Страница 21, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3.42 а) Двузначное число $N$ содержит $a$ десятков и $b$ единиц;

б) трёхзначное число $M$ содержит $a$ сотен, $b$ десятков и $c$ единиц;

в) четырёхзначное число содержит $a$ тысяч и $b$ десятков;

г) трёхзначное число содержит $k$ сотен и $m$ единиц.

а) Двузначное число N состоит из a десятков и b единиц. В десятичной системе счисления значение числа равно сумме произведений его цифр на их разрядные веса. Вес разряда десятков равен 10, а вес разряда единиц равен 1. Таким образом, чтобы записать число N, нужно количество десятков a умножить на 10 и прибавить количество единиц b.
Ответ: $N = 10a + b$.

б) Трёхзначное число M состоит из a сотен, b десятков и c единиц. По аналогии с предыдущим пунктом, представим число M в виде суммы разрядных слагаемых. Разрядные веса для сотен, десятков и единиц равны 100, 10 и 1 соответственно. Следовательно, число M можно выразить как сумму произведений цифр на их разрядные веса.
Ответ: $M = 100a + 10b + c$.

в) Четырёхзначное число содержит a тысяч и b десятков. Это означает, что цифра в разряде тысяч равна a, а цифра в разряде десятков равна b. Разряды сотен и единиц в условии не упомянуты, следовательно, соответствующие им цифры равны 0. Таким образом, число состоит из a тысяч, 0 сотен, b десятков и 0 единиц. Его значение равно сумме разрядных слагаемых: $a \cdot 1000 + 0 \cdot 100 + b \cdot 10 + 0 \cdot 1$.
Ответ: $1000a + 10b$.

г) Трёхзначное число содержит k сотен и m единиц. Это означает, что цифра в разряде сотен равна k, а цифра в разряде единиц равна m. Разряд десятков в условии не упомянут, поэтому соответствующая ему цифра равна 0. Таким образом, число состоит из k сотен, 0 десятков и m единиц. Его значение можно записать как сумму: $k \cdot 100 + 0 \cdot 10 + m \cdot 1$.
Ответ: $100k + m$.

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

3.43 На двух садовых участках растут 84 яблони. Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то на втором участке будет в 3 раза больше яблонь, чем останется на первом. Сколько яблонь на каждом участке?

1. Составление математической модели

Первый этап решения задачи — это перевод её условий на язык математики. Для этого введем переменные и составим уравнения, которые описывают связи между известными и неизвестными величинами.

Пусть $x$ — первоначальное количество яблонь на первом садовом участке.

Пусть $y$ — первоначальное количество яблонь на втором садовом участке.

Согласно условию, на двух участках всего растет 84 яблони. Это можно записать в виде первого уравнения: $x + y = 84$

Далее, по условию, если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то:

• на первом участке останется $(x - 1)$ яблонь;
• на втором участке станет $(y + 1)$ яблонь.

После этого на втором участке станет в 3 раза больше яблонь, чем на первом. Это дает нам второе уравнение: $y + 1 = 3(x - 1)$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными, которая является математической моделью данной задачи.

Ответ: Математическая модель задачи представляет собой систему уравнений: $ \begin{cases} x + y = 84 \\ y + 1 = 3(x - 1) \end{cases} $

2. Работа с математической моделью

Второй этап — решение составленной системы уравнений для нахождения значений неизвестных переменных.

Исходная система: $ \begin{cases} x + y = 84 \\ y + 1 = 3(x - 1) \end{cases} $

Сначала упростим второе уравнение, раскрыв скобки: $y + 1 = 3x - 3$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 84 - x$

Подставим это выражение для $y$ во второе (упрощенное) уравнение: $(84 - x) + 1 = 3x - 3$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$: $85 - x = 3x - 3$ $85 + 3 = 3x + x$ $88 = 4x$ $x = \frac{88}{4}$ $x = 22$

Найдем значение $y$, подставив найденное значение $x=22$ в выражение $y = 84 - x$: $y = 84 - 22$ $y = 62$

Итак, решение системы уравнений: $x = 22$, $y = 62$.

Ответ: В результате решения математической модели получены значения переменных: $x=22$, $y=62$.

3. Ответ на вопрос задачи

Третий этап — это интерпретация полученного математического решения в контексте исходной задачи и формулировка окончательного ответа.

Мы определили, что $x$ — это количество яблонь на первом участке, а $y$ — на втором.

Следовательно, на первом участке первоначально было 22 яблони, а на втором — 62 яблони.

Проверим, соответствует ли это условиям задачи:

• Общее количество яблонь: $22 + 62 = 84$. Это соответствует условию.
• После пересадки одной яблони с первого участка на второй:
  • На первом участке останется: $22 - 1 = 21$ яблоня.
  • На втором участке станет: $62 + 1 = 63$ яблони.
• Проверим соотношение: $63 = 3 \cdot 21$. Количество яблонь на втором участке действительно стало в 3 раза больше, чем на первом. Это также соответствует условию.

Все условия задачи выполняются, значит, решение найдено верно.

Ответ: Первоначально на первом участке было 22 яблони, а на втором — 62 яблони.

3.44 Производительность труда мастера на 12 деталей в час больше, чем производительность труда ученика. Мастер работал 2 ч, а ученик 5 ч. Сколько деталей в час изготавливал мастер, если:

a) мастер и ученик изготовили деталей поровну;

б) мастер и ученик изготовили вместе 80 деталей;

в) мастер изготовил на 9 деталей больше, чем ученик;

г) мастер изготовил деталей в 2 раза больше, чем ученик?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — производительность труда ученика в деталях в час. Исходя из условия, производительность труда мастера составляет $(x + 12)$ деталей в час.

За 2 часа работы мастер изготовит $2 \cdot (x + 12)$ деталей.

За 5 часов работы ученик изготовит $5x$ деталей.

а) мастер и ученик изготовили деталей поровну;

Если они изготовили одинаковое количество деталей, то мы можем составить следующее уравнение:

$2 \cdot (x + 12) = 5x$

Решим это уравнение:

$2x + 24 = 5x$

$5x - 2x = 24$

$3x = 24$

$x = \frac{24}{3} = 8$

Производительность ученика — 8 деталей в час. Тогда производительность мастера:

$8 + 12 = 20$ деталей в час.

Ответ: 20 деталей в час.

б) мастер и ученик изготовили вместе 80 деталей;

Если вместе они изготовили 80 деталей, составим уравнение, сложив количество деталей, изготовленных каждым:

$2 \cdot (x + 12) + 5x = 80$

Решим это уравнение:

$2x + 24 + 5x = 80$

$7x + 24 = 80$

$7x = 80 - 24$

$7x = 56$

$x = \frac{56}{7} = 8$

Производительность ученика — 8 деталей в час. Тогда производительность мастера:

$8 + 12 = 20$ деталей в час.

Ответ: 20 деталей в час.

в) мастер изготовил на 9 деталей больше, чем ученик;

Если мастер изготовил на 9 деталей больше, то разница между их работой равна 9:

$2 \cdot (x + 12) - 5x = 9$

Решим это уравнение:

$2x + 24 - 5x = 9$

$24 - 3x = 9$

$3x = 24 - 9$

$3x = 15$

$x = \frac{15}{3} = 5$

Производительность ученика — 5 деталей в час. Тогда производительность мастера:

$5 + 12 = 17$ деталей в час.

Ответ: 17 деталей в час.

г) мастер изготовил деталей в 2 раза больше, чем ученик?

Если мастер изготовил в 2 раза больше деталей, то его работа в два раза превышает работу ученика:

$2 \cdot (x + 12) = 2 \cdot (5x)$

Решим это уравнение:

$2x + 24 = 10x$

$10x - 2x = 24$

$8x = 24$

$x = \frac{24}{8} = 3$

Производительность ученика — 3 детали в час. Тогда производительность мастера:

$3 + 12 = 15$ деталей в час.

Ответ: 15 деталей в час.

3.45 От пристани отошёл теплоход со скоростью 22 км/ч, а от другой пристани навстречу ему через 3 ч отошёл теплоход со скоростью 26 км/ч. Расстояние между пристанями 306 км. Сколько времени был в пути каждый из теплоходов до встречи?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $t$ — это время (в часах), которое был в пути второй теплоход до встречи.

Поскольку первый теплоход отошел на 3 часа раньше, его время в пути до встречи составит $(t + 3)$ часа.

Скорость первого теплохода $v_1 = 22$ км/ч. За время $(t + 3)$ ч он пройдет расстояние $S_1 = 22 \cdot (t+3)$ км.
Скорость второго теплохода $v_2 = 26$ км/ч. За время $t$ ч он пройдет расстояние $S_2 = 26 \cdot t$ км.

К моменту встречи суммарное расстояние, пройденное обоими теплоходами, будет равно расстоянию между пристанями, то есть 306 км. На основе этого составим и решим уравнение:
$S_1 + S_2 = 306$
$22(t + 3) + 26t = 306$

Раскроем скобки и найдем значение $t$:
$22t + 66 + 26t = 306$
$48t + 66 = 306$
$48t = 306 - 66$
$48t = 240$
$t = \frac{240}{48}$
$t = 5$

Таким образом, мы нашли время, которое был в пути второй теплоход. Теперь найдем время для каждого теплохода до встречи.

Время в пути первого теплохода
Время движения первого теплохода равно $(t + 3) = 5 + 3 = 8$ часов.

Время в пути второго теплохода
Время движения второго теплохода равно $t = 5$ часов.

Ответ: первый теплоход был в пути 8 часов, второй теплоход — 5 часов.

3.46 Расстояние между городами мотоциклист проехал за $2 \text{ ч}$, а велосипедист — за $5 \text{ ч}$. Скорость велосипедиста на $18 \text{ км/ч}$ меньше скорости мотоциклиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста и расстояние между городами.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ км/ч — скорость мотоциклиста. Согласно условию, скорость велосипедиста на 18 км/ч меньше, следовательно, она равна $(x - 18)$ км/ч.

Расстояние между городами, которое мы обозначим как $S$, мотоциклист проехал за 2 часа. Это расстояние можно выразить через его скорость: $S = x \cdot 2 = 2x$ км.

Велосипедист проехал то же самое расстояние $S$ за 5 часов. Для него расстояние выражается как $S = (x - 18) \cdot 5$ км.

Так как расстояние, пройденное мотоциклистом и велосипедистом, одно и то же, мы можем составить уравнение, приравняв два выражения для $S$:

$2x = 5(x - 18)$

Теперь решим это линейное уравнение, чтобы найти скорость мотоциклиста $x$:

$2x = 5x - 90$

$5x - 2x = 90$

$3x = 90$

$x = \frac{90}{3}$

$x = 30$

Мы нашли, что скорость мотоциклиста равна 30 км/ч. Теперь, используя это значение, мы можем найти остальные искомые величины.

Скорость мотоциклиста

Как было найдено из решения уравнения, скорость мотоциклиста $x$ составляет 30 км/ч.

Ответ: 30 км/ч.

Скорость велосипедиста

Скорость велосипедиста равна $x - 18$. Подставив найденное значение $x$, получаем: $30 - 18 = 12$ км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Расстояние между городами

Расстояние $S$ можно найти, используя данные мотоциклиста: $S = 2x = 2 \cdot 30 = 60$ км. Для проверки можно использовать данные велосипедиста: $S = 5 \cdot (30-18) = 5 \cdot 12 = 60$ км.

Ответ: 60 км.

3.47 Изобразите на координатной прямой графическую модель ситуации по её аналитической модели:

a) $ |x| = 3; $

б) $ |x| = 1,5; $

в) $ |x| = 0; $

г) $ |x| = b $, где $ b > 0 $.

а) $|x| = 3$

Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 3$ означает, что мы ищем все точки $x$, расстояние от которых до точки 0 равно 3.

На координатной прямой существуют две такие точки: точка с координатой 3 и точка с координатой -3.

Решениями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Графическая модель на координатной прямой выглядит следующим образом:

Ответ: На координатной прямой отмечены две точки: -3 и 3.

б) $|x| = 1,5$

Уравнение $|x| = 1,5$ означает, что мы ищем все точки $x$, расстояние от которых до точки 0 равно 1,5.

Таких точек также две: точка с координатой 1,5 и точка с координатой -1,5.

Решениями уравнения являются $x_1 = 1,5$ и $x_2 = -1,5$.

Графическая модель на координатной прямой:

Ответ: На координатной прямой отмечены две точки: -1,5 и 1,5.

в) $|x| = 0$

Уравнение $|x| = 0$ означает, что мы ищем все точки $x$, расстояние от которых до точки 0 равно 0.

Существует только одна такая точка — это сама точка 0.

Решением уравнения является $x = 0$.

Графическая модель на координатной прямой:

Ответ: На координатной прямой отмечена одна точка: 0.

г) $|x| = b$, где $b > 0$

Это обобщенный случай. Уравнение $|x| = b$ означает, что мы ищем все точки $x$, расстояние от которых до точки 0 равно $b$.

Поскольку по условию $b$ — положительное число ($b > 0$), то на координатной прямой существуют две точки, удаленные от нуля на расстояние $b$. Это точки с координатами $b$ и $-b$.

Решениями уравнения являются $x_1 = b$ и $x_2 = -b$.

Графическая модель на координатной прямой:

Ответ: На координатной прямой отмечены две точки: $-b$ и $b$.