Страница 26 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1, 2 Мерзляк, Полонский

14. Дорога из пункта А в пункт В длиной 30 км состоит из двух участков, первый из которых представляет собой подъём на холм, а второй – спуск с этого холма. Велосипедист доезжает из пункта А в пункт В за 2 ч, при этом его скорость на подъёме составляет 12 км/ч, а на спуске – 16 км/ч. Сколько километров составляет длина подъёма на холм?

Решение.

Пусть длина подъёма составляет $x$ км, тогда длина спуска равна

км. На холм велосипедист поднимается за ч, а спускается с него за ч. Поскольку вся дорога занимает у велосипедиста 2 ч, то получаем уравнение

Решение.

Пусть длина подъёма составляет $x$ км, тогда, поскольку общая длина дороги 30 км, длина спуска равна $(30 - x)$ км. Время, которое велосипедист тратит на подъём со скоростью 12 км/ч, составляет $\frac{x}{12}$ ч, а время на спуск со скоростью 16 км/ч составляет $\frac{30-x}{16}$ ч. Поскольку вся дорога занимает у велосипедиста 2 ч, то получаем уравнение:

$\frac{x}{12} + \frac{30-x}{16} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 16 равно 48. Умножим обе части уравнения на 48, чтобы избавиться от дробей:

$48 \cdot \frac{x}{12} + 48 \cdot \frac{30-x}{16} = 2 \cdot 48$

$4x + 3(30-x) = 96$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$4x + 90 - 3x = 96$

Приведём подобные слагаемые:

$x + 90 = 96$

Перенесём 90 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный, чтобы найти $x$:

$x = 96 - 90$

$x = 6$

Следовательно, длина подъёма на холм составляет 6 км.

Ответ: 6 км.

15. Есть два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит 25%, а второй — 30% соли. Сколько килограммов второго раствора надо добавить к 10 кг первого, чтобы получить раствор, содержащий 28% соли?

Решение.

Пусть надо добавить $x$ кг второго раствора. Тогда масса полученного раствора составит $(10 + x)$ кг.

Первый раствор содержит $10 \cdot 0.25$ кг соли, второй — $x \cdot 0.3$ кг, а новый раствор — $(10+x) \cdot 0.28$ кг.

Решение.

Пусть $x$ — это масса (в кг) второго раствора, которую нужно добавить. Изначально имеется 10 кг первого раствора.

1. Найдем общую массу нового раствора.
После смешивания масса нового раствора будет равна сумме масс первого и второго растворов:
$m_{общая} = 10 + x$ кг.

2. Найдем массу соли в каждом растворе.
Масса соли в первом растворе (25%-й концентрации) составляет:
$m_{соли1} = 10 \text{ кг} \cdot 0.25 = 2.5$ кг.
Масса соли во втором растворе ($x$ кг, 30%-й концентрации) составляет:
$m_{соли2} = x \text{ кг} \cdot 0.30 = 0.3x$ кг.

3. Составим уравнение.
Общая масса соли в новом растворе — это сумма масс соли из двух исходных растворов:
$m_{соли\_общая} = m_{соли1} + m_{соли2} = 2.5 + 0.3x$ кг.
С другой стороны, по условию новый раствор должен иметь концентрацию 28%. Значит, масса соли в нем составляет 28% от его общей массы:
$m_{соли\_общая} = (10 + x) \text{ кг} \cdot 0.28$.
Приравняем два выражения для общей массы соли:

$2.5 + 0.3x = 0.28(10 + x)$

4. Решим уравнение.
Раскроем скобки в правой части:

$2.5 + 0.3x = 2.8 + 0.28x$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$0.3x - 0.28x = 2.8 - 2.5$

$0.02x = 0.3$

Найдем $x$:

$x = \frac{0.3}{0.02} = \frac{30}{2} = 15$

Таким образом, чтобы получить раствор с 28% содержанием соли, необходимо добавить 15 кг второго раствора.

Ответ: 15.

8. Постройте график функции $y = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le 2 \\ 5, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

Для построения графика кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} 2x + 1, & \text{если } x \le 2 \\ 5, & \text{если } x > 2 \end{cases}$ необходимо построить график для каждого интервала отдельно.

1. Построение графика функции $y = 2x + 1$ на промежутке $x \le 2$.

Эта функция является линейной, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Выберем значения $x$, удовлетворяющие условию $x \le 2$.

- Возьмем граничное значение $x = 2$. Тогда $y = 2 \cdot 2 + 1 = 5$. Получаем точку $(2, 5)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le 2$), эта точка будет принадлежать графику (изображается закрашенным кружком).

- Возьмем еще одно значение, например, $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.

Проводим через точки $(2, 5)$ и $(0, 1)$ луч, который начинается в точке $(2, 5)$ и уходит влево и вниз.

2. Построение графика функции $y = 5$ на промежутке $x > 2$.

Эта функция является постоянной, ее график — горизонтальная прямая, проходящая на уровне $y=5$. Эта прямая определена для всех $x$, которые строго больше 2.

Это означает, что мы строим горизонтальный луч, начинающийся из точки с абсциссой $x=2$. В самой точке $x=2$ функция не определена по этой формуле, поэтому начало луча, точка $(2, 5)$, будет "выколотой" (изображается пустым кружком).

3. Объединение графиков.

Совмещаем оба построенных луча на одной координатной плоскости. Первый луч заканчивается закрашенной точкой $(2, 5)$, а второй луч начинается в этом же месте с выколотой точки. Закрашенная точка "заполняет" выколотую, поэтому в точке $(2, 5)$ разрыва нет.

Ответ: Итоговый график — это ломаная линия. Он состоит из двух частей: луча функции $y=2x+1$, который проходит через точки $(0,1)$ и заканчивается в точке $(2,5)$, и горизонтального луча $y=5$, который начинается в точке $(2,5)$ и идет вправо параллельно оси Ox.

19. Постройте график функции $y = \begin{cases} -2x, \text{ если } x \le 1, \\ 2x, \text{ если } x > 1. \end{cases}$

Для построения графика кусочной функции $y = \begin{cases} -2x, & \text{если } x \le 1, \\ 2x, & \text{если } x > 1. \end{cases}$ необходимо построить график каждой из функций на заданном для нее промежутке.

1. Построим график функции $y = -2x$ при $x \le 1$.

Графиком функции $y = -2x$ является прямая. Поскольку мы рассматриваем эту функцию на промежутке $x \le 1$, ее графиком будет луч.

Для построения луча найдем координаты двух точек. Одной точкой будет граничная точка $x=1$, а в качестве второй возьмем, например, $x=0$.

• При $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 = -2$. Координаты точки: $(1; -2)$. Так как неравенство $x \le 1$ нестрогое, эта точка принадлежит графику. На чертеже она будет обозначена закрашенным кружком.
• При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 = 0$. Координаты точки: $(0; 0)$.

Проведем через точки $(0; 0)$ и $(1; -2)$ луч, который начинается в точке $(1; -2)$ и продолжается влево и вверх.

2. Построим график функции $y = 2x$ при $x > 1$.

Графиком функции $y = 2x$ также является прямая. На промежутке $x > 1$ ее графиком будет луч.

Для построения этого луча найдем координаты начальной точки и еще одной точки. Возьмем граничное значение $x=1$ для определения начала луча и, например, $x=2$.

• При $x = 1$, $y = 2 \cdot 1 = 2$. Координаты точки: $(1; 2)$. Так как неравенство $x > 1$ строгое, эта точка не принадлежит графику. На чертеже она будет обозначена выколотым (пустым) кружком.
• При $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 = 4$. Координаты точки: $(2; 4)$.

Проведем луч, который начинается в точке $(1; 2)$ и проходит через точку $(2; 4)$.

3. Итоговый график.

Объединим построенные части на одной координатной плоскости. Полученный график является искомым.

Ответ: График функции построен. Он состоит из двух лучей: первый луч спускается из левой верхней части координатной плоскости, проходит через начало координат, точку $(0;0)$, и заканчивается в точке $(1; -2)$ (точка включена); второй луч начинается в точке $(1; 2)$ (точка не включена) и поднимается в правую верхнюю часть координатной плоскости, проходя через точку $(2; 4)$.