Номер 2, страница 20, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 3. Что такое математическая модель. Глава 1. Математический язык. Математическая модель. Часть 1 - номер 2, страница 20.

Условие.

2. Какие виды математических моделей вы знаете? Приведите пример каждого вида математической модели.

Решение 1.

Решение 8.

Математические модели можно классифицировать по разным признакам. Один из основных способов классификации — по используемому математическому аппарату. Ниже приведены основные виды моделей с примерами.

Алгебраические модели

Эти модели описывают связь между величинами с помощью алгебраических уравнений, неравенств или их систем. Они являются одними из самых распространенных и применяются для описания статических состояний объектов или систем, где параметры не изменяются во времени.

Ответ: Примером может служить модель расчета стоимости покупки. Если цена яблок – $a$ рублей за килограмм, а цена груш – $b$ рублей за килограмм, то стоимость $S$ покупки, состоящей из $x$ кг яблок и $y$ кг груш, выражается линейным уравнением: $S = ax + by$.

Дифференциальные модели

Эти модели используются для описания процессов, изменяющихся во времени или пространстве. Они основаны на дифференциальных уравнениях, которые связывают функцию с ее производными, то есть описывают скорость изменения величин. Такие модели широко применяются в физике, химии, биологии и экономике для изучения динамики систем.

Ответ: Классическим примером является модель неограниченного роста популяции (закон Мальтуса). Скорость роста популяции $P$ в данный момент времени $t$ пропорциональна ее текущей численности. Математически это записывается как дифференциальное уравнение: $\frac{dP(t)}{dt} = k \cdot P(t)$, где $k$ – постоянный коэффициент рождаемости.

Стохастические (вероятностные) модели

Эти модели учитывают случайные факторы и события. Они описывают системы, поведение которых нельзя предсказать однозначно, а можно лишь говорить о вероятности того или иного состояния или исхода. Они строятся на аппарате теории вероятностей и математической статистики.

Ответ: Примером является модель бросания правильной игральной кости. Результат броска – это случайная величина $X$, которая может принимать целочисленные значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность выпадения любого числа $i$ из этого множества одинакова и равна: $P(X=i) = \frac{1}{6}$.

Логические модели

Эти модели строятся на основе аппарата математической логики. Они описывают объекты и процессы, для которых важны логические связи, условия и правила вывода. В них используются переменные, которые могут принимать значения "истина" (true) или "ложь" (false), а также логические операции (И, ИЛИ, НЕ, импликация).

Ответ: Примером является модель работы логического элемента "И" (AND) в процессоре компьютера. Если на два входа подаются логические сигналы $A$ и $B$, то на выходе $Y$ будет сигнал "истина" (1) тогда и только тогда, когда на оба входа подан сигнал "истина". Логическая формула этой модели: $Y = A \land B$.

Геометрические модели

Эти модели используют понятия и объекты геометрии для описания форм, размеров и взаимного расположения объектов в пространстве. Они позволяют наглядно представить и анализировать пространственные характеристики реальных систем. Применяются в архитектуре, дизайне, картографии, компьютерной графике.

Ответ: Примером может служить архитектурный чертеж здания. Он является двумерной геометрической моделью (проекцией) реального трехмерного объекта, отображающей расположение стен, окон и дверей с соблюдением пропорций и масштаба. Другой пример – глобус как сферическая модель планеты Земля.

Имитационные модели

Это модели, которые воспроизводят (имитируют) поведение сложной системы во времени с помощью компьютерной программы. В отличие от аналитических моделей, которые дают точное решение в виде формулы, имитационные модели позволяют наблюдать за поведением системы в ходе "проигрывания" различных сценариев. Они незаменимы, когда система слишком сложна для аналитического описания.

Ответ: Примером может служить модель системы массового обслуживания, например, очереди в кассы супермаркета. Компьютерная программа-симулятор моделирует случайное прибытие покупателей, время обслуживания на кассе, количество работающих касс. Целью такого моделирования может быть определение оптимального числа кассиров для минимизации времени ожидания покупателей и затрат магазина.