Страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что называют корнем уравнения с одной переменной?

1.

Корнем уравнения с одной переменной (или, что то же самое, решением уравнения) называют такое значение этой переменной, при подстановке которого в исходное уравнение оно превращается в верное числовое равенство.

Другими словами, если у нас есть уравнение, содержащее переменную, например, $x$, то корень этого уравнения — это конкретное число, которое можно поставить на место $x$, чтобы левая и правая части уравнения стали равны друг другу.

Рассмотрим общий вид уравнения с одной переменной $x$:
$f(x) = g(x)$
Число $c$ является корнем этого уравнения, если при замене $x$ на $c$ мы получаем верное равенство: $f(c) = g(c)$.

Пример 1: Линейное уравнение
Возьмем уравнение: $2x + 5 = 11$.
Попробуем проверить, является ли число $3$ его корнем. Подставим $x = 3$ в уравнение:
$2 \cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11$.
В правой части уравнения у нас тоже стоит $11$. Мы получили верное числовое равенство: $11 = 11$. Следовательно, $x = 3$ является корнем данного уравнения.
Теперь проверим число $4$. Подставим $x = 4$:
$2 \cdot 4 + 5 = 8 + 5 = 13$.
Мы получили $13 = 11$, что является неверным равенством. Значит, $x = 4$ не является корнем этого уравнения.

Пример 2: Квадратное уравнение
Рассмотрим уравнение: $x^2 - 16 = 0$.
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

• Проверка для $x = 4$: $4^2 - 16 = 16 - 16 = 0$. Получилось верное равенство $0 = 0$.
• Проверка для $x = -4$: $(-4)^2 - 16 = 16 - 16 = 0$. Также получилось верное равенство $0 = 0$.

Оба числа, $4$ и $-4$, являются корнями этого уравнения.

Важно отметить, что уравнение может иметь один корень, несколько корней или не иметь корней совсем (в заданной области чисел). Например, уравнение $x + 1 = x + 2$ не имеет корней, так как ни при каком значении $x$ оно не станет верным равенством (упрощается до $1=2$).

Ответ: Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

2. Приведите пример уравнения, у которого нет корней.

Уравнение не имеет корней (решений), если в результате его преобразований получается неверное числовое равенство или если оно содержит математическое выражение, область значений которого несовместима с другой частью уравнения. Вот несколько развернутых примеров.

Пример 1: Алгебраическое уравнение, приводящее к противоречию
Рассмотрим уравнение $x + 5 = x + 3$. Если из обеих частей уравнения вычесть переменную $x$, то мы получим неверное числовое равенство $5 = 3$. Это означает, что исходное уравнение неверно при любом значении $x$, следовательно, оно не имеет корней. Другой вариант такого уравнения — $0 \cdot x = 10$, которое также не имеет решений, так как любое число при умножении на ноль дает ноль, а не 10.
Ответ: $x + 5 = x + 3$

Пример 2: Квадратное уравнение
Рассмотрим уравнение $x^2 + 4 = 0$. Если перенести 4 в правую часть уравнения, получим $x^2 = -4$. В множестве действительных чисел квадрат любого числа является неотрицательной величиной (то есть $x^2 \ge 0$). Не существует действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным.
Это также можно показать через дискриминант. Для уравнения $x^2 + 0x + 4 = 0$ ($a=1, b=0, c=4$) дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16$. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 4 = 0$

Пример 3: Уравнение с модулем (абсолютной величиной)
Рассмотрим уравнение $|x| = -2$. По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной: $|x| \ge 0$. Это расстояние от точки до нуля на числовой оси, и оно не может быть отрицательным. Следовательно, модуль не может быть равен отрицательному числу -2.
Ответ: $|x| = -2$

Пример 4: Уравнение с арифметическим квадратным корнем
Рассмотрим уравнение $\sqrt{x} = -1$. Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$). Следовательно, он не может быть равен отрицательному числу -1.
Ответ: $\sqrt{x} = -1$

Пример 5: Тригонометрическое уравнение
Рассмотрим уравнение $\cos(x) = 5$. Значения функций синуса и косинуса лежат в отрезке $[-1, 1]$, так как они определяются через координаты точек на единичной окружности. Это означает, что $-1 \le \cos(x) \le 1$ для любого действительного $x$. Число 5 не входит в этот отрезок, поэтому данное уравнение не имеет решений.
Ответ: $\cos(x) = 5$

3. Что такое линейное уравнение с одной переменной?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно представить в виде $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное, которое нужно найти), а $a$ и $b$ — некоторые известные числа, которые называются коэффициентами.

Решить линейное уравнение — значит найти все значения переменной $x$ (которые называются корнями уравнения), при подстановке которых в уравнение получается верное числовое равенство, либо установить, что таких значений нет.

Анализ решения уравнения вида $ax = b$:

• Если коэффициент $a \neq 0$, то уравнение всегда имеет один единственный корень, который находится по формуле $x = \frac{b}{a}$.
  Пример: В уравнении $3x = 12$, коэффициент $a=3$, $b=12$. Корень равен $x = \frac{12}{3} = 4$.
• Если коэффициент $a = 0$, а $b \neq 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство невозможно ни при каком значении $x$, так как умножение на ноль всегда дает в результате ноль. В этом случае говорят, что уравнение не имеет корней (решений).
  Пример: Уравнение $0x = 5$ не имеет корней.
• Если оба коэффициента равны нулю, т.е. $a = 0$ и $b = 0$, то уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным для абсолютно любого числа $x$. В этом случае говорят, что уравнение имеет бесконечно много корней (корнем является любое число).

Часто линейные уравнения задаются в более сложном виде, но с помощью тождественных преобразований (перенос слагаемых, раскрытие скобок, приведение подобных членов) их можно свести к стандартному виду $ax = b$.
Пример: Дано уравнение $5(x-2) = 2x - 1$.
Раскроем скобки: $5x - 10 = 2x - 1$.
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$5x - 2x = -1 + 10$.
Приведем подобные слагаемые: $3x = 9$.
Мы получили уравнение стандартного вида, где $a=3$, $b=9$. Корень уравнения: $x = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты).

4. Что означает фраза: «Решить линейное уравнение»?

Фраза «решить уравнение» в общем смысле означает найти множество всех его корней. Корнем уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Если таких значений не существует, то говорят, что множество корней пусто.

Соответственно, «решить линейное уравнение» — это найти все корни данного линейного уравнения или доказать, что их нет. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые известные числа (коэффициенты). Любое линейное уравнение с одной переменной можно свести к этому виду путем тождественных преобразований (раскрытие скобок, перенос слагаемых, приведение подобных членов), в результате чего оно примет вид $Ax = B$.

Дальнейший процесс решения сводится к анализу коэффициентов $A$ и $B$. Существует три возможных исхода:

Случай 1: Коэффициент $A \neq 0$. В этом случае уравнение имеет ровно один корень. Чтобы его найти, необходимо разделить обе части уравнения $Ax = B$ на коэффициент $A$. Корень вычисляется по формуле $x = \frac{B}{A}$. Это наиболее частый случай.

Случай 2: Коэффициент $A = 0$, а свободный член $B \neq 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = B$. Это равенство является ложным для любого значения $x$, поскольку произведение нуля на любое число равно нулю, а $B$ по условию не равно нулю. В таком случае говорят, что уравнение не имеет корней (или множество его решений пусто).

Случай 3: Коэффициент $A = 0$ и свободный член $B = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным для абсолютно любого значения $x$, так как оно превращается в тождество $0 = 0$. В этом случае решением уравнения является любое число, то есть уравнение имеет бесконечно много корней.

Таким образом, решить линейное уравнение — это выполнить все необходимые преобразования, привести его к виду $Ax = B$, проанализировать коэффициенты $A$ и $B$, чтобы определить, к какому из трех перечисленных случаев оно относится, и предоставить окончательный результат: либо единственный корень, либо указание на отсутствие корней, либо указание на то, что корнем является любое число.

Ответ: «Решить линейное уравнение» — это значит найти все его корни (все значения переменной, обращающие уравнение в верное равенство) или установить, что их не существует.

4.27 Цена $1 \text{ м}^3$ бруса на 400 р. меньше, чем цена $1 \text{ м}^3$ половой доски.

Для строительства купили $4 \text{ м}^3$ бруса и $5 \text{ м}^3$ половой доски. Сколько стоит $1 \text{ м}^3$ пиломатериалов каждого вида, если за половую доску заплатили на 7000 р. больше, чем за брус?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — цена 1 м³ бруса в рублях. Поскольку цена 1 м³ бруса на 400 р. меньше, чем цена 1 м³ половой доски, то цена 1 м³ половой доски будет равна $(x + 400)$ рублей.

Для строительства купили 4 м³ бруса, их стоимость составляет $4x$ рублей.

Также купили 5 м³ половой доски, их стоимость составляет $5(x + 400)$ рублей.

По условию задачи, за половую доску заплатили на 7000 р. больше, чем за брус. Составим уравнение, отражающее эту разницу:

$5(x + 400) - 4x = 7000$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$. Сначала раскроем скобки:

$5x + 2000 - 4x = 7000$

Приведем подобные слагаемые:

$x + 2000 = 7000$

Перенесем 2000 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = 7000 - 2000$

$x = 5000$

Таким образом, мы нашли цену 1 м³ бруса — она составляет 5000 рублей.

Теперь найдем цену 1 м³ половой доски:

$x + 400 = 5000 + 400 = 5400$

Цена 1 м³ половой доски составляет 5400 рублей.

Выполним проверку:

Стоимость бруса: $4 \text{ м³} \cdot 5000 \text{ р/м³} = 20000$ рублей.

Стоимость половой доски: $5 \text{ м³} \cdot 5400 \text{ р/м³} = 27000$ рублей.

Разница в стоимости: $27000 - 20000 = 7000$ рублей. Условие выполнено.

Ответ: цена 1 м³ бруса составляет 5000 рублей, а цена 1 м³ половой доски — 5400 рублей.

4.28 Новая копировальная машина за 1 мин копирует на 10 листов больше, чем старая машина. За 4 мин работы на ней сделали на 16 листов копий больше, чем на старой машине за 7 мин. Сколько листов копирует новая машина за 1 мин?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество листов, которое старая машина копирует за 1 минуту (ее производительность). Тогда производительность новой машины, которая копирует на 10 листов в минуту больше, будет равна $(x + 10)$ листов в минуту.

Теперь рассмотрим второе условие. За 4 минуты работы новая машина скопирует $4 \cdot (x + 10)$ листов. За 7 минут работы старая машина скопирует $7x$ листов.

По условию, новая машина за 4 минуты сделала на 16 листов копий больше, чем старая за 7 минут. На основе этого составим уравнение:

$4(x + 10) - 7x = 16$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$.

Раскроем скобки:

$4x + 40 - 7x = 16$

Приведем подобные слагаемые:

$40 - 3x = 16$

Перенесем 40 в правую часть уравнения:

$-3x = 16 - 40$

$-3x = -24$

Найдем $x$:

$x = \frac{-24}{-3}$

$x = 8$

Таким образом, производительность старой машины — 8 листов в минуту.

Вопрос задачи — сколько листов копирует новая машина за 1 минуту. Ее производительность равна $(x + 10)$. Подставим найденное значение $x$:

$8 + 10 = 18$

Следовательно, новая машина копирует 18 листов за 1 минуту.

Ответ: 18 листов.

4.29 Из пункта А выехал автобус. Через полчаса вслед за ним из пункта В, отстоящего от пункта А на 6 км, выехал автомобиль и через 45 мин догнал автобус. На каком расстоянии от пункта А автомобиль догнал автобус, если его скорость на 40 км/ч больше скорости автобуса? (Рассмотрите два случая.)

Для решения этой задачи введем переменные и рассмотрим два возможных случая расположения пункта В относительно пункта А.

Пусть $v_б$ — скорость автобуса в км/ч, тогда скорость автомобиля $v_а = v_б + 40$ км/ч.

Автобус выехал на 30 минут раньше автомобиля. Автомобиль догнал автобус через 45 минут после своего выезда.

Время движения автомобиля до встречи: $t_а = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}$.

Время движения автобуса до встречи: $t_б = 45 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 75 \text{ мин} = \frac{75}{60} \text{ ч} = 1.25 \text{ ч}$.

Пусть место встречи находится на расстоянии $S$ от пункта А. Тогда расстояние, которое проехал автобус, равно $S$.

$S = v_б \cdot t_б = v_б \cdot 1.25$

Расстояние, которое проехал автомобиль, зависит от расположения пункта В.

В условии сказано, что пункт B отстоит от пункта A на 6 км. Это может означать, что B находится либо впереди A по направлению движения, либо позади A.

В этом случае, чтобы догнать автобус, автомобиль должен проехать расстояние на 6 км больше, чем автобус. Примем координату пункта А за 0. Тогда координата пункта В равна 6.

К моменту встречи автобус проедет расстояние $S_б = v_б \cdot 1.25$.

Автомобиль, выехав из пункта В, проедет расстояние $S_а = v_а \cdot 0.75$.

В точке встречи их координаты будут равны:

$S_б = 6 + S_а$

Подставим выражения для расстояний и скоростей:

$v_б \cdot 1.25 = 6 + (v_б + 40) \cdot 0.75$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_б$:

$1.25 \cdot v_б = 6 + 0.75 \cdot v_б + 40 \cdot 0.75$

$1.25 \cdot v_б = 6 + 0.75 \cdot v_б + 30$

$1.25 \cdot v_б - 0.75 \cdot v_б = 36$

$0.5 \cdot v_б = 36$

$v_б = 72$ км/ч.

Теперь найдем расстояние от пункта А, на котором автомобиль догнал автобус. Это расстояние, которое проехал автобус за свое время движения:

$S = v_б \cdot t_б = 72 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 90$ км.

Проверка: Скорость автомобиля $v_а = 72 + 40 = 112$ км/ч. Расстояние, пройденное автомобилем от пункта B: $112 \cdot 0.75 = 84$ км. Расстояние от пункта А: $6 + 84 = 90$ км. Все верно.

Ответ: 90 км.

В этом случае автомобиль сначала проедет 6 км до пункта А, а затем поедет вслед за автобусом. Примем координату пункта А за 0. Тогда координата пункта В равна -6.

К моменту встречи автобус проедет расстояние $S_б = v_б \cdot 1.25$. Его координата будет $S_б$.

Автомобиль, выехав из пункта В, проедет расстояние $S_а = v_а \cdot 0.75$. Его координата в момент встречи будет $-6 + S_а$.

В точке встречи их координаты будут равны:

$S_б = -6 + S_а$

Подставим выражения для расстояний и скоростей:

$v_б \cdot 1.25 = -6 + (v_б + 40) \cdot 0.75$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $v_б$:

$1.25 \cdot v_б = -6 + 0.75 \cdot v_б + 40 \cdot 0.75$

$1.25 \cdot v_б = -6 + 0.75 \cdot v_б + 30$

$1.25 \cdot v_б - 0.75 \cdot v_б = 24$

$0.5 \cdot v_б = 24$

$v_б = 48$ км/ч.

Теперь найдем расстояние от пункта А, на котором автомобиль догнал автобус:

$S = v_б \cdot t_б = 48 \text{ км/ч} \cdot 1.25 \text{ ч} = 60$ км.

Проверка: Скорость автомобиля $v_а = 48 + 40 = 88$ км/ч. Расстояние, пройденное автомобилем от пункта B: $88 \cdot 0.75 = 66$ км. Расстояние от пункта А: $66 - 6 = 60$ км. Все верно.

Ответ: 60 км.

4.30 Катер за 2 ч по озеру и за 3 ч против течения реки проплывает такое же расстояние, что и за 3 ч 24 мин по течению реки. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Для решения задачи введем переменные:

Пусть $v_c$ км/ч — собственная скорость катера. Это значение нам необходимо найти.

Скорость течения реки по условию задачи составляет $v_т = 3$ км/ч.

Исходя из этого, определим скорости катера в различных условиях:

• Скорость катера по озеру (в стоячей воде) равна его собственной скорости: $v_c$ км/ч.
• Скорость катера против течения реки: $v_c - v_т = v_c - 3$ км/ч.
• Скорость катера по течению реки: $v_c + v_т = v_c + 3$ км/ч.

Теперь составим выражения для расстояний, пройденных катером.

1. Катер проплыл 2 часа по озеру и 3 часа против течения. Общее расстояние, пройденное в этом случае, равно сумме расстояний на каждом участке:

$S_1 = (2 \cdot v_c) + (3 \cdot (v_c - 3))$

2. Катер проплыл 3 часа 24 минуты по течению реки. Сначала переведем время в часы. В одном часе 60 минут, поэтому 24 минуты – это $\frac{24}{60} = \frac{2}{5} = 0.4$ часа. Таким образом, общее время движения составляет $3 + 0.4 = 3.4$ часа. Расстояние, пройденное в этом случае:

$S_2 = 3.4 \cdot (v_c + 3)$

По условию задачи, эти расстояния равны ($S_1 = S_2$). Составим и решим уравнение:

$2v_c + 3(v_c - 3) = 3.4(v_c + 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$2v_c + 3v_c - 9 = 3.4v_c + 3.4 \cdot 3$

$5v_c - 9 = 3.4v_c + 10.2$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $v_c$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$5v_c - 3.4v_c = 10.2 + 9$

$1.6v_c = 19.2$

Найдем $v_c$:

$v_c = \frac{19.2}{1.6} = \frac{192}{16}$

$v_c = 12$

Следовательно, собственная скорость катера равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

4.31 Велосипедист ехал от посёлка до станции сначала 30 мин по грунтовой дороге, а затем 40 мин по шоссе. С какой скоростью ехал велосипедист по шоссе, если она на 4 км/ч больше, чем скорость по грунтовой дороге, а расстояние от посёлка до станции 12 км?

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть $v_1$ — скорость велосипедиста по грунтовой дороге в км/ч. Согласно условию, скорость по шоссе на 4 км/ч больше, следовательно, скорость по шоссе $v_2 = v_1 + 4$ км/ч.

Для удобства расчетов переведем время движения из минут в часы, поскольку скорость измеряется в км/ч.

Время движения по грунтовой дороге: $t_1 = 30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч}$.

Время движения по шоссе: $t_2 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных на каждом из участков пути. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Расстояние, пройденное по грунтовой дороге: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{1}{2}$ км.

Расстояние, пройденное по шоссе: $S_2 = v_2 \cdot t_2 = (v_1 + 4) \cdot \frac{2}{3}$ км.

Общее расстояние от посёлка до станции равно 12 км. Составим и решим уравнение:

$S_1 + S_2 = 12$

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{2}{3}(v_1 + 4) = 12$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{2}{3}v_1 + \frac{2}{3} \cdot 4 = 12$

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{2}{3}v_1 + \frac{8}{3} = 12$

Сгруппируем слагаемые с переменной $v_1$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$(\frac{3}{6} + \frac{4}{6})v_1 = 12 - \frac{8}{3}$

$\frac{7}{6}v_1 = \frac{36}{3} - \frac{8}{3}$

$\frac{7}{6}v_1 = \frac{28}{3}$

Теперь найдем $v_1$:

$v_1 = \frac{28}{3} \div \frac{7}{6} = \frac{28}{3} \cdot \frac{6}{7}$

$v_1 = \frac{28 \cdot 6}{3 \cdot 7} = \frac{4 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 8$

Мы нашли скорость по грунтовой дороге, она равна 8 км/ч. В задаче требуется найти скорость по шоссе.

Скорость по шоссе: $v_2 = v_1 + 4 = 8 + 4 = 12$ км/ч.

Проверка:

Найдем расстояние, пройденное на каждом участке, и сложим их:

$S_1 = 8 \text{ км/ч} \cdot \frac{1}{2} \text{ ч} = 4 \text{ км}$.

$S_2 = 12 \text{ км/ч} \cdot \frac{2}{3} \text{ ч} = 8 \text{ км}$.

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 4 \text{ км} + 8 \text{ км} = 12 \text{ км}$.

Общее расстояние совпадает с условием задачи, значит, решение верное.

Ответ: 12 км/ч.

4.32 Сумма трёх чисел равна 496. Второе число составляет $\frac{8}{15}$ от первого, а первое число меньше третьего в $2 \frac{3}{5}$ раза. Найдите каждое из чисел.

Для решения задачи введем переменную. Пусть первое число равно $x$.

Согласно условию, второе число составляет $\frac{8}{15}$ от первого. Следовательно, второе число можно выразить как $\frac{8}{15}x$.

Также дано, что первое число меньше третьего в $2\frac{3}{5}$ раза. Это означает, что третье число в $2\frac{3}{5}$ раза больше первого. Представим смешанное число $2\frac{3}{5}$ в виде неправильной дроби:

$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$

Таким образом, третье число равно $\frac{13}{5}x$.

Сумма трех чисел равна 496. Мы можем составить уравнение, сложив выражения для всех трех чисел:

$x + \frac{8}{15}x + \frac{13}{5}x = 496$

Чтобы решить это уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 15 и 5 — это 15.

$\frac{15}{15}x + \frac{8}{15}x + \frac{13 \cdot 3}{5 \cdot 3}x = 496$

$\frac{15}{15}x + \frac{8}{15}x + \frac{39}{15}x = 496$

Теперь сложим коэффициенты при $x$:

$\frac{15 + 8 + 39}{15}x = 496$

$\frac{62}{15}x = 496$

Найдем $x$ (первое число), разделив обе части уравнения на $\frac{62}{15}$:

$x = 496 \div \frac{62}{15} = 496 \cdot \frac{15}{62}$

Сократим 496 и 62. Так как $496 \div 62 = 8$, получаем:

$x = 8 \cdot 15 = 120$

Итак, первое число равно 120.

Теперь, зная первое число, найдем остальные два.

Второе число: $\frac{8}{15} \cdot 120 = 8 \cdot (120 \div 15) = 8 \cdot 8 = 64$.

Третье число: $\frac{13}{5} \cdot 120 = 13 \cdot (120 \div 5) = 13 \cdot 24 = 312$.

Проверим правильность решения, сложив найденные числа: $120 + 64 + 312 = 184 + 312 = 496$. Сумма верна.

Ответ: первое число — 120, второе число — 64, третье число — 312.

4.33 Первое число в 2,5 раза больше второго. Если к первому числу прибавить 1,5, а ко второму 8,4, то получатся одинаковые результаты. Найдите эти числа.

Для решения задачи введем переменную. Пусть второе число равно $x$.

Согласно условию, первое число в 2,5 раза больше второго. Следовательно, первое число можно выразить как $2.5x$.

Далее в условии сказано, что если к первому числу прибавить 1,5, а ко второму числу прибавить 8,4, то результаты будут одинаковыми. На основе этого составим и решим уравнение:

$2.5x + 1.5 = x + 8.4$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$2.5x - x = 8.4 - 1.5$

Выполним вычитание в обеих частях уравнения:

$1.5x = 6.9$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на 1,5:

$x = \frac{6.9}{1.5}$

$x = 4.6$

Таким образом, мы нашли второе число. Оно равно 4,6.

Теперь найдем первое число, зная, что оно в 2,5 раза больше второго:

$2.5 \times 4.6 = 11.5$

Итак, первое число равно 11,5.

Проведем проверку. Первое условие: 11,5 должно быть в 2,5 раза больше 4,6. $4.6 \times 2.5 = 11.5$. Условие выполняется. Второе условие: $11.5 + 1.5$ должно быть равно $4.6 + 8.4$. $11.5 + 1.5 = 13$ $4.6 + 8.4 = 13$ $13 = 13$. Второе условие также выполняется.

Ответ: 11,5 и 4,6.

4.34 В магазин привезли яблоки и бананы. Когда продали половину всех яблок и $ \frac{2}{3} $ всех бананов, то яблок осталось на 70 кг больше, чем бананов. Сколько килограммов фруктов каждого вида привезли в магазин, если масса привезённых яблок превосходила массу бананов в 3 раза?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это первоначальная масса бананов, которую привезли в магазин. Так как, по условию, масса привезённых яблок превосходила массу бананов в 3 раза, то первоначальная масса яблок составляет $3x$ кг.

Определим массу фруктов, оставшихся после продажи.

Продали половину всех яблок, значит, осталась вторая половина. Масса оставшихся яблок: $3x \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}x$ кг.

Продали $\frac{2}{3}$ всех бананов, значит, осталась $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ часть от первоначальной массы. Масса оставшихся бананов: $x \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}x$ кг.

Известно, что яблок осталось на 70 кг больше, чем бананов. На основании этого можно составить уравнение, приравняв разность масс оставшихся фруктов к 70 кг:

$\frac{3}{2}x - \frac{1}{3}x = 70$

Теперь решим это уравнение. Для этого приведем дроби в левой части к общему знаменателю 6:

$\frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3}x - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2}x = 70$

$\frac{9}{6}x - \frac{2}{6}x = 70$

$\frac{7}{6}x = 70$

Найдем значение $x$, которое представляет собой первоначальную массу бананов:

$x = 70 \div \frac{7}{6} = 70 \cdot \frac{6}{7} = \frac{70 \cdot 6}{7} = 10 \cdot 6 = 60$

Таким образом, первоначальная масса бананов равна 60 кг.

Теперь найдем первоначальную массу яблок, которая в 3 раза больше массы бананов:

$3x = 3 \cdot 60 = 180$ кг.

Выполним проверку. Масса оставшихся яблок: $\frac{1}{2} \cdot 180 = 90$ кг. Масса оставшихся бананов: $\frac{1}{3} \cdot 60 = 20$ кг. Разница составляет $90 - 20 = 70$ кг, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: в магазин привезли 180 кг яблок и 60 кг бананов.

4.35 Туристы отправились в трёхдневный поход. В первый день они прошли $\frac{7}{22}$ всего пути, во второй — $\frac{1}{3}$ оставшегося пути, а в третий — последние 25 км. Найдите длину туристского маршрута.

Пусть $x$ км — это общая длина туристического маршрута.

В первый день туристы прошли $\frac{7}{22}$ всего пути.

Оставшаяся часть пути после первого дня равна $1 - \frac{7}{22} = \frac{22}{22} - \frac{7}{22} = \frac{15}{22}$ от всего маршрута.

Во второй день туристы прошли $\frac{1}{3}$ от оставшегося пути. Найдем, какую часть от всего маршрута они прошли во второй день:
$\frac{1}{3} \cdot \frac{15}{22} = \frac{1 \cdot 15}{3 \cdot 22} = \frac{5}{22}$.

Теперь определим, какая часть маршрута осталась на третий день. Для этого вычтем из всего маршрута (принятого за 1) части, пройденные в первый и второй дни:
$1 - \frac{7}{22} - \frac{5}{22} = 1 - (\frac{7}{22} + \frac{5}{22}) = 1 - \frac{12}{22} = 1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$.

Мы знаем, что эта оставшаяся часть маршрута составляет 25 км. Значит, $\frac{5}{11}$ от всего маршрута равны 25 км. Чтобы найти весь маршрут (целое по его части), нужно значение этой части разделить на дробь:
$25 \div \frac{5}{11} = 25 \cdot \frac{11}{5} = \frac{25 \cdot 11}{5} = 5 \cdot 11 = 55$ км.

Ответ: 55 км.