Номер 4, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

4. Что означает фраза: «Решить линейное уравнение»?

Фраза «решить уравнение» в общем смысле означает найти множество всех его корней. Корнем уравнения называется такое значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство. Если таких значений не существует, то говорят, что множество корней пусто.

Соответственно, «решить линейное уравнение» — это найти все корни данного линейного уравнения или доказать, что их нет. Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида $ax + b = 0$, где $x$ — переменная, а $a$ и $b$ — некоторые известные числа (коэффициенты). Любое линейное уравнение с одной переменной можно свести к этому виду путем тождественных преобразований (раскрытие скобок, перенос слагаемых, приведение подобных членов), в результате чего оно примет вид $Ax = B$.

Дальнейший процесс решения сводится к анализу коэффициентов $A$ и $B$. Существует три возможных исхода:

Случай 1: Коэффициент $A \neq 0$. В этом случае уравнение имеет ровно один корень. Чтобы его найти, необходимо разделить обе части уравнения $Ax = B$ на коэффициент $A$. Корень вычисляется по формуле $x = \frac{B}{A}$. Это наиболее частый случай.

Случай 2: Коэффициент $A = 0$, а свободный член $B \neq 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = B$. Это равенство является ложным для любого значения $x$, поскольку произведение нуля на любое число равно нулю, а $B$ по условию не равно нулю. В таком случае говорят, что уравнение не имеет корней (или множество его решений пусто).

Случай 3: Коэффициент $A = 0$ и свободный член $B = 0$. Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство является верным для абсолютно любого значения $x$, так как оно превращается в тождество $0 = 0$. В этом случае решением уравнения является любое число, то есть уравнение имеет бесконечно много корней.

Таким образом, решить линейное уравнение — это выполнить все необходимые преобразования, привести его к виду $Ax = B$, проанализировать коэффициенты $A$ и $B$, чтобы определить, к какому из трех перечисленных случаев оно относится, и предоставить окончательный результат: либо единственный корень, либо указание на отсутствие корней, либо указание на то, что корнем является любое число.

Ответ: «Решить линейное уравнение» — это значит найти все его корни (все значения переменной, обращающие уравнение в верное равенство) или установить, что их не существует.