Страница 16, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3.6 Изобразите графическую модель ситуации:

а) На координатной прямой дана точка $A(a)$ и точки $B(a + 3)$, $C(a - 1)$, $D(a + n);

б) на координатной прямой даны точка $B(b)$ и точка $X$, удалённая от точки $B$ на расстояние, равное $5$;

в) расстояние от точки $O(0)$ до точки $T$ равно $m$ единичных отрезков;

г) расстояние от точки $A(a)$ до точки $B$ равно $r$ единичных отрезков.

Составьте математическую модель данной ситуации:

а) Графическая модель: На координатной прямой отмечаем точку $A$ с координатой $a$. Точка $B$ с координатой $a+3$ находится на 3 единичных отрезка правее точки $A$. Точка $C$ с координатой $a-1$ находится на 1 единичный отрезок левее точки $A$. Положение точки $D$ с координатой $a+n$ зависит от знака $n$: если $n>0$, точка $D$ правее $A$; если $n<0$, точка $D$ левее $A$; если $n=0$, точка $D$ совпадает с $A$. На прямой точки $C$, $A$, $B$ располагаются в следующем порядке (слева направо): $C(a-1)$, $A(a)$, $B(a+3)$.
Математическая модель: Математическая модель ситуации — это запись данных условий на языке математики. В данном случае, это выражения, определяющие координаты точек на прямой. Обозначив координату точки $P$ как $x_P$, имеем: $x_A = a$, $x_B = a + 3$, $x_C = a - 1$, $x_D = a + n$. Эти равенства и являются математической моделью.
Ответ: $x_A = a, x_B = a + 3, x_C = a - 1, x_D = a + n$.

б) Графическая модель: На координатной прямой отмечаем точку $B$ с координатой $b$. Точка $X$ может находиться на расстоянии 5 единиц от точки $B$ в двух местах: либо справа от $B$ в точке с координатой $b+5$, либо слева от $B$ в точке с координатой $b-5$. Таким образом, на прямой существуют две возможные точки для $X$.
Математическая модель: Пусть координата точки $X$ равна $x$. Расстояние между двумя точками на координатной прямой с координатами $x_1$ и $x_2$ вычисляется по формуле $|x_2 - x_1|$. По условию, расстояние между $X(x)$ и $B(b)$ равно 5. Запишем это в виде уравнения: $|x - b| = 5$. Это уравнение является математической моделью данной ситуации. Оно имеет два решения: $x = b+5$ и $x = b-5$.
Ответ: $|x - b| = 5$, где $x$ — координата точки $X$.

в) Графическая модель: На координатной прямой отмечаем начало отсчёта — точку $O$ с координатой 0. Точка $T$ находится на расстоянии $m$ от точки $O$. При этом предполагается, что $m \ge 0$, так как расстояние не может быть отрицательным. Существует две возможные точки для $T$: на $m$ единичных отрезков правее $O$, в точке с координатой $m$, и на $m$ единичных отрезков левее $O$, в точке с координатой $-m$. Если $m=0$, то точка $T$ совпадает с точкой $O$.
Математическая модель: Пусть координата точки $T$ равна $t$. Координата точки $O$ равна 0. Расстояние между $T(t)$ и $O(0)$ равно $m$. Используя формулу расстояния, получаем уравнение: $|t - 0| = m$, что упрощается до $|t| = m$. Это уравнение и есть математическая модель ситуации.
Ответ: $|t| = m$, где $t$ — координата точки $T$.

г) Графическая модель: На координатной прямой отметим точку $A$ с координатой $a$. Точка $B$ находится на расстоянии $r$ от точки $A$. Предполагается, что $r \ge 0$. Для точки $B$ есть два возможных положения: справа от $A$ на расстоянии $r$, в точке с координатой $a+r$, и слева от $A$ на расстоянии $r$, в точке с координатой $a-r$. Если $r=0$, то точка $B$ совпадает с точкой $A$.
Математическая модель: Пусть координата точки $B$ равна $b$. Координата точки $A$ равна $a$. Расстояние между ними равно $r$. Записываем это с помощью формулы расстояния: $|b - a| = r$. Данное уравнение является математической моделью ситуации.
Ответ: $|b - a| = r$, где $b$ — координата точки $B$.

3.7 Первый рабочий выполняет задание за $t$ ч, а второй такое же задание — за $v$ ч, при этом первый работает на 3 ч больше, чем второй.

Для решения задачи введем понятие производительности труда. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Примем всю работу за 1.

Производительность первого рабочего составляет $P_1 = \frac{1}{t}$ задания в час.

Производительность второго рабочего составляет $P_2 = \frac{1}{v}$ задания в час.

Из условия известно, что первый рабочий работал на 3 часа больше, чем второй. Обозначим время работы второго рабочего за $x$ часов. Тогда время работы первого рабочего составит $(x+3)$ часа.

а) Какую часть задания выполнил каждый рабочий, если второй работал $x$ ч?
Чтобы найти часть выполненного задания (работу), нужно производительность умножить на время работы.
Часть задания, выполненная первым рабочим:
$A_1 = P_1 \times T_1 = \frac{1}{t} \times (x+3) = \frac{x+3}{t}$
Часть задания, выполненная вторым рабочим:
$A_2 = P_2 \times T_2 = \frac{1}{v} \times x = \frac{x}{v}$
Ответ: Первый рабочий выполнил $\frac{x+3}{t}$ часть задания, а второй — $\frac{x}{v}$ часть задания.

б) Составьте уравнение, если известно, что, работая вместе, они выполнили все задание.
Если рабочие вместе выполнили все задание, то сумма выполненных ими частей задания равна 1:
$A_1 + A_2 = 1$
Подставим выражения для $A_1$ и $A_2$ из предыдущего пункта:
$\frac{x+3}{t} + \frac{x}{v} = 1$
Это и есть искомое уравнение, связывающее переменные $x$, $t$ и $v$.
Ответ: $\frac{x+3}{t} + \frac{x}{v} = 1$.

в) Выразите из полученного уравнения $x$ через $t$ и $v$ и определите, при каких условиях задача имеет решение.
Решим уравнение относительно $x$:
$\frac{x+3}{t} + \frac{x}{v} = 1$
Приведем левую часть к общему знаменателю $tv$:
$\frac{v(x+3) + t x}{tv} = 1$
Умножим обе части уравнения на $tv$:
$v(x+3) + tx = tv$
Раскроем скобки:
$vx + 3v + tx = tv$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $x$:
$vx + tx = tv - 3v$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(v+t) = v(t-3)$
Выразим $x$:
$x = \frac{v(t-3)}{t+v}$
Задача имеет физический смысл, если время работы $x$ является положительной величиной, т.е. $x > 0$.
Так как время $t$ и $v$ по определению положительны ($t>0, v>0$), знаменатель дроби $(t+v)$ всегда положителен.
Следовательно, для того чтобы $x>0$, числитель дроби $v(t-3)$ также должен быть положителен.
Поскольку $v>0$, необходимо, чтобы выполнялось неравенство $t-3>0$, то есть $t>3$.
Таким образом, задача имеет решение только в том случае, если время, за которое первый рабочий выполняет все задание в одиночку, больше 3 часов.
Ответ: $x = \frac{v(t-3)}{t+v}$; задача имеет решение при $t > 3$.

3.8 Три килограмма яблок стоят столько же, сколько два килограмма груш. При этом известно, что 1 кг яблок стоит $x$ р., а 1 кг груш стоит $y$ р.

Пусть цена 1 кг яблок составляет $x$ рублей, а цена 1 кг груш — $y$ рублей, как указано в условии.
Стоимость трех килограммов яблок можно выразить как произведение количества на цену за килограмм, то есть $3 \cdot x = 3x$ рублей.
Аналогично, стоимость двух килограммов груш составляет $2 \cdot y = 2y$ рублей.
В условии задачи сказано, что эти стоимости равны. Следовательно, мы можем составить уравнение, которое связывает цены $x$ и $y$: $$3x = 2y$$ Это равенство является математической записью условия задачи. Из него можно, например, выразить цену груш через цену яблок: $y = \frac{3}{2}x$, или $y = 1.5x$. Это означает, что груши в 1.5 раза дороже яблок.

Ответ: $3x = 2y$.

3.9 Стоимость стакана мандаринового сока $a$ р., а стакана виноградного сока $-$ $b$ р. Известно, что 5 стаканов виноградного сока стоят столько же, сколько 6 стаканов мандаринового сока.

а) Составьте уравнение, связывающее стоимости соков $a$ и $b$.

Пусть $a$ — это стоимость одного стакана мандаринового сока в рублях, а $b$ — это стоимость одного стакана виноградного сока в рублях.

Стоимость 6 стаканов мандаринового сока можно выразить как произведение количества стаканов на стоимость одного стакана: $6 \times a = 6a$ рублей.

Аналогично, стоимость 5 стаканов виноградного сока составляет: $5 \times b = 5b$ рублей.

По условию задачи, эти две стоимости равны. Следовательно, мы можем составить следующее уравнение, связывающее переменные $a$ и $b$:

$6a = 5b$

Ответ: $6a = 5b$.

б) Какой сок дороже и во сколько раз?

Чтобы сравнить стоимости $a$ и $b$, воспользуемся уравнением, полученным в предыдущем пункте: $6a = 5b$.

Из этого уравнения мы можем найти отношение стоимостей $\frac{b}{a}$. Для этого разделим обе части уравнения на $a$ (мы можем это сделать, так как стоимость сока $a$ не может быть равна нулю):

$6 = \frac{5b}{a}$

Теперь разделим обе части полученного равенства на 5:

$\frac{6}{5} = \frac{b}{a}$

Переведем дробь в десятичный вид: $\frac{6}{5} = 1.2$.

Таким образом, $\frac{b}{a} = 1.2$, что можно записать как $b = 1.2a$.

Поскольку отношение $\frac{b}{a}$ больше единицы, то стоимость $b$ больше стоимости $a$. Это означает, что виноградный сок дороже мандаринового. Отношение показывает, что он дороже в 1,2 раза.

Ответ: Стакан виноградного сока дороже стакана мандаринового сока в 1,2 раза.

в) Выразите стоимость $a$ через $b$ и стоимость $b$ через $a$.

Используем основное уравнение, связывающее стоимости: $6a = 5b$.

Чтобы выразить стоимость виноградного сока $b$ через стоимость мандаринового $a$, разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{6a}{5} = b$

Запишем в более привычном виде:

$b = \frac{6}{5}a$

Также это можно представить в виде десятичной дроби:

$b = 1.2a$

Чтобы выразить стоимость мандаринового сока $a$ через стоимость виноградного $b$, разделим обе части исходного уравнения $6a = 5b$ на 6:

$a = \frac{5b}{6}$

Запишем в виде произведения:

$a = \frac{5}{6}b$

Ответ: $b = \frac{6}{5}a$ (или $b = 1.2a$); $a = \frac{5}{6}b$.

3.10 В первом вагоне находится $x$ т груза, а во втором — $y$ т. Если из первого вагона выгрузить $5\frac{4}{5}$ т, а во второй добавить $14\frac{1}{5}$ т, то в обоих вагонах груза станет поровну.

Согласно условию задачи, в первом вагоне изначально находилось $x$ тонн груза, а во втором — $y$ тонн.

После того как из первого вагона выгрузили $5\frac{4}{5}$ т, количество груза в нем стало равно: $x - 5\frac{4}{5}$ т.

После того как во второй вагон добавили $14\frac{1}{5}$ т, количество груза в нем стало равно: $y + 14\frac{1}{5}$ т.

По условию, после этих изменений количество груза в вагонах стало одинаковым. Это позволяет нам составить следующее уравнение:

$x - 5\frac{4}{5} = y + 14\frac{1}{5}$

Это уравнение является математической моделью описанной ситуации. Для нахождения зависимости между $x$ и $y$ упростим это уравнение. Перенесем слагаемое с переменной $y$ в левую часть, а числовые значения — в правую часть уравнения:

$x - y = 14\frac{1}{5} + 5\frac{4}{5}$

Теперь выполним сложение смешанных чисел в правой части. Для этого сложим их целые и дробные части по отдельности:

$14\frac{1}{5} + 5\frac{4}{5} = (14 + 5) + (\frac{1}{5} + \frac{4}{5}) = 19 + \frac{5}{5} = 19 + 1 = 20$

Таким образом, мы получаем упрощенное соотношение между $x$ и $y$:

$x - y = 20$

Это означает, что изначально в первом вагоне было на 20 тонн груза больше, чем во втором.

Ответ: Уравнение, соответствующее условию задачи: $x - 5\frac{4}{5} = y + 14\frac{1}{5}$. После упрощения получаем $x - y = 20$.

3.11 Первое число равно $x$, второе в 1,5 раза больше первого. Если к первому числу прибавить 3,7, а из второго числа вычесть 5,36, то получатся одинаковые результаты.

Обозначим первое число как $x$. Согласно условию, второе число в 1,5 раза больше первого, следовательно, его можно выразить как $1.5x$.

В задаче говорится, что если к первому числу прибавить 3,7, а из второго числа вычесть 5,36, то результаты получатся одинаковые. На основе этого условия можно составить уравнение:

$x + 3.7 = 1.5x - 5.36$

Теперь решим полученное линейное уравнение, чтобы найти значение $x$. Для этого сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а числовые константы — в другой. Перенесем $x$ в правую часть, а $-5.36$ — в левую, изменив их знаки:

$3.7 + 5.36 = 1.5x - x$

Выполним сложение в левой части и вычитание в правой:

$9.06 = 0.5x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,5:

$x = \frac{9.06}{0.5}$

$x = 18.12$

Таким образом, мы нашли первое число. Оно равно 18,12.

Теперь найдем второе число, умножив первое на 1,5:

Второе число $= 1.5 \times 18.12 = 27.18$

Для уверенности выполним проверку. Подставим найденные значения в исходное условие:

• К первому числу прибавим 3,7: $18.12 + 3.7 = 21.82$
• Из второго числа вычтем 5,36: $27.18 - 5.36 = 21.82$

Так как $21.82 = 21.82$, полученные результаты равны, что подтверждает правильность решения.

Ответ: Первое число равно 18,12; второе число равно 27,18.

3.12 Первое число равно $z$, а второе на 6 больше первого, при этом $\frac{1}{3}$ первого числа равна $\frac{1}{4}$ второго.

Пусть первое число — это $x$, а второе число — это $y$. В условии сказано, что первое число равно $z$, следовательно, $x = z$.

Согласно условию задачи, мы можем составить систему уравнений.

1. Второе число на 6 больше первого. Это можно записать в виде уравнения:

$y = x + 6$

2. $\frac{1}{3}$ первого числа равна $\frac{1}{4}$ второго числа. Запишем это в виде второго уравнения:

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{4}y$

Теперь решим полученную систему уравнений. Для этого подставим выражение для $y$ из первого уравнения ($y = x + 6$) во второе уравнение:

$\frac{1}{3}x = \frac{1}{4}(x + 6)$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 4, то есть на 12:

$12 \cdot \frac{1}{3}x = 12 \cdot \frac{1}{4}(x + 6)$

$4x = 3(x + 6)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$4x = 3x + 18$

Перенесём слагаемое $3x$ из правой части в левую с противоположным знаком:

$4x - 3x = 18$

$x = 18$

Итак, первое число равно 18.

Теперь найдем второе число, подставив найденное значение $x$ в первое уравнение $y = x + 6$:

$y = 18 + 6$

$y = 24$

Второе число равно 24.

Проверим найденные значения: $\frac{1}{3}$ от первого числа ($18$) равна $6$. $\frac{1}{4}$ от второго числа ($24$) также равна $6$. Условие $6=6$ выполняется, следовательно, задача решена верно.

Ответ: Первое число равно 18, второе число равно 24.

3.13 На стройке работало 5 бригад по $a$ человек в каждой и 3 бригады по $b$ человек в каждой, при этом всего на стройке работало $m$ человек.

$5a + 3b = m$

В условии задачи даны три переменные:

• $a$ – количество человек в каждой из 5 бригад первого типа.
• $b$ – количество человек в каждой из 3 бригад второго типа.
• $m$ – общее количество человек на стройке.

Для решения задачи сначала необходимо составить формулу, которая связывает эти переменные.

Общее количество человек в 5 бригадах, в каждой из которых по $a$ человек, составляет $5 \times a = 5a$.

Общее количество человек в 3 бригадах, в каждой из которых по $b$ человек, составляет $3 \times b = 3b$.

Общее количество всех работников на стройке $m$ равно сумме работников из всех бригад. Таким образом, мы получаем основное уравнение:

$m = 5a + 3b$

Исходя из этого уравнения, можно решить несколько типовых задач.

Для нахождения общего числа рабочих $m$ необходимо сложить общее число рабочих в бригадах первого типа и общее число рабочих в бригадах второго типа.Число рабочих в 5 бригадах по $a$ человек равно $5a$.Число рабочих в 3 бригадах по $b$ человек равно $3b$.Следовательно, формула для вычисления $m$ имеет вид:

$m = 5a + 3b$

Ответ: $m = 5a + 3b$

Чтобы выразить переменную $a$ из формулы $m = 5a + 3b$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перенесем слагаемое $3b$ из правой части уравнения в левую, изменив его знак на противоположный. Это позволит изолировать слагаемое, содержащее $a$.
   $m - 3b = 5a$
2. Разделим обе части получившегося уравнения на коэффициент при переменной $a$, то есть на 5.
   $\frac{m - 3b}{5} = a$

Запишем выражение в стандартном виде:

$a = \frac{m - 3b}{5}$

Ответ: $a = \frac{m - 3b}{5}$

Чтобы выразить переменную $b$ из формулы $m = 5a + 3b$, выполним аналогичные действия:

1. Перенесем слагаемое $5a$ из правой части уравнения в левую с противоположным знаком, чтобы изолировать слагаемое с $b$.
   $m - 5a = 3b$
2. Разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной $b$, то есть на 3.
   $\frac{m - 5a}{3} = b$

Запишем полученное выражение в стандартном виде:

$b = \frac{m - 5a}{3}$

Ответ: $b = \frac{m - 5a}{3}$

3.14 Первое число равно $c$, второе число в 1,4 раза больше первого. Если из второго числа вычесть 5,2, а к первому прибавить 4,8, то получатся равные результаты.

Пусть первое число равно $c$. Согласно условию задачи, второе число в 1,4 раза больше первого, следовательно, его можно выразить как $1.4 \cdot c$.

В задаче сказано, что если из второго числа вычесть 5,2, а к первому прибавить 4,8, то полученные результаты будут равны. На основании этого условия составим и решим уравнение.

Выражение для второго числа после вычитания: $(1.4 \cdot c) - 5.2$.
Выражение для первого числа после прибавления: $c + 4.8$.

Приравняем эти два выражения: $$(1.4 \cdot c) - 5.2 = c + 4.8$$

Для решения уравнения перенесем все члены с переменной $c$ в левую часть, а числовые члены — в правую: $$1.4c - c = 4.8 + 5.2$$

Упростим обе части уравнения: $$0.4c = 10$$

Теперь найдем значение $c$, разделив обе части уравнения на 0,4: $$c = \frac{10}{0.4}$$ $$c = \frac{100}{4}$$ $$c = 25$$ Итак, первое число равно 25.

Теперь найдем второе число, зная, что оно в 1,4 раза больше первого: $$1.4 \cdot 25 = 35$$ Второе число равно 35.

Проверка:
$35 - 5.2 = 29.8$
$25 + 4.8 = 29.8$
$29.8 = 29.8$. Равенство выполняется.

Ответ: первое число равно 25, второе число равно 35.

3.15 В первом букете $d$ роз, а во втором в 4 раза больше, чем в первом.

Когда к первому букету добавили 15 роз, а ко второму — 3 розы, в обоих букетах роз стало поровну.

Пусть в первом букете было $d$ роз. По условию, во втором букете было в 4 раза больше, следовательно, в нем было $4d$ роз.

После того как к первому букету добавили 15 роз, количество роз в нем стало равным $(d + 15)$.

Когда ко второму букету добавили -3 розы (то есть из него убрали 3 розы), количество роз в нем стало равным $(4d - 3)$.

Так как после этих изменений количество роз в букетах стало равным, мы можем составить уравнение:$d + 15 = 4d - 3$

Для решения уравнения перенесем все слагаемые, содержащие переменную $d$, в одну сторону, а числовые значения — в другую.$15 + 3 = 4d - d$

Упростим обе части уравнения:$18 = 3d$

Теперь найдем $d$, разделив обе части на 3:$d = \frac{18}{3}$$d = 6$

Таким образом, в первом букете изначально было 6 роз.

Теперь найдем, сколько роз было во втором букете:$4 \cdot d = 4 \cdot 6 = 24$

Во втором букете изначально было 24 розы.

Проверим решение.После изменений в первом букете стало: $6 + 15 = 21$ роза.Во втором букете стало: $24 - 3 = 21$ роза.$21 = 21$, что соответствует условию задачи.

Ответ: изначально в первом букете было 6 роз, а во втором — 24 розы.