Страница 24 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

12. Катер шёл 3 ч по течению реки и 2 ч против течения. Путь, пройденный катером по течению, на 41 км больше пути, пройденного против течения. Найдите скорость катера в стоячей воде, если скорость катера в стоячей воде равна 28,5 км/ч.

Решение.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Тогда по течению реки

катер двигался со скоростью $(28,5 + x)$ км/ч, а против течения $-$ $(28,5 - x)$ км/ч.

За 3 ч по течению реки катер прошёл $3(28,5 + x)$ км, а за 2 ч

против течения $-$ $2(28,5 - x)$ км.

Поскольку по течению он прошёл на 41 км больше, чем против течения, то получаем уравнение

$3(28,5 + x) - 2(28,5 - x) = 41$

Решение.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Скорость катера в стоячей воде равна 28,5 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки составляет $(28,5 + x)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(28,5 - x)$ км/ч.

За 3 часа движения по течению катер прошёл расстояние $S_1 = 3 \cdot (28,5 + x)$ км.

За 2 часа движения против течения катер прошёл расстояние $S_2 = 2 \cdot (28,5 - x)$ км.

По условию задачи, путь, пройденный катером по течению, на 41 км больше пути, пройденного против течения. Это можно записать в виде уравнения:

$S_1 = S_2 + 41$

$3 \cdot (28,5 + x) = 2 \cdot (28,5 - x) + 41$

Решим полученное уравнение:

1. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3 \cdot 28,5 + 3 \cdot x = 2 \cdot 28,5 - 2 \cdot x + 41$

$85,5 + 3x = 57 - 2x + 41$

2. Приведём подобные слагаемые в правой части уравнения:

$85,5 + 3x = 98 - 2x$

3. Перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую, меняя знаки при переносе:

$3x + 2x = 98 - 85,5$

$5x = 12,5$

4. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 5:

$x = \frac{12,5}{5}$

$x = 2,5$

Таким образом, скорость течения реки равна 2,5 км/ч.

Ответ: 2,5 км/ч.

13. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика функции $y = 9 - 2x$ с осями координат.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат необходимо поочередно приравнять к нулю каждую из координат ($x$ и $y$).

Пересечение с осью ординат (осью Oy)
Точка пересечения с осью ординат имеет абсциссу (координату $x$), равную нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$y = 9 - 2 \cdot 0$
$y = 9 - 0$
$y = 9$
Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0; 9)$.
Ответ: $(0; 9)$.

Пересечение с осью абсцисс (осью Ox)
Точка пересечения с осью абсцисс имеет ординату (координату $y$), равную нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение функции:
$0 = 9 - 2x$
Теперь решим это уравнение относительно $x$:
$2x = 9$
$x = \frac{9}{2}$
$x = 4.5$
Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(4.5; 0)$.
Ответ: $(4.5; 0)$.

14. Не выполняя построения графика функции $y = -3x + 10$, найдите точку этого графика, у которой ордината на 4 меньше абсциссы.

Решение.

Пусть искомая точка имеет координаты $(x_0; y_0)$. Из условия следу-ем, что $y_0 = $

Решение.

Пусть искомая точка на графике функции имеет координаты $(x; y)$.

Поскольку эта точка принадлежит графику функции $y = -3x + 10$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению.

По условию задачи, ордината точки ($y$) на 4 меньше ее абсциссы ($x$). Это можно записать в виде второго уравнения: $y = x - 4$.

Чтобы найти координаты точки, которые удовлетворяют обоим условиям, необходимо решить систему из двух уравнений: $$ \begin{cases} y = -3x + 10 \\ y = x - 4 \end{cases} $$

Так как левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части: $-3x + 10 = x - 4$.

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую: $10 + 4 = x + 3x$
$14 = 4x$

Отсюда находим значение абсциссы $x$: $x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Теперь, зная $x$, найдем соответствующее значение ординаты $y$, подставив найденное значение в любое из уравнений системы. Удобнее использовать второе уравнение: $y = x - 4 = 3.5 - 4 = -0.5$.

Таким образом, искомая точка имеет координаты $(3.5; -0.5)$.

Проверим, подставив найденные координаты в первое уравнение: $-0.5 = -3 \cdot (3.5) + 10$
$-0.5 = -10.5 + 10$
$-0.5 = -0.5$.
Равенство верное, следовательно, точка найдена правильно.

Ответ: $(3.5; -0.5)$.

15. Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций $y = 3x - 11$ и $y = -2x + 3$.

Решение.

Найдём, при каком значении $x$ данные функции принимают равные

значения.

Для этого решим уравнение

Решение.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций, не выполняя построения, нужно приравнять их правые части. В точке пересечения значения координат x и y для обеих функций совпадают.

Нам даны две функции: $y = 3x - 11$ и $y = -2x + 3$.

Найдём, при каком значении x данные функции принимают равные значения.

Поскольку в точке пересечения значения y равны, мы можем приравнять выражения для y.

Для этого решим уравнение

$3x - 11 = -2x + 3$

Сначала перенесём все слагаемые с переменной x в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$3x + 2x = 3 + 11$

Теперь выполним сложение в обеих частях уравнения.

$5x = 14$

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 5.

$x = \frac{14}{5}$

$x = 2.8$

Мы нашли абсциссу (координату x) точки пересечения. Теперь найдём ординату (координату y), подставив полученное значение x в уравнение любой из двух функций. Например, подставим в первую функцию $y = 3x - 11$:

$y = 3 \cdot (2.8) - 11$

$y = 8.4 - 11$

$y = -2.6$

Для проверки можно подставить x и во второе уравнение $y = -2x + 3$:

$y = -2 \cdot (2.8) + 3$

$y = -5.6 + 3$

$y = -2.6$

Значения y совпали, значит, расчёты верны. Координаты точки пересечения графиков — $(2.8; -2.6)$.

Ответ: $(2.8; -2.6)$