Страница 23 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

11. Первому рабочему надо изготовить 96 деталей, а второму – 60 деталей. За день первый рабочий изготовил в 2 раза больше деталей, чем второй, после чего ему осталось сделать в 1,5 раза больше деталей, чем второму. Сколько деталей за этот день изготовил каждый рабочий?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $y$ — количество деталей, которые изготовил второй рабочий за день. Тогда, согласно условию, первый рабочий за тот же день изготовил в 2 раза больше, то есть $2y$ деталей.

Первоначально первому рабочему нужно было изготовить 96 деталей. После того как он изготовил $2y$ деталей, ему осталось сделать:
$96 - 2y$ деталей.

Второму рабочему нужно было изготовить 60 деталей. После того как он изготовил $y$ деталей, ему осталось сделать:
$60 - y$ деталей.

По условию задачи, количество деталей, которое осталось изготовить первому рабочему, в 1,5 раза больше, чем количество деталей, оставшихся у второго. Составим уравнение на основе этого условия:

$96 - 2y = 1.5 \cdot (60 - y)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $y$. Сначала раскроем скобки в правой части уравнения:

$96 - 2y = 1.5 \cdot 60 - 1.5 \cdot y$

$96 - 2y = 90 - 1.5y$

Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую, чтобы упростить вычисления:

$96 - 90 = 2y - 1.5y$

$6 = 0.5y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 0,5:

$y = \frac{6}{0.5} = 12$

Итак, мы выяснили, что второй рабочий изготовил 12 деталей. Теперь найдем, сколько деталей изготовил первый рабочий:

$2y = 2 \cdot 12 = 24$

Таким образом, первый рабочий изготовил 24 детали.

Проверим полученные результаты:
1. Первый рабочий изготовил 24 детали, второй — 12. $24$ в 2 раза больше $12$. Условие выполнено.
2. Первому осталось: $96 - 24 = 72$ детали. Второму осталось: $60 - 12 = 48$ деталей.
3. Проверим соотношение оставшихся деталей: $\frac{72}{48} = 1.5$. Условие также выполнено.

Ответ: первый рабочий за этот день изготовил 24 детали, а второй — 12 деталей.

10. Задайте формулой функцию прямой пропорциональности, если известно, что её график проходит через точку $A(-4; 3)$.

Решение.

Искомая формула имеет вид $y = kx$.

Поскольку график функции проходит через точку $A(-4; 3)$, то

Решение.

Функция прямой пропорциональности задается формулой вида $y = kx$, где $k$ — это коэффициент пропорциональности.

По условию, график функции проходит через точку A с координатами $(-4; 3)$. Это означает, что если подставить значения координат этой точки ($x = -4$ и $y = 3$) в формулу функции, то получится верное равенство. Сделаем подстановку:

$3 = k \cdot (-4)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $k$, чтобы найти коэффициент пропорциональности:

$-4k = 3$

$k = \frac{3}{-4}$

$k = -0.75$

Зная коэффициент $k$, мы можем записать итоговую формулу функции, подставив найденное значение в общий вид $y = kx$.

Искомая формула: $y = -0.75x$ или $y = -\frac{3}{4}x$.

Ответ: $y = -0.75x$

11. Задайте формулой функцию, график которой изображён на рисунке.

Решение.

Ответ:

Решение.

График, изображенный на рисунке, является прямой линией. Это означает, что функция является линейной и ее можно задать формулой вида $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон прямой), а $b$ — это ордината точки пересечения графика с осью $y$ (y-перехват).

1. Нахождение коэффициента $b$.
Коэффициент $b$ — это значение $y$ при $x=0$. Найдем на графике точку, в которой прямая пересекает ось $y$. Эта точка имеет координаты $(0, 1)$. Следовательно, $b = 1$.

2. Нахождение углового коэффициента $k$.
Для нахождения коэффициента $k$ выберем две любые точки на прямой, координаты которых легко определить по сетке. Мы уже использовали точку $A(0, 1)$. Возьмем еще одну точку, например, точку $B(1, 3)$.
Угловой коэффициент $k$ вычисляется по формуле: $k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
Подставим координаты точек $A(x_1, y_1) = (0, 1)$ и $B(x_2, y_2) = (1, 3)$ в эту формулу:
$k = \frac{3 - 1}{1 - 0} = \frac{2}{1} = 2$.
Таким образом, угловой коэффициент $k = 2$.

3. Составление уравнения функции.
Теперь, когда мы нашли оба коэффициента ($k=2$ и $b=1$), мы можем подставить их в общую формулу линейной функции $y = kx + b$.
Получаем искомую формулу: $y = 2x + 1$.

Ответ: $y = 2x + 1$.

12. Сопоставьте каждой функции, заданной формулой, её график.

1) $y = 0,5x + 1;$

2) $y = -0,5x + 1;$

3) $y = -0,5;$

4) $y = 0,5x - 1.$

1) $y\uparrow$

$-2$ $0$ $x\rightarrow$

$1$

2) $y\uparrow$

$0$ $x\rightarrow$

$-1$

3) $y\uparrow$

$0$ $x\rightarrow$

$-2$

$-1$

4) $y\uparrow$

$0$ $x\rightarrow$

5) $y\uparrow$

$1$

$0$ $2$ $x\rightarrow$

6) $y\uparrow$

$0$ $2$ $x\rightarrow$

$-1$

Ответ:

Чтобы установить соответствие между функциями и их графиками, необходимо проанализировать каждую функцию, заданную формулой вида $y = kx + b$.

• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой: если $k > 0$, то функция возрастает (график идёт вверх слева направо); если $k < 0$, то функция убывает (график идёт вниз); если $k = 0$, то график является горизонтальной линией.
• Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью ординат ($y$). Координаты этой точки — $(0, b)$.

Рассмотрим каждую функцию по порядку:

1) $y = 0,5x + 1$

Здесь $k = 0,5$ и $b = 1$. Поскольку $k > 0$, функция возрастающая. Этому условию соответствуют графики 1 и 6. Поскольку $b = 1$, график должен пересекать ось $y$ в точке $(0, 1)$. Из двух возрастающих графиков только график 1 проходит через точку $(0, 1)$.

2) $y = -0,5x + 1$

Здесь $k = -0,5$ и $b = 1$. Поскольку $k < 0$, функция убывающая. Этому условию соответствуют графики 3 и 5. Поскольку $b = 1$, график должен пересекать ось $y$ в точке $(0, 1)$. Из двух убывающих графиков только график 5 проходит через точку $(0, 1)$.

3) $y = -0,5$

Это функция вида $y = b$, где $k = 0$. Её график — это горизонтальная прямая, проходящая через точку $(0, -0,5)$. Среди предложенных вариантов есть два графика с горизонтальными линиями: 2 и 4. Так как значение $y = -0,5$ отрицательно, линия должна быть расположена ниже оси $x$. Этому условию соответствует график 2.

4) $y = 0,5x - 1$

Здесь $k = 0,5$ и $b = -1$. Поскольку $k > 0$, функция возрастающая (графики 1 и 6). Поскольку $b = -1$, график должен пересекать ось $y$ в точке $(0, -1)$. Из двух возрастающих графиков только график 6 проходит через точку $(0, -1)$.

Ответ:

Сопоставив функции и графики, заполняем таблицу: