Страница 20, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что такое математическая модель?

Математическая модель — это представление реального объекта, системы или процесса с помощью математических понятий и языка (формул, уравнений, функций, графов и т.д.). Она является упрощенной версией реальности, которая сохраняет только самые существенные, с точки зрения исследователя, свойства и связи. Главная цель создания математической модели — получить инструмент для анализа, прогнозирования поведения и управления изучаемым объектом или процессом.

Этапы математического моделирования

Процесс создания и использования математической модели обычно включает следующие шаги:

1. Постановка задачи. На этом этапе определяется реальная проблема, формулируется цель моделирования (например, предсказать траекторию, рассчитать прибыль, оптимизировать маршрут).
2. Формализация (построение модели). Это ключевой этап, который включает:
   • Выделение главных факторов, влияющих на процесс, и отбрасывание второстепенных (создание допущений и упрощений).
   • Введение переменных для описания характеристик системы и параметров, которые в рамках данной модели считаются постоянными.
   • Запись математических соотношений (уравнений, неравенств, функций), которые связывают эти переменные и параметры между собой.
3. Анализ модели (решение). На этом этапе проводятся математические вычисления: решаются полученные уравнения, находятся экстремумы функций, проводятся симуляции на компьютере.
4. Интерпретация и проверка адекватности. Полученные математические результаты переводятся обратно на язык той области, к которой относится исходная задача. Затем эти результаты сравниваются с реальными данными, полученными из наблюдений или экспериментов. Если модель хорошо описывает реальность, ее считают адекватной.
5. Модификация. Если проверка показала, что модель неадекватна, в нее вносят изменения: уточняют допущения, добавляют новые переменные или изменяют математические соотношения. После этого цикл повторяется.

Классификация математических моделей

Модели можно разделить на несколько типов по разным критериям:

• По характеру зависимостей:
  • Линейные: все зависимости описываются линейными уравнениями (например, $y = kx + b$).
  • Нелинейные: содержат хотя бы одну нелинейную зависимость (например, $y = ax^2 + bx + c$).
• По учету случайности:
  • Детерминированные: случайные факторы не учитываются, и при одних и тех же входных данных результат всегда одинаков.
  • Стохастические (вероятностные): учитывают случайные события и величины, результат представляет собой распределение вероятностей.
• По зависимости от времени:
  • Статические: описывают систему в состоянии равновесия, в один момент времени.
  • Динамические: описывают изменение системы во времени (часто с помощью дифференциальных уравнений).

Примеры математических моделей

1. Свободное падение тела.

Это классический пример из физики. Мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и считаем ускорение свободного падения $g$ постоянным. Тогда зависимость пройденного пути $S$ от времени $t$ при нулевой начальной скорости описывается простой формулой: $S(t) = \frac{gt^2}{2}$. Это детерминированная, динамическая, нелинейная (относительно $t$) модель.

2. Рост популяции.

Простейшая модель экспоненциального роста популяции описывается уравнением $N(t) = N_0 e^{rt}$, где $N(t)$ — численность популяции в момент времени $t$, $N_0$ — начальная численность, а $r$ — коэффициент рождаемости. Более сложная и реалистичная логистическая модель учитывает ограниченность ресурсов: $\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K})$, где $K$ — максимальная емкость среды.

3. Расчет прибыли.

В экономике прибыль ($P$) можно смоделировать как разницу между общей выручкой ($R$) и общими издержками ($C$). Выручка — это цена ($p$) умноженная на количество проданного товара ($q$), то есть $R = p \cdot q$. Издержки состоят из постоянных ($F$) и переменных ($v \cdot q$), то есть $C = F + v \cdot q$. Итоговая модель прибыли: $P(q) = p \cdot q - (F + v \cdot q)$. Это статическая, детерминированная, линейная модель.

Ответ: Математическая модель — это формальное описание реальной системы или процесса с использованием математического языка (формул, уравнений, функций), созданное для их исследования, анализа, прогнозирования и управления. Модель всегда является упрощением реальности, в котором выделены только самые важные для решения конкретной задачи характеристики и связи.

2. Какие виды математических моделей вы знаете? Приведите пример каждого вида математической модели.

Математические модели можно классифицировать по разным признакам. Один из основных способов классификации — по используемому математическому аппарату. Ниже приведены основные виды моделей с примерами.

Алгебраические модели

Эти модели описывают связь между величинами с помощью алгебраических уравнений, неравенств или их систем. Они являются одними из самых распространенных и применяются для описания статических состояний объектов или систем, где параметры не изменяются во времени.

Ответ: Примером может служить модель расчета стоимости покупки. Если цена яблок – $a$ рублей за килограмм, а цена груш – $b$ рублей за килограмм, то стоимость $S$ покупки, состоящей из $x$ кг яблок и $y$ кг груш, выражается линейным уравнением: $S = ax + by$.

Дифференциальные модели

Эти модели используются для описания процессов, изменяющихся во времени или пространстве. Они основаны на дифференциальных уравнениях, которые связывают функцию с ее производными, то есть описывают скорость изменения величин. Такие модели широко применяются в физике, химии, биологии и экономике для изучения динамики систем.

Ответ: Классическим примером является модель неограниченного роста популяции (закон Мальтуса). Скорость роста популяции $P$ в данный момент времени $t$ пропорциональна ее текущей численности. Математически это записывается как дифференциальное уравнение: $\frac{dP(t)}{dt} = k \cdot P(t)$, где $k$ – постоянный коэффициент рождаемости.

Стохастические (вероятностные) модели

Эти модели учитывают случайные факторы и события. Они описывают системы, поведение которых нельзя предсказать однозначно, а можно лишь говорить о вероятности того или иного состояния или исхода. Они строятся на аппарате теории вероятностей и математической статистики.

Ответ: Примером является модель бросания правильной игральной кости. Результат броска – это случайная величина $X$, которая может принимать целочисленные значения из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Вероятность выпадения любого числа $i$ из этого множества одинакова и равна: $P(X=i) = \frac{1}{6}$.

Логические модели

Эти модели строятся на основе аппарата математической логики. Они описывают объекты и процессы, для которых важны логические связи, условия и правила вывода. В них используются переменные, которые могут принимать значения "истина" (true) или "ложь" (false), а также логические операции (И, ИЛИ, НЕ, импликация).

Ответ: Примером является модель работы логического элемента "И" (AND) в процессоре компьютера. Если на два входа подаются логические сигналы $A$ и $B$, то на выходе $Y$ будет сигнал "истина" (1) тогда и только тогда, когда на оба входа подан сигнал "истина". Логическая формула этой модели: $Y = A \land B$.

Геометрические модели

Эти модели используют понятия и объекты геометрии для описания форм, размеров и взаимного расположения объектов в пространстве. Они позволяют наглядно представить и анализировать пространственные характеристики реальных систем. Применяются в архитектуре, дизайне, картографии, компьютерной графике.

Ответ: Примером может служить архитектурный чертеж здания. Он является двумерной геометрической моделью (проекцией) реального трехмерного объекта, отображающей расположение стен, окон и дверей с соблюдением пропорций и масштаба. Другой пример – глобус как сферическая модель планеты Земля.

Имитационные модели

Это модели, которые воспроизводят (имитируют) поведение сложной системы во времени с помощью компьютерной программы. В отличие от аналитических моделей, которые дают точное решение в виде формулы, имитационные модели позволяют наблюдать за поведением системы в ходе "проигрывания" различных сценариев. Они незаменимы, когда система слишком сложна для аналитического описания.

Ответ: Примером может служить модель системы массового обслуживания, например, очереди в кассы супермаркета. Компьютерная программа-симулятор моделирует случайное прибытие покупателей, время обслуживания на кассе, количество работающих касс. Целью такого моделирования может быть определение оптимального числа кассиров для минимизации времени ожидания покупателей и затрат магазина.

3. Назовите три этапа математического моделирования.

Математическое моделирование — это процесс изучения реальных систем, явлений или процессов путем их описания на языке математики и дальнейшего анализа. Этот процесс принято делить на три основных, циклически связанных этапа.

1. Построение математической модели
На этом этапе реальная ситуация или проблема переводится на язык математики. Сначала выделяются главные, определяющие факторы и отбрасываются второстепенные (идеализация). Затем выделенные связи и закономерности описываются с помощью математических понятий и соотношений — уравнений, неравенств, функций, систем и т.д. (формализация). Например, при моделировании движения планеты вокруг Солнца мы можем пренебречь влиянием других планет и описать движение с помощью закона всемирного тяготения $F = G\frac{m_1 m_2}{r^2}$. Ответ:

2. Исследование модели
Это чисто математический этап, на котором проводится работа с созданной моделью. Цель — получить решение поставленной математической задачи. Для этого могут применяться различные методы: аналитические (нахождение точного решения в виде формул), численные (получение приближенного решения с помощью вычислительных алгоритмов) или имитационное моделирование (воспроизведение процесса на компьютере). В результате получают математический вывод, например, траекторию движения, оптимальное значение параметра или прогноз развития системы. Ответ:

3. Интерпретация результатов и проверка адекватности
На заключительном этапе математические выводы, полученные на втором шаге, переводятся обратно на язык исходной предметной области. Проводится анализ и осмысление этих результатов. Самое важное — это проверка адекватности модели, то есть сравнение полученных из модели данных с реальными экспериментальными данными. Если результаты модели хорошо согласуются с реальностью, модель считается адекватной и может использоваться для практических целей. Если же есть существенные расхождения, модель требует доработки, и происходит возврат к первому этапу для ее уточнения. Ответ:

4. На каком из этапов математического моделирования при решении текстовой задачи нам не нужно знать объекты условия задачи?

Процесс решения текстовой задачи методом математического моделирования состоит из трёх последовательных этапов. Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо рассмотреть каждый из них.

1. Построение (составление) математической модели

На этом начальном этапе происходит формализация задачи. Мы анализируем текст, выделяем основные объекты (например, автомобили, бассейны, рабочие), величины, которые их характеризуют (скорость, объем, производительность), и связи между ними. Затем мы переводим эти связи на математический язык: вводим переменные, составляем уравнения, неравенства или их системы. Например, если в задаче говорится о движении двух автомобилей навстречу друг другу, мы должны понимать, что такое «автомобиль», «скорость», «расстояние» и как они связаны, чтобы составить уравнение вида $(v_1 + v_2) \cdot t = S$. На этом этапе знание и понимание объектов условия задачи абсолютно необходимо.

2. Работа с математической моделью

На втором этапе мы решаем полученную математическую задачу (уравнение, систему и т.д.), используя исключительно математические методы и правила. Мы полностью отвлекаемся от исходного смысла переменных и объектов. Например, решая уравнение $5x + 10 = 110$, мы выполняем стандартные алгебраические преобразования: $5x = 110 - 10$, $5x = 100$, $x = 20$. В этот момент нам совершенно не важно, что означает переменная $x$ — количество деталей, скорость пешехода или цена товара. Работа ведется с абстрактными числами и символами. Именно на этом этапе нам не нужно знать объекты условия задачи.

3. Интерпретация результата

На заключительном этапе мы возвращаемся к исходной текстовой задаче. Мы берем полученный математический результат (например, $x = 20$) и придаем ему смысл в контексте условия. Мы вспоминаем, что именно обозначала переменная $x$. Если $x$ — это искомое расстояние в километрах, то ответом будет «20 км». Если $x$ — это время в минутах, то «20 минут». Здесь же мы проверяем адекватность ответа: например, скорость не может быть отрицательной, а количество людей — дробным. Таким образом, на этом этапе знание объектов условия снова является ключевым.

Ответ: Нам не нужно знать объекты условия задачи на втором этапе математического моделирования — этапе работы с составленной математической моделью (то есть, в процессе решения уравнений, неравенств или их систем).

Решите задачу, выделяя три этапа математического моделирования:

3.33 В одном доме на 86 квартир больше, чем в другом. Сколько квартир в каждом доме, если в двух домах 792 квартиры?

I этап. Составление математической модели

Пусть $x$ — это количество квартир в доме, где их меньше. Согласно условию задачи, в другом доме на 86 квартир больше, следовательно, в нем $(x + 86)$ квартир. Общее количество квартир в двух домах равно 792. Исходя из этих данных, мы можем составить уравнение, которое является математической моделью данной задачи.
Ответ: $x + (x + 86) = 792$.

II этап. Работа с составленной моделью

Теперь решим составленное уравнение, чтобы найти значение неизвестной переменной $x$.
$x + x + 86 = 792$
$2x + 86 = 792$
Перенесем известное слагаемое в правую часть уравнения:
$2x = 792 - 86$
$2x = 706$
Теперь разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{706}{2}$
$x = 353$
Ответ: корень уравнения равен 353.

III этап. Ответ на вопрос задачи

На предыдущем этапе мы нашли значение $x = 353$. Это количество квартир в доме с меньшим числом квартир. Теперь найдем количество квартир во втором доме, зная, что их на 86 больше:
$353 + 86 = 439$ (квартир).
Таким образом, в одном доме 353 квартиры, а в другом 439 квартир.
Проверим наше решение: $353 + 439 = 792$ (общее количество квартир), $439 - 353 = 86$ (разница в количестве квартир). Все условия задачи выполнены.
Ответ: в одном доме 353 квартиры, в другом — 439 квартир.

3.34 В двух залах кинотеатра 460 мест. Сколько мест в большом зале, если в нём в 3 раза больше мест, чем в малом?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод. Давайте обозначим количество мест в малом зале через переменную.

Пусть $x$ — количество мест в малом зале.

По условию, в большом зале в 3 раза больше мест, чем в малом. Значит, количество мест в большом зале равно $3 \times x$ или $3x$.

Суммарное количество мест в двух залах составляет 460. Мы можем составить уравнение, сложив количество мест в обоих залах:

$x + 3x = 460$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала сложим слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения:

$4x = 460$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{460}{4}$

$x = 115$

Мы нашли, что в малом зале 115 мест.

Вопрос задачи — найти количество мест в большом зале. Мы знаем, что их в 3 раза больше, чем в малом:

$3 \times 115 = 345$

Таким образом, в большом зале 345 мест.

Для проверки можно сложить количество мест в обоих залах: $115 + 345 = 460$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 345

3.35 В жилом доме всего 215 квартир. Сколько из них однокомнатных, если известно, что трёхкомнатных квартир на 10 меньше, чем двухкомнатных, и на 5 больше, чем однокомнатных?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество трехкомнатных квартир. Тогда, исходя из условий задачи, мы можем выразить количество однокомнатных и двухкомнатных квартир через $x$.

1. В условии сказано, что трехкомнатных квартир ($x$) на 5 больше, чем однокомнатных. Следовательно, количество однокомнатных квартир на 5 меньше, чем трехкомнатных, и равно $x - 5$.

2. Также известно, что трехкомнатных квартир ($x$) на 10 меньше, чем двухкомнатных. Это означает, что количество двухкомнатных квартир на 10 больше, чем трехкомнатных, и равно $x + 10$.

Теперь у нас есть выражения для каждого типа квартир через одну переменную $x$:

- Однокомнатные: $x - 5$
- Двухкомнатные: $x + 10$
- Трехкомнатные: $x$

Общее количество квартир в доме — 215. Составим уравнение, сложив количество квартир всех типов:

$(x - 5) + (x + 10) + x = 215$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

1. Раскроем скобки и сгруппируем подобные слагаемые:

$x - 5 + x + 10 + x = 215$

$(x + x + x) + (10 - 5) = 215$

$3x + 5 = 215$

2. Перенесем 5 в правую часть уравнения:

$3x = 215 - 5$

$3x = 210$

3. Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 3:

$x = \frac{210}{3}$

$x = 70$

Мы нашли, что количество трехкомнатных квартир равно 70. Задача спрашивает, сколько в доме однокомнатных квартир. Мы выразили их количество как $x - 5$.

Количество однокомнатных квартир = $70 - 5 = 65$.

Проверим полученные данные:
- Однокомнатных квартир: 65.
- Трехкомнатных квартир: 70 (на 5 больше, чем однокомнатных, $65+5=70$ — верно).
- Двухкомнатных квартир: 80 (на 10 больше, чем трехкомнатных, $70+10=80$ — верно).
- Всего квартир: $65 + 80 + 70 = 215$ (верно).

Ответ: 65.

3.36 На двух книжных полках всего 48 книг. Сколько книг на первой полке, если известно, что их в 2 раза больше, чем на второй?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг на второй полке.

Согласно условию, на первой полке книг в 2 раза больше, чем на второй. Следовательно, количество книг на первой полке можно выразить как $2x$.

Общее количество книг на двух полках равно 48. Мы можем составить уравнение, сложив количество книг на обеих полках:
$x + 2x = 48$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала сложим подобные члены в левой части:
$3x = 48$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{48}{3}$
$x = 16$

Таким образом, мы нашли, что на второй полке находится 16 книг.

Вопрос задачи — сколько книг на первой полке. Для этого умножим количество книг на второй полке на 2:
$2 \times 16 = 32$

Проверим наше решение: на первой полке 32 книги, на второй 16. Сумма книг $32 + 16 = 48$. Количество книг на первой полке в два раза больше, чем на второй: $32 = 2 \times 16$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 32

3.37 За два дня мастер и ученик изготовили 312 деталей. Сколько деталей изготовлял каждый из них за один день, если известно, что мастер производит за день в 3 раза больше деталей, чем ученик?

Для решения этой задачи составим уравнение. Пусть $x$ — это количество деталей, которое изготавливает ученик за один день.

По условию, мастер производит за день в 3 раза больше деталей. Значит, количество деталей, которое изготавливает мастер за один день, равно $3x$.

Вместе за один день мастер и ученик изготавливают: $x + 3x = 4x$ деталей.

За два дня они вместе изготовили 312 деталей. Их совместная производительность за два дня составляет: $2 \times (4x) = 8x$ деталей.

Теперь мы можем составить и решить уравнение, приравняв их общую выработку за два дня к известному количеству деталей:

$8x = 312$

Найдем $x$, разделив общее количество деталей на 8:

$x = 312 \div 8$

$x = 39$

Таким образом, мы нашли, что ученик изготавливает 39 деталей за один день.

Теперь найдем, сколько деталей в день изготавливает мастер. Его производительность равна $3x$:

$3 \times 39 = 117$

Следовательно, мастер изготавливает 117 деталей за один день.

Проверка:

За один день вместе они изготавливают $39 + 117 = 156$ деталей.

За два дня они изготовят $156 \times 2 = 312$ деталей. Это соответствует условию задачи.

Ответ: ученик изготавливал 39 деталей в день, а мастер — 117 деталей в день.

3.38 На двух станках изготовлено 346 деталей, причём на первом изготовили на 10 деталей меньше, чем на втором. Сколько деталей изготовили на каждом станке?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество деталей, изготовленных на втором станке.

По условию, на первом станке изготовили на 10 деталей меньше, чем на втором. Это означает, что на первом станке изготовили $(x - 10)$ деталей.

Общее количество деталей, изготовленных на обоих станках, равно 346. Мы можем составить уравнение, сложив количество деталей, произведенных на каждом станке:

$x + (x - 10) = 346$

Теперь решим полученное уравнение. Сначала упростим левую часть:

$2x - 10 = 346$

Далее, перенесем -10 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$2x = 346 + 10$

$2x = 356$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{356}{2}$

$x = 178$

Таким образом, мы выяснили, что на втором станке было изготовлено 178 деталей.

Теперь найдем, сколько деталей изготовили на первом станке, вычтя 10 из количества деталей второго станка:

$178 - 10 = 168$ деталей.

Для проверки сложим количество деталей с обоих станков: $168 + 178 = 346$, что соответствует условию задачи.

Ответ: на первом станке изготовили 168 деталей, на втором станке — 178 деталей.

3.39 С двух участков собрано 39,6 т зерна. Сколько тонн зерна собрали с каждого участка, если со второго участка собрали в 1,2 раза больше, чем с первого?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ тонн — это количество зерна, которое собрали с первого участка.

По условию, со второго участка собрали в 1,2 раза больше зерна, чем с первого. Значит, со второго участка собрали $1.2 \times x$ или $1.2x$ тонн зерна.

Суммарное количество зерна с двух участков равно 39,6 тонны. Мы можем составить уравнение, сложив количество зерна, собранное с первого и второго участков:

$x + 1.2x = 39.6$

Теперь решим полученное уравнение:

1. Сложим коэффициенты при переменной $x$:

$2.2x = 39.6$

2. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на 2,2:

$x = \frac{39.6}{2.2}$

Чтобы упростить деление, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{396}{22}$

$x = 18$

Следовательно, с первого участка собрали 18 тонн зерна.

Теперь найдем, сколько зерна собрали со второго участка. Для этого умножим количество зерна с первого участка на 1,2:

$1.2 \times 18 = 21.6$

Таким образом, со второго участка собрали 21,6 тонны зерна.

Проверим, правильно ли мы решили задачу, сложив количество зерна с обоих участков:

$18 + 21.6 = 39.6$

Сумма совпадает с общим количеством зерна, указанным в условии.

Ответ: с первого участка собрали 18 тонн зерна, со второго участка — 21,6 тонны зерна.

3.40 Маме и дочке вместе 35 лет. Сколько лет дочке, если она на 25 лет моложе мамы?

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический метод, составив уравнение.

Пусть $x$ — это возраст дочки.
Согласно условию, дочка на 25 лет моложе мамы. Это значит, что мама на 25 лет старше дочки, и ее возраст можно выразить как $(x + 25)$ лет.

Сумма их возрастов составляет 35 лет. Составим и решим уравнение, чтобы найти возраст дочки:

$x + (x + 25) = 35$

Сначала раскроем скобки:

$x + x + 25 = 35$

Теперь сложим одинаковые переменные:

$2x + 25 = 35$

Перенесем число 25 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 35 - 25$

$2x = 10$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{10}{2}$

$x = 5$

Таким образом, возраст дочки составляет 5 лет.

Проверка:
Возраст дочки — 5 лет.
Возраст мамы — $5 + 25 = 30$ лет.
Суммарный возраст — $5 + 30 = 35$ лет.
Все условия задачи выполнены, решение верное.

Ответ: дочке 5 лет.

Опишите предложенную ситуацию на математическом языке:

3.41

a) Сумма чисел a и b в 7 раз больше их произведения; $
(a+b) = 7ab$

б) число x при делении на число y даёт в частном 3 и в остатке 1; $
x = 3y + 1$

в) разность чисел c и d в 3 раза меньше их частного; $
(c-d) = \frac{c}{3d}$

г) число a при делении на число b даёт в частном 12 и в остатке 5. $
a = 12b + 5$

а) Сумма чисел $a$ и $b$ записывается как $a+b$. Их произведение — как $ab$. Утверждение, что сумма в 7 раз больше произведения, на математическом языке означает, что сумма равна произведению, умноженному на 7. Это приводит к следующему равенству.
Ответ: $a+b = 7ab$

б) Деление с остатком описывается общей формулой: Делимое = (Делитель $\cdot$ Частное) + Остаток. В данной ситуации число $x$ является делимым, число $y$ — делителем, частное равно 3, а остаток равен 1. Подставляя эти значения в формулу, получаем искомое математическое выражение. По определению, делитель должен быть больше остатка, то есть $y>1$.
Ответ: $x = 3y + 1$

в) Разность чисел $c$ и $d$ — это $c-d$. Частное от деления $c$ на $d$ — это $\frac{c}{d}$. Условие "разность в 3 раза меньше частного" означает, что частное в 3 раза больше разности. Чтобы уравнять эти две величины, нужно умножить разность на 3. Важным условием является то, что делитель не может быть равен нулю, то есть $d \neq 0$.
Ответ: $3(c-d) = \frac{c}{d}$

г) Эта ситуация также описывается формулой деления с остатком: Делимое = (Делитель $\cdot$ Частное) + Остаток. Здесь делимое — это $a$, делитель — $b$, частное — 12, а остаток — 5. Записываем это в виде равенства. По определению, остаток (5) должен быть меньше делителя ($b$), то есть $b>5$.
Ответ: $a = 12b + 5$