Номер 1, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 3. Что такое математическая модель. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Часть 1 - номер 1, страница 20.

Условие.

1. Что такое математическая модель?

Решение 1.

Решение 8.

Математическая модель — это представление реального объекта, системы или процесса с помощью математических понятий и языка (формул, уравнений, функций, графов и т.д.). Она является упрощенной версией реальности, которая сохраняет только самые существенные, с точки зрения исследователя, свойства и связи. Главная цель создания математической модели — получить инструмент для анализа, прогнозирования поведения и управления изучаемым объектом или процессом.

Этапы математического моделирования

Процесс создания и использования математической модели обычно включает следующие шаги:

1. Постановка задачи. На этом этапе определяется реальная проблема, формулируется цель моделирования (например, предсказать траекторию, рассчитать прибыль, оптимизировать маршрут).
2. Формализация (построение модели). Это ключевой этап, который включает:
   • Выделение главных факторов, влияющих на процесс, и отбрасывание второстепенных (создание допущений и упрощений).
   • Введение переменных для описания характеристик системы и параметров, которые в рамках данной модели считаются постоянными.
   • Запись математических соотношений (уравнений, неравенств, функций), которые связывают эти переменные и параметры между собой.
3. Анализ модели (решение). На этом этапе проводятся математические вычисления: решаются полученные уравнения, находятся экстремумы функций, проводятся симуляции на компьютере.
4. Интерпретация и проверка адекватности. Полученные математические результаты переводятся обратно на язык той области, к которой относится исходная задача. Затем эти результаты сравниваются с реальными данными, полученными из наблюдений или экспериментов. Если модель хорошо описывает реальность, ее считают адекватной.
5. Модификация. Если проверка показала, что модель неадекватна, в нее вносят изменения: уточняют допущения, добавляют новые переменные или изменяют математические соотношения. После этого цикл повторяется.

Классификация математических моделей

Модели можно разделить на несколько типов по разным критериям:

• По характеру зависимостей:
  • Линейные: все зависимости описываются линейными уравнениями (например, $y = kx + b$).
  • Нелинейные: содержат хотя бы одну нелинейную зависимость (например, $y = ax^2 + bx + c$).
• По учету случайности:
  • Детерминированные: случайные факторы не учитываются, и при одних и тех же входных данных результат всегда одинаков.
  • Стохастические (вероятностные): учитывают случайные события и величины, результат представляет собой распределение вероятностей.
• По зависимости от времени:
  • Статические: описывают систему в состоянии равновесия, в один момент времени.
  • Динамические: описывают изменение системы во времени (часто с помощью дифференциальных уравнений).

Примеры математических моделей

1. Свободное падение тела.

Это классический пример из физики. Мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и считаем ускорение свободного падения $g$ постоянным. Тогда зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$ при нулевой начальной скорости описывается простой формулой: $S(t) = \frac{gt^2}{2}$. Это детерминированная, динамическая, нелинейная (относительно $t$) модель.

2. Рост популяции.

Простейшая модель экспоненциального роста популяции описывается уравнением $N(t) = N_0 e^{rt}$, где $N(t)$ — численность популяции в момент времени $t$, $N_0$ — начальная численность, а $r$ — коэффициент рождаемости. Более сложная и реалистичная логистическая модель учитывает ограниченность ресурсов: $\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K})$, где $K$ — максимальная емкость среды.

3. Расчет прибыли.

В экономике прибыль ($P$) можно смоделировать как разницу между общей выручкой ($R$) и общими издержками ($C$). Выручка — это цена ($p$) умноженная на количество проданного товара ($q$), то есть $R = p \cdot q$. Издержки состоят из постоянных ($F$) и переменных ($v \cdot q$), то есть $C = F + v \cdot q$. Итоговая модель прибыли: $P(q) = p \cdot q - (F + v \cdot q)$. Это статическая, детерминированная, линейная модель.

Ответ: Математическая модель — это формальное описание реальной системы или процесса с использованием математического языка (формул, уравнений, функций), созданное для их исследования, анализа, прогнозирования и управления. Модель всегда является упрощением реальности, в котором выделены только самые важные для решения конкретной задачи характеристики и связи.