Страница 29 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

3. Дано уравнение $xy + 8 = 0$. Поставьте в квадрате после координат точки знак «+», если график данного уравнения проходит через эту точку, или знак «–», если не проходит.

1) A (-2; 4) []

2) B (8; 1) []

3) O (0; 0) []

4) C (2,5; -3,2) []

5) D (-0,04; -200) []

6) E $(-\frac{2}{3}; 12)$ []

Чтобы определить, проходит ли график уравнения $xy + 8 = 0$ через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки $(x; y)$ в уравнение. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство (то есть $0 = 0$), то точка принадлежит графику, и мы ставим знак «+». Если равенство неверное, то точка не принадлежит графику, и мы ставим знак «-».

1) A (-2; 4)

Подставляем координаты точки A, где $x = -2$ и $y = 4$, в уравнение:
$(-2) \cdot 4 + 8 = -8 + 8 = 0$.
Получилось верное равенство $0 = 0$. Следовательно, график проходит через точку A.

Ответ: +

2) B (8; 1)

Подставляем координаты точки B, где $x = 8$ и $y = 1$, в уравнение:
$8 \cdot 1 + 8 = 8 + 8 = 16$.
Получилось неверное равенство $16 = 0$. Следовательно, график не проходит через точку B.

Ответ: -

3) O (0; 0)

Подставляем координаты точки O (начало координат), где $x = 0$ и $y = 0$, в уравнение:
$0 \cdot 0 + 8 = 0 + 8 = 8$.
Получилось неверное равенство $8 = 0$. Следовательно, график не проходит через точку O.

Ответ: -

4) C (2,5; -3,2)

Подставляем координаты точки C, где $x = 2,5$ и $y = -3,2$, в уравнение:
$2,5 \cdot (-3,2) + 8 = -8 + 8 = 0$.
Получилось верное равенство $0 = 0$. Следовательно, график проходит через точку C.

Ответ: +

5) D (-0,04; -200)

Подставляем координаты точки D, где $x = -0,04$ и $y = -200$, в уравнение:
$(-0,04) \cdot (-200) + 8 = 8 + 8 = 16$.
Получилось неверное равенство $16 = 0$. Следовательно, график не проходит через точку D.

Ответ: -

6) E $(-\frac{2}{3}; 12)$

Подставляем координаты точки E, где $x = -\frac{2}{3}$ и $y = 12$, в уравнение:
$(-\frac{2}{3}) \cdot 12 + 8 = -\frac{2 \cdot 12}{3} + 8 = -2 \cdot 4 + 8 = -8 + 8 = 0$.
Получилось верное равенство $0 = 0$. Следовательно, график проходит через точку E.

Ответ: +

4. Укажите какие-нибудь три решения уравнения $x + y^2 = 0$.

Чтобы найти решения уравнения $x + y^2 = 0$, необходимо найти такие пары чисел $(x, y)$, которые при подстановке в уравнение обращают его в верное равенство. Для этого удобно выразить одну переменную через другую.

Выразим $x$ через $y$ из данного уравнения:

$x = -y^2$

Теперь мы можем выбрать любое значение для переменной $y$ и, подставив его в полученную формулу, вычислить соответствующее значение $x$. Найдем три таких решения.

Первое решение

Пусть $y = 0$. Тогда найдем соответствующее значение $x$:

$x = -(0)^2 = 0$

Таким образом, пара чисел $(0; 0)$ является решением уравнения. Выполним проверку, подставив значения в исходное уравнение:

$0 + 0^2 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: $(0; 0)$.

Второе решение

Пусть $y = 1$. Тогда найдем соответствующее значение $x$:

$x = -(1)^2 = -1$

Таким образом, пара чисел $(-1; 1)$ является решением уравнения. Выполним проверку:

$-1 + 1^2 = -1 + 1 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: $(-1; 1)$.

Третье решение

Пусть $y = -2$. Тогда найдем соответствующее значение $x$:

$x = -(-2)^2 = -(4) = -4$

Таким образом, пара чисел $(-4; -2)$ является решением уравнения. Выполним проверку:

$-4 + (-2)^2 = -4 + 4 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное.

Ответ: $(-4; -2)$.

5. График уравнения $6x - 5y = 32$ проходит через точку A $(4; a)$. Чему равно значение $a$?

Подставив в данное уравнение координаты точки А, получаем:

Решение.

Поскольку график уравнения $6x - 5y = 32$ проходит через точку $A(4; a)$, то координаты этой точки должны удовлетворять данному уравнению. Это значит, что если мы подставим значения $x = 4$ и $y = a$ в уравнение, то получим верное равенство.

Подставив в данное уравнение координаты точки А, получаем:

$6 \cdot 4 - 5 \cdot a = 32$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$24 - 5a = 32$

Перенесем 24 в правую часть уравнения, изменив знак:

$-5a = 32 - 24$

$-5a = 8$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на -5:

$a = \frac{8}{-5}$

$a = -1.6$

Следовательно, значение $a$ равно -1.6.

Ответ: -1.6

6. Среди решений уравнения $3x - 5y = 16$ найдите такую пару, которая состоит из противоположных чисел.

Решение.

Пусть пара чисел $(a; -a)$ является решением данного уравнения.

Решение.

Нам нужно найти решение уравнения $3x - 5y = 16$, которое представляет собой пару противоположных чисел.

Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Если одно число равно $a$, то противоположное ему равно $-a$. Таким образом, искомая пара $(x; y)$ должна удовлетворять условию $y = -x$.

Подставим $y = -x$ в исходное уравнение:

$3x - 5(-x) = 16$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $x$:

$3x + 5x = 16$

$8x = 16$

$x = \frac{16}{8}$

$x = 2$

Теперь, зная $x$, мы можем найти $y$, используя условие $y = -x$:

$y = -2$

Таким образом, искомая пара чисел, которая является решением уравнения и состоит из противоположных чисел, — это $(2; -2)$.

Сделаем проверку, подставив найденную пару в исходное уравнение:

$3(2) - 5(-2) = 6 - (-10) = 6 + 10 = 16$

$16 = 16$

Равенство выполняется, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(2; -2)$.

7. Найдите пару чисел вида $(2m; m)$, являющуюся решением уравнения $y^2 + x^2 = 20$.

Согласно условию, искомая пара чисел $(x; y)$ имеет вид $(2m; m)$ и является решением уравнения $y^2 + x^2 = 20$. Это означает, что мы можем подставить $x = 2m$ и $y = m$ в данное уравнение, чтобы найти значение $m$.

Выполним подстановку в уравнение:
$(m)^2 + (2m)^2 = 20$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $m$. Раскроем скобки и упростим выражение:
$m^2 + 4m^2 = 20$
$5m^2 = 20$

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $m^2$:
$m^2 = \frac{20}{5}$
$m^2 = 4$

Данное квадратное уравнение имеет два корня:
$m_1 = \sqrt{4} = 2$
$m_2 = -\sqrt{4} = -2$

Следовательно, существуют две пары чисел, удовлетворяющие условию задачи. Найдем каждую из них.

1. При $m = 2$:
Искомая пара чисел $(2m; m)$ будет равна $(2 \cdot 2; 2)$, то есть $(4; 2)$.
Проверка: подставим $x=4$ и $y=2$ в исходное уравнение $y^2 + x^2 = 20$. Получим $2^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$. Решение верное.

2. При $m = -2$:
Искомая пара чисел $(2m; m)$ будет равна $(2 \cdot (-2); -2)$, то есть $(-4; -2)$.
Проверка: подставим $x=-4$ и $y=-2$ в исходное уравнение $y^2 + x^2 = 20$. Получим $(-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 16 = 20$. Решение верное.

Таким образом, были найдены две пары чисел, являющиеся решением уравнения.

Ответ: $(4; 2)$ и $(-4; -2)$.