Номер 21, страница 27 - гдз по алгебре 7 класс рабочая тетрадь часть 1 Мерзляк, Полонский

Параграф 23. Линейная функция, её график и свойства. Глава 3. Функции. Рабочая тетрадь 2 - номер 21, страница 27.

Условие.

21. Постройте график функции $y = 2x + |x| - 4$.

Решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение.

Для построения графика функции $y = 2x + |x| - 4$ необходимо раскрыть модуль $|x|$.
По определению абсолютной величины (модуля), выражение $|x|$ раскрывается следующим образом:
$|x| = x$, если $x \ge 0$
$|x| = -x$, если $x < 0$
В связи с этим, мы должны рассмотреть два случая для построения графика.

1. При $x \ge 0$
В этом случае $|x| = x$, и исходная функция принимает вид:
$y = 2x + x - 4$
$y = 3x - 4$
Это линейная функция, графиком которой является прямая. Поскольку мы рассматриваем только неотрицательные значения $x$ ($x \ge 0$), то нас интересует часть этой прямой — луч, начинающийся на оси $Oy$.
Для построения этого луча найдем координаты двух точек:

• При $x=0$: $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Получаем точку $(0; -4)$.
• При $x=2$: $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получаем точку $(2; 2)$.

Итак, для $x \ge 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0; -4)$ и проходящий через точку $(2; 2)$.

2. При $x < 0$
В этом случае $|x| = -x$, и исходная функция принимает вид:
$y = 2x + (-x) - 4$
$y = x - 4$
Это также линейная функция. Поскольку мы рассматриваем $x < 0$, то графиком будет луч, расположенный в левой полуплоскости.
Найдем координаты двух точек для построения этого луча:

• Точка излома графика находится при $x=0$. Предельное значение функции при $x$, стремящемся к 0 слева, равно $y = 0 - 4 = -4$. Точка $(0; -4)$ является общей для обоих лучей, что означает, что график является непрерывным.
• Возьмем, к примеру, $x=-3$: $y = -3 - 4 = -7$. Получаем точку $(-3; -7)$.

Итак, для $x < 0$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(0; -4)$ и проходящий через точку $(-3; -7)$.

Построение итогового графика.
Итоговый график функции $y = 2x + |x| - 4$ состоит из двух лучей, которые соединяются в общей точке $(0; -4)$, образуя ломаную линию.
Таким образом, мы строим на координатной плоскости:
- Луч с началом в точке $(0; -4)$ и проходящий через точку $(2; 2)$.
- Луч с началом в точке $(0; -4)$ и проходящий через точку $(-3; -7)$.

Ответ: График функции представляет собой ломаную линию, состоящую из двух лучей, с общей вершиной в точке $(0; -4)$. Первый луч задается уравнением $y = 3x - 4$ при $x \ge 0$, а второй луч — уравнением $y = x - 4$ при $x < 0$.