Номер 2, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

2. Приведите пример уравнения, у которого нет корней.

Уравнение не имеет корней (решений), если в результате его преобразований получается неверное числовое равенство или если оно содержит математическое выражение, область значений которого несовместима с другой частью уравнения. Вот несколько развернутых примеров.

Пример 1: Алгебраическое уравнение, приводящее к противоречию
Рассмотрим уравнение $x + 5 = x + 3$. Если из обеих частей уравнения вычесть переменную $x$, то мы получим неверное числовое равенство $5 = 3$. Это означает, что исходное уравнение неверно при любом значении $x$, следовательно, оно не имеет корней. Другой вариант такого уравнения — $0 \cdot x = 10$, которое также не имеет решений, так как любое число при умножении на ноль дает ноль, а не 10.
Ответ: $x + 5 = x + 3$

Пример 2: Квадратное уравнение
Рассмотрим уравнение $x^2 + 4 = 0$. Если перенести 4 в правую часть уравнения, получим $x^2 = -4$. В множестве действительных чисел квадрат любого числа является неотрицательной величиной (то есть $x^2 \ge 0$). Не существует действительного числа, квадрат которого был бы отрицательным.
Это также можно показать через дискриминант. Для уравнения $x^2 + 0x + 4 = 0$ ($a=1, b=0, c=4$) дискриминант $D = b^2 - 4ac = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -16$. Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $x^2 + 4 = 0$

Пример 3: Уравнение с модулем (абсолютной величиной)
Рассмотрим уравнение $|x| = -2$. По определению, модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной: $|x| \ge 0$. Это расстояние от точки до нуля на числовой оси, и оно не может быть отрицательным. Следовательно, модуль не может быть равен отрицательному числу -2.
Ответ: $|x| = -2$

Пример 4: Уравнение с арифметическим квадратным корнем
Рассмотрим уравнение $\sqrt{x} = -1$. Арифметический квадратный корень по определению является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$). Следовательно, он не может быть равен отрицательному числу -1.
Ответ: $\sqrt{x} = -1$

Пример 5: Тригонометрическое уравнение
Рассмотрим уравнение $\cos(x) = 5$. Значения функций синуса и косинуса лежат в отрезке $[-1, 1]$, так как они определяются через координаты точек на единичной окружности. Это означает, что $-1 \le \cos(x) \le 1$ для любого действительного $x$. Число 5 не входит в этот отрезок, поэтому данное уравнение не имеет решений.
Ответ: $\cos(x) = 5$