Стоимость экскурсии $s$ для группы из $x$ человек определяется как сумма двух составляющих:
1. Стоимость билетов для всех участников группы. Поскольку цена для одного экскурсанта составляет 250 рублей, для $x$ человек эта сумма будет равна $250 \cdot x$ рублей.
2. Фиксированная плата за сопровождение группы экскурсоводом, которая составляет 800 рублей.
Складывая эти две части, получаем формулу для общей стоимости экскурсии:
$s(x) = 250x + 800$.
Ответ: $250x + 800$.

Тогда s(10) =
Для того чтобы рассчитать стоимость экскурсии для группы из 10 человек, необходимо подставить значение $x = 10$ в выведенную формулу:
$s(10) = 250 \cdot 10 + 800 = 2500 + 800 = 3300$ рублей.
Ответ: 3300.

s(18) =
Для группы из 18 человек, подставляем значение $x = 18$ в формулу:
$s(18) = 250 \cdot 18 + 800 = 4500 + 800 = 5300$ рублей.
Ответ: 5300.

s(25) =
Для группы из 25 человек, подставляем значение $x = 25$ в формулу:
$s(25) = 250 \cdot 25 + 800 = 6250 + 800 = 7050$ рублей.
Ответ: 7050.

9. В таблице приведены результаты измерения температуры воздуха в течение суток через каждый час.

Время суток, ч: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Температура, °C: 2, 1, 0, -4, -6, -7, -8, -9, -6, -5, -2, 0, 1

Время суток, ч: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24

Температура, °C: 3, 5, 6, 7, 8, 9, 7, 4, 2, 0, -1, -3

Используя эти данные, постройте график изменения температуры и заполните пропуски.

Температура воздуха снижалась с ____ ч до ____ ч и с ____ ч до ____ ч, а повышалась с ____ ч до ____ ч.

Построение графика изменения температуры

Для построения графика нанесем на координатную плоскость точки, координаты которых соответствуют данным из таблицы. По горизонтальной оси (оси абсцисс) отложим время в часах (ч), а по вертикальной оси (оси ординат) — температуру в градусах Цельсия (°C). Масштаб по обеим осям: одна клетка соответствует одной единице (1 час или 1°C).

Координаты точек для построения графика, взятые из таблицы в формате $(t, T)$, где $t$ — время в часах, а $T$ — температура в °C:

• (0; 2), (1; 1), (2; 0), (3; -4), (4; -6), (5; -7), (6; -8), (7; -9)
• (8; -6), (9; -5), (10; -2), (11; 0), (12; 1), (13; 3), (14; 5), (15; 6)
• (16; 7), (17; 8), (18; 9), (19; 7), (20; 4), (21; 2), (22; 0), (23; -1), (24; -3)

Последовательно соединив отмеченные точки отрезками, получим график изменения температуры воздуха в течение суток.

Ответ: График изменения температуры построен выше.

Заполнение пропусков

Проанализируем данные из таблицы и построенный график, чтобы определить промежутки времени, в которые температура снижалась и повышалась.

• Температура снижалась в двух промежутках:
  1. С 0 ч (когда температура была 2°C) до 7 ч (минимальная температура -9°C).
  2. С 18 ч (максимальная температура 9°C) до 24 ч (температура -3°C).
• Температура повышалась в промежутке от 7 ч (минимальная температура -9°C) до 18 ч (максимальная температура 9°C).

На основе этого анализа заполняем пропуски в предложении.

Ответ: Температура воздуха снижалась с 0 ч до 7 ч и с 18 ч до 24 ч, а повышалась с 7 ч до 18 ч.