Страница 22, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

4.1 a) $3x = 6$;

б) $\frac{1}{3}x = -5$;

в) $-2x = 12$;

г) $\frac{3}{7}x = 9$.

а) Дано линейное уравнение $3x = 6$.

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (правую часть уравнения, равную 6) разделить на известный множитель (коэффициент при $x$, равный 3).

$x = \frac{6}{3}$

$x = 2$

Проверка: $3 \times 2 = 6$. Равенство верно.

Ответ: 2

б) Дано уравнение $\frac{1}{3}x = -5$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на дробь $\frac{1}{3}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь, то есть на 3.

$x = -5 \div \frac{1}{3}$

$x = -5 \times 3$

$x = -15$

Проверка: $\frac{1}{3} \times (-15) = -\frac{15}{3} = -5$. Равенство верно.

Ответ: -15

в) Дано уравнение $-2x = 12$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на известный множитель, стоящий при $x$, то есть на -2.

$x = \frac{12}{-2}$

$x = -6$

Проверка: $-2 \times (-6) = 12$. Равенство верно.

Ответ: -6

г) Дано уравнение $\frac{3}{7}x = 9$.

Чтобы найти $x$, нужно произведение (9) разделить на известный множитель (коэффициент $\frac{3}{7}$). Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю (то есть на $\frac{7}{3}$).

$x = 9 \div \frac{3}{7}$

$x = 9 \times \frac{7}{3}$

Сократим 9 и 3 на 3:

$x = \frac{9 \cdot 7}{3} = 3 \times 7$

$x = 21$

Проверка: $\frac{3}{7} \times 21 = \frac{3 \times 21}{7} = 3 \times 3 = 9$. Равенство верно.

Ответ: 21

4.2 а) $4x + 20 = 0$;

В) $5x - 15 = 0$;

б) $\frac{3}{2}x - 6 = 0$;

Г) $\frac{2}{5}x + 4 = 0$.

а) $4x + 20 = 0$

Это линейное уравнение. Чтобы найти $x$, необходимо изолировать переменную. Для этого перенесем свободный член (число 20) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный.

$4x = -20$

Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4.

$x = \frac{-20}{4}$

$x = -5$

Ответ: -5

б) $\frac{3}{2}x - 6 = 0$

Это линейное уравнение с дробным коэффициентом. Сначала перенесем свободный член (-6) в правую часть уравнения, поменяв знак.

$\frac{3}{2}x = 6$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $x$. Коэффициент равен $\frac{3}{2}$, обратное ему число — $\frac{2}{3}$.

$x = 6 \cdot \frac{2}{3}$

$x = \frac{12}{3}$

$x = 4$

Ответ: 4

в) $5x - 15 = 0$

Это линейное уравнение. Перенесем свободный член (-15) в правую часть уравнения, изменив его знак.

$5x = 15$

Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5.

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

Ответ: 3

г) $\frac{2}{5}x + 4 = 0$

Это линейное уравнение. Перенесем свободный член (4) в правую часть уравнения со сменой знака.

$\frac{2}{5}x = -4$

Теперь умножим обе части уравнения на число, обратное коэффициенту при $x$. Коэффициент равен $\frac{2}{5}$, обратное ему число — $\frac{5}{2}$.

$x = -4 \cdot \frac{5}{2}$

$x = -\frac{20}{2}$

$x = -10$

Ответ: -10

4.3 а) $7x + 9 = 100;$

б) $26x - 0.8 = 7;$

в) $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{6};$

г) $17.5x - 0.5 = 34.5.$

а) Дано уравнение $7x + 9 = 100$.
Это линейное уравнение относительно переменной $x$. Для его решения необходимо изолировать $x$.
1. Перенесем число 9 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:
$7x = 100 - 9$
$7x = 91$
2. Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 7:
$x = \frac{91}{7}$
$x = 13$
Проверка: $7 \cdot 13 + 9 = 91 + 9 = 100$. Решение верное.
Ответ: 13

б) Дано уравнение $26x - 0,8 = 7$.
1. Перенесем число -0,8 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$26x = 7 + 0,8$
$26x = 7,8$
2. Разделим обе части уравнения на 26:
$x = \frac{7,8}{26}$
Для удобства вычислений можно умножить числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x = \frac{7,8 \cdot 10}{26 \cdot 10} = \frac{78}{260}$
Сократим дробь. $78 = 3 \cdot 26$.
$x = \frac{3 \cdot 26}{10 \cdot 26} = \frac{3}{10}$
$x = 0,3$
Проверка: $26 \cdot 0,3 - 0,8 = 7,8 - 0,8 = 7$. Решение верное.
Ответ: 0,3

в) Дано уравнение $\frac{1}{2}x - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.
1. Чтобы избавиться от дробей, умножим все члены уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3 и 6), которое равно 6:
$6 \cdot (\frac{1}{2}x) - 6 \cdot (\frac{1}{3}) = 6 \cdot (\frac{1}{6})$
$\frac{6}{2}x - \frac{6}{3} = \frac{6}{6}$
$3x - 2 = 1$
2. Теперь решим полученное простое линейное уравнение. Перенесем -2 в правую часть:
$3x = 1 + 2$
$3x = 3$
3. Разделим обе части на 3:
$x = \frac{3}{3}$
$x = 1$
Проверка: $\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$. Решение верное.
Ответ: 1

г) Дано уравнение $17,5x - 0,5 = 34,5$.
1. Перенесем -0,5 в правую часть уравнения, изменив знак:
$17,5x = 34,5 + 0,5$
$17,5x = 35$
2. Разделим обе части уравнения на 17,5:
$x = \frac{35}{17,5}$
Так как $17,5 \cdot 2 = 35$, то:
$x = 2$
Проверка: $17,5 \cdot 2 - 0,5 = 35 - 0,5 = 34,5$. Решение верное.
Ответ: 2

4.4 a) $9 + 13x = 35 + 26x;$

б) $\frac{7}{9}x + 3 = \frac{2}{3}x + 5;$

в) $0.81x - 71 = 1.11x + 1;$

г) $\frac{1}{3}y - 4 = \frac{1}{4}y - 5.$

а) $9 + 13x = 35 + 26x$

Для решения этого линейного уравнения перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $13x$ в правую часть, а $35$ — в левую.

$9 - 35 = 26x - 13x$

Выполним вычитание в обеих частях уравнения:

$-26 = 13x$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $13$:

$x = \frac{-26}{13}$

$x = -2$

Ответ: $x = -2$

б) $\frac{7}{9}x + 3 = \frac{2}{3}x + 5$

Сначала перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$\frac{7}{9}x - \frac{2}{3}x = 5 - 3$

Приведем дроби с $x$ к общему знаменателю. Общий знаменатель для $9$ и $3$ — это $9$.

$\frac{2}{3}x = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3}x = \frac{6}{9}x$

Подставим это в уравнение:

$\frac{7}{9}x - \frac{6}{9}x = 2$

Выполним вычитание в левой части:

$(\frac{7}{9} - \frac{6}{9})x = 2$

$\frac{1}{9}x = 2$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $9$:

$x = 2 \cdot 9$

$x = 18$

Ответ: $x = 18$

в) $0,81x - 71 = 1,11x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$-71 - 1 = 1,11x - 0,81x$

Упростим обе части уравнения:

$-72 = (1,11 - 0,81)x$

$-72 = 0,3x$

Теперь найдем $x$, разделив $-72$ на $0,3$:

$x = \frac{-72}{0,3}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $10$:

$x = \frac{-720}{3}$

$x = -240$

Ответ: $x = -240$

г) $\frac{1}{3}y - 4 = \frac{1}{4}y - 5$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а константы — в правую:

$\frac{1}{3}y - \frac{1}{4}y = -5 + 4$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Общий знаменатель для $3$ и $4$ — это $12$.

$\frac{4}{12}y - \frac{3}{12}y = -1$

Выполним вычитание в левой части и упростим правую часть:

$(\frac{4}{12} - \frac{3}{12})y = -1$

$\frac{1}{12}y = -1$

Чтобы найти $y$, умножим обе части уравнения на $12$:

$y = -1 \cdot 12$

$y = -12$

Ответ: $y = -12$

4.5 а) $11x - 4x = 14;$

б) $20x - 13x - 12x = 6;$

в) $9x + 4x = -26;$

г) $11x + 7x - 24x = 42.$

а) $11x - 4x = 14$
Чтобы решить это уравнение, необходимо сначала упростить левую часть, приведя подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, в данном случае это $11x$ и $-4x$.
$ (11 - 4)x = 14 $
$ 7x = 14 $
Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (14) разделить на известный множитель (7).
$ x = \frac{14}{7} $
$ x = 2 $
Проверим полученный корень, подставив его в исходное уравнение:
$11 \cdot 2 - 4 \cdot 2 = 22 - 8 = 14$.
$14 = 14$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: 2

б) $20x - 13x - 12x = 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$ (20 - 13 - 12)x = 6 $
Выполним вычитание в скобках: $20 - 13 = 7$, затем $7 - 12 = -5$.
$ -5x = 6 $
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -5.
$ x = \frac{6}{-5} $
$ x = -1.2 $
Проверка:
$20 \cdot (-1.2) - 13 \cdot (-1.2) - 12 \cdot (-1.2) = -24 - (-15.6) - (-14.4) = -24 + 15.6 + 14.4 = -24 + 30 = 6$.
$6 = 6$. Равенство верное.
Ответ: -1.2

в) $9x + 4x = -26$
Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения.
$ (9 + 4)x = -26 $
$ 13x = -26 $
Разделим обе части уравнения на 13, чтобы найти $x$.
$ x = \frac{-26}{13} $
$ x = -2 $
Проверка:
$9 \cdot (-2) + 4 \cdot (-2) = -18 - 8 = -26$.
$-26 = -26$. Равенство верное.
Ответ: -2

г) $11x + 7x - 24x = 42$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения.
$ (11 + 7 - 24)x = 42 $
Выполним действия в скобках: $11 + 7 = 18$, затем $18 - 24 = -6$.
$ -6x = 42 $
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -6.
$ x = \frac{42}{-6} $
$ x = -7 $
Проверка:
$11 \cdot (-7) + 7 \cdot (-7) - 24 \cdot (-7) = -77 - 49 - (-168) = -126 + 168 = 42$.
$42 = 42$. Равенство верное.
Ответ: -7

4.6 а) $\frac{5}{9}x - \frac{7}{4}x + \frac{17}{18}x = -\frac{1}{4}$;

б) $\frac{1}{6}x - 0.82 = \frac{3}{8}x - 1.37$;

в) $\frac{1}{9}x + \frac{7}{18}x - \frac{11}{27}x = 2\frac{1}{2}$;

г) $0.07 - 3\frac{1}{9}x = 0.26 - x$.

а) $\frac{5}{9}x - \frac{7}{4}x + \frac{17}{18}x = -\frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения сначала объединим все слагаемые, содержащие переменную $x$. Для этого необходимо привести дроби-коэффициенты к общему знаменателю.

Находим наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9, 4 и 18. НОК(9, 4, 18) = 36.

Приводим каждую дробь к знаменателю 36:

$\frac{5}{9}x = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4}x = \frac{20}{36}x$

$\frac{7}{4}x = \frac{7 \cdot 9}{4 \cdot 9}x = \frac{63}{36}x$

$\frac{17}{18}x = \frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2}x = \frac{34}{36}x$

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение:

$\frac{20}{36}x - \frac{63}{36}x + \frac{34}{36}x = -\frac{1}{4}$

Вынесем $x$ за скобки и выполним сложение и вычитание дробей:

$(\frac{20 - 63 + 34}{36})x = -\frac{1}{4}$

$\frac{-9}{36}x = -\frac{1}{4}$

Сократим дробь $\frac{-9}{36}$ на 9:

$-\frac{1}{4}x = -\frac{1}{4}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $-\frac{1}{4}$:

$x = (-\frac{1}{4}) \div (-\frac{1}{4})$

$x = 1$

Ответ: 1

б) $\frac{1}{6}x - 0,82 = \frac{3}{8}x - 1,37$

Сначала сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $\frac{3}{8}x$ влево, а -0,82 вправо, изменив их знаки:

$\frac{1}{6}x - \frac{3}{8}x = -1,37 + 0,82$

Теперь выполним вычисления в обеих частях уравнения. В левой части приведем дроби к общему знаменателю. НОК(6, 8) = 24.

$(\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3})x = -0,55$

$(\frac{4}{24} - \frac{9}{24})x = -0,55$

$-\frac{5}{24}x = -0,55$

Представим десятичную дробь -0,55 в виде обыкновенной дроби:

$-0,55 = -\frac{55}{100} = -\frac{11}{20}$

Уравнение принимает вид:

$-\frac{5}{24}x = -\frac{11}{20}$

Найдем $x$, разделив правую часть на коэффициент при $x$:

$x = (-\frac{11}{20}) \div (-\frac{5}{24})$

$x = \frac{11}{20} \cdot \frac{24}{5}$

$x = \frac{11 \cdot 24}{20 \cdot 5} = \frac{11 \cdot (4 \cdot 6)}{(4 \cdot 5) \cdot 5} = \frac{11 \cdot 6}{5 \cdot 5} = \frac{66}{25}$

Переведем результат в десятичную дробь:

$x = \frac{66}{25} = \frac{66 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{264}{100} = 2,64$

Ответ: 2,64

в) $\frac{1}{9}x + \frac{7}{18}x - \frac{11}{27}x = 2\frac{1}{2}$

Объединим слагаемые с $x$ в левой части. Для этого найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{9}$, $\frac{7}{18}$ и $\frac{11}{27}$. НОК(9, 18, 27) = 54.

Приведем коэффициенты к знаменателю 54:

$(\frac{1 \cdot 6}{9 \cdot 6} + \frac{7 \cdot 3}{18 \cdot 3} - \frac{11 \cdot 2}{27 \cdot 2})x = 2\frac{1}{2}$

$(\frac{6}{54} + \frac{21}{54} - \frac{22}{54})x = 2\frac{1}{2}$

Вычислим коэффициент при $x$:

$\frac{6 + 21 - 22}{54}x = \frac{5}{54}x$

Переведем смешанное число в правой части в неправильную дробь:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Уравнение принимает вид:

$\frac{5}{54}x = \frac{5}{2}$

Чтобы найти $x$, разделим правую часть на коэффициент при $x$:

$x = \frac{5}{2} \div \frac{5}{54}$

$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{54}{5}$

$x = \frac{5 \cdot 54}{2 \cdot 5} = \frac{54}{2} = 27$

Ответ: 27

г) $0,07 - 3\frac{1}{9}x = 0,26 - x$

Для удобства вычислений преобразуем все десятичные и смешанные дроби в обыкновенные дроби.

$0,07 = \frac{7}{100}$

$3\frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{28}{9}$

$0,26 = \frac{26}{100} = \frac{13}{50}$

Уравнение примет вид:

$\frac{7}{100} - \frac{28}{9}x = \frac{13}{50} - x$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а числовые слагаемые — в правой:

$-\frac{28}{9}x + x = \frac{13}{50} - \frac{7}{100}$

Вычислим левую часть. $x$ можно представить как $\frac{9}{9}x$:

$(-\frac{28}{9} + \frac{9}{9})x = \frac{-28 + 9}{9}x = -\frac{19}{9}x$

Вычислим правую часть. Общий знаменатель для 50 и 100 равен 100:

$\frac{13 \cdot 2}{50 \cdot 2} - \frac{7}{100} = \frac{26}{100} - \frac{7}{100} = \frac{19}{100}$

Получаем уравнение:

$-\frac{19}{9}x = \frac{19}{100}$

Найдем $x$:

$x = \frac{19}{100} \div (-\frac{19}{9})$

$x = \frac{19}{100} \cdot (-\frac{9}{19})$

$x = -\frac{19 \cdot 9}{100 \cdot 19} = -\frac{9}{100}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = -0,09$

Ответ: -0,09

4.7 а) $4(x + 3) = 5(x - 2)$;

б) $-2(x - 5) + 3(x - 4) = 4x + 1$;

в) $3(x - 1) = 2(x + 2)$;

г) $3(x - 5) - 2(x + 4) = -5x + 1$.

а) $4(x + 3) = 5(x - 2)$

Первым шагом раскроем скобки в обеих частях уравнения, умножив число перед скобкой на каждый член внутри скобки:
$4 \cdot x + 4 \cdot 3 = 5 \cdot x - 5 \cdot 2$
$4x + 12 = 5x - 10$

Далее, сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесем $4x$ в правую часть, а $-10$ — в левую, изменив их знаки на противоположные:
$12 + 10 = 5x - 4x$

Приведем подобные слагаемые:
$22 = x$

Ответ: $x = 22$.

б) $-2(x - 5) + 3(x - 4) = 4x + 1$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения:
$(-2) \cdot x + (-2) \cdot (-5) + 3 \cdot x + 3 \cdot (-4) = 4x + 1$
$-2x + 10 + 3x - 12 = 4x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(-2x + 3x) + (10 - 12) = 4x + 1$
$x - 2 = 4x + 1$

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$-2 - 1 = 4x - x$
$-3 = 3x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{-3}{3}$
$x = -1$

Ответ: $x = -1$.

в) $3(x - 1) = 2(x + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$3 \cdot x - 3 \cdot 1 = 2 \cdot x + 2 \cdot 2$
$3x - 3 = 2x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$3x - 2x = 4 + 3$

Приведем подобные слагаемые:
$x = 7$

Ответ: $x = 7$.

г) $3(x - 5) - 2(x + 4) = -5x + 1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$3 \cdot x - 3 \cdot 5 - 2 \cdot x - 2 \cdot 4 = -5x + 1$
$3x - 15 - 2x - 8 = -5x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3x - 2x) + (-15 - 8) = -5x + 1$
$x - 23 = -5x + 1$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$x + 5x = 1 + 23$
$6x = 24$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 6:
$x = \frac{24}{6}$
$x = 4$

Ответ: $x = 4$.

4.8 Решите уравнение:

a) $\frac{x+4}{5}=1;$

б) $\frac{2x-3}{3}=-5;$

в) $\frac{x-7}{3}=-2;$

г) $\frac{3x+1}{2}=8.$

а) $\frac{x + 4}{5} = 1$

Для решения данного уравнения необходимо избавиться от знаменателя. Для этого умножим обе части уравнения на 5:

$5 \cdot \frac{x + 4}{5} = 1 \cdot 5$

$x + 4 = 5$

Теперь перенесем число 4 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный:

$x = 5 - 4$

$x = 1$

Ответ: $1$

б) $\frac{2x - 3}{3} = -5$

Умножим обе части уравнения на знаменатель 3:

$3 \cdot \frac{2x - 3}{3} = -5 \cdot 3$

$2x - 3 = -15$

Перенесем число -3 из левой части в правую с противоположным знаком:

$2x = -15 + 3$

$2x = -12$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:

$x = \frac{-12}{2}$

$x = -6$

Ответ: $-6$

в) $\frac{x - 7}{3} = -2$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3 \cdot \frac{x - 7}{3} = -2 \cdot 3$

$x - 7 = -6$

Перенесем -7 из левой части в правую, поменяв знак:

$x = -6 + 7$

$x = 1$

Ответ: $1$

г) $\frac{3x + 1}{2} = 8$

Умножим обе части уравнения на знаменатель 2:

$2 \cdot \frac{3x + 1}{2} = 8 \cdot 2$

$3x + 1 = 16$

Перенесем 1 из левой части в правую с противоположным знаком:

$3x = 16 - 1$

$3x = 15$

Разделим обе части на 3, чтобы найти значение $x$:

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Ответ: $5$