Страница 12 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

8. Решите уравнение:

1) $|x| - 7 = -4;$

Решение.

$|x| = -4 + 7;$

$|x| = $

$x = $ или $x = $

Ответ:

4) $|2x - 1| = 6;$

Решение.

$2x - 1 = $ или $2x - 1 = $

Ответ:

2) $|x| + 10 = 16;$

3) $3 - |x| = 4;$

Решение.

5) $|3x + 2| - 5 = -1;$

6) $||x| - 3| = 4.$

Решение.

$|x| - 3 = $ или $|x| - 3 = $

Решим уравнение $|x| - 7 = -4$.
Сначала изолируем выражение с модулем. Для этого перенесем $-7$ в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$|x| = -4 + 7$
Выполним сложение в правой части:
$|x| = 3$
Уравнение вида $|A| = B$ (где $B > 0$) имеет два решения: $A = B$ и $A = -B$. В нашем случае $A=x$ и $B=3$.
Следовательно, $x = 3$ или $x = -3$.
Ответ: $-3; 3$.

Решим уравнение $|x| + 10 = 16$.
Изолируем выражение с модулем. Для этого перенесем $10$ в правую часть уравнения со сменой знака:
$|x| = 16 - 10$
Выполним вычитание:
$|x| = 6$
Это уравнение имеет два решения:
$x = 6$ или $x = -6$.
Ответ: $-6; 6$.

Решим уравнение $3 - |x| = 4$.
Выразим $|x|$ из уравнения. Сначала перенесем $3$ в правую часть:
$-|x| = 4 - 3$
$-|x| = 1$
Теперь умножим обе части уравнения на $-1$:
$|x| = -1$
По определению, модуль (абсолютная величина) любого действительного числа является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$). Так как в правой части уравнения стоит отрицательное число ($-1$), данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: решений нет.

Решим уравнение $|2x - 1| = 6$.
Уравнение вида $|f(x)| = a$, где $a > 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $f(x) = a$ и $f(x) = -a$.
Применим это правило к нашему уравнению. Получаем два случая:
1) $2x - 1 = 6$
2) $2x - 1 = -6$
Решим первое уравнение:
$2x = 6 + 1$
$2x = 7$
$x_1 = \frac{7}{2} = 3.5$
Решим второе уравнение:
$2x = -6 + 1$
$2x = -5$
$x_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2.5; 3.5$.

Решим уравнение $|3x + 2| - 5 = -1$.
Сначала изолируем выражение с модулем. Перенесем $-5$ в правую часть:
$|3x + 2| = -1 + 5$
$|3x + 2| = 4$
Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $3x + 2 = 4$
2) $3x + 2 = -4$
Решим первое уравнение:
$3x = 4 - 2$
$3x = 2$
$x_1 = \frac{2}{3}$
Решим второе уравнение:
$3x = -4 - 2$
$3x = -6$
$x_2 = \frac{-6}{3} = -2$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-2; \frac{2}{3}$.

Решим уравнение $||x| - 3| = 4$.
Это уравнение с вложенным модулем. Раскроем внешний модуль. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
1) $|x| - 3 = 4$
2) $|x| - 3 = -4$
Решим каждое из этих уравнений отдельно.
Решение первого уравнения:
$|x| - 3 = 4$
$|x| = 4 + 3$
$|x| = 7$
Отсюда получаем два корня: $x = 7$ и $x = -7$.
Решение второго уравнения:
$|x| - 3 = -4$
$|x| = -4 + 3$
$|x| = -1$
Это уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может быть отрицательным.
Объединяя решения из обоих случаев, получаем два корня.
Ответ: $-7; 7$.

12. Функция задана формулой $y = x^2 + 4x$. При каких значениях аргумента значение функции является числом, противоположным значению аргумента?

Условие задачи заключается в том, чтобы найти значения аргумента $x$, для которых значение функции $y = x^2 + 4x$ равно числу, противоположному значению аргумента.

Противоположное значение для аргумента $x$ — это $-x$. Следовательно, мы должны найти такие значения $x$, для которых выполняется равенство $y = -x$.

Подставим выражение для $y$ из формулы функции в это равенство, чтобы составить уравнение относительно $x$:
$x^2 + 4x = -x$

Для решения этого уравнения перенесем все его члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 4x + x = 0$
$x^2 + 5x = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить, вынеся общий множитель $x$ за скобки:
$x(x + 5) = 0$

Произведение равно нулю в том и только в том случае, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это дает нам два возможных значения для $x$:
$x_1 = 0$
или
$x_2 + 5 = 0$, откуда $x_2 = -5$.

Таким образом, искомыми значениями аргумента являются $0$ и $-5$.

Ответ: -5; 0.

1. Заполните пропуски.

1) Графиком функции $f$ называют состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы кото- рых равны __________ а ординаты — __________

2) Если какая-то фигура является графиком функции $f$, то выполняются условия:

a) если $x_0$ — некоторое значение аргумента, а $f(x_0)$ — __________ , то точка с координатами __________ обязательно __________

б) если $(x_0; y_0)$ — координаты произвольно выбранной точки графика, то $x_0$ и $y_0$ — __________ функции $f$, то есть $y_0 = __________$.

3) Фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, __________ имеет с этой фигурой __________

1) Графиком функции $f$ называют фигуру, состоящую из всех тех и только тех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

Ответ: фигуру; значениям аргумента; соответствующим значениям функции.

2) Если какая-то фигура является графиком функции $f$, то выполняются следующие условия:

а) если $x_0$ — некоторое значение аргумента, а $f(x_0)$ — соответствующее значение функции, то точка с координатами ($x_0$; $f(x_0)$) обязательно принадлежит этому графику;

б) если ($x_0$; $y_0$) — координаты произвольно выбранной точки графика, то $x_0$ и $y_0$ — соответствующие значения аргумента и функции $f$, то есть $y_0 = \mathbf{f(x_0)}$.

Ответ: следующие.
а) соответствующее значение функции; ($x_0$; $f(x_0)$); принадлежит этому графику.
б) соответствующие значения аргумента и; $f(x_0)$.

3) Фигура может являться графиком некоторой функции, если любая прямая, параллельная оси ординат, имеет с этой фигурой не более одной общей точки.

Ответ: параллельная оси ординат; не более одной общей точки.