Страница 18, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

3.22 Для засахаривания смородины взяли ягоды и сахар в отношении $2 : 3$ по массе. Принимая за $x$ кг массу одной части, запишите:

а) чему равна масса ягод;

б) чему равна масса сахара;

в) сколько всего килограммов засахаренной смородины получится;

г) на сколько килограммов больше требуется сахара, чем смородины.

а) чему равна масса ягод;

По условию задачи, отношение массы ягод к массе сахара составляет 2:3. Это значит, что на каждые 2 части ягод приходится 3 части сахара. Если принять массу одной части за $x$ кг, то масса ягод, составляющая 2 части, будет равна: $2 \times x = 2x$ (кг).

Ответ: $2x$ кг.

б) чему равна масса сахара;

Масса сахара, согласно отношению, составляет 3 части. Умножив количество частей на массу одной части ($x$ кг), получим массу сахара: $3 \times x = 3x$ (кг).

Ответ: $3x$ кг.

в) сколько всего килограммов засахаренной смородины получится;

Масса засахаренной смородины — это сумма массы ягод и массы сахара. Общая масса = (масса ягод) + (масса сахара). Подставим выражения, полученные в пунктах а) и б): $2x + 3x = 5x$ (кг).

Ответ: $5x$ кг.

г) на сколько килограммов больше требуется сахара, чем смородины.

Чтобы найти, на сколько масса сахара больше массы ягод, нужно из массы сахара вычесть массу ягод. Разница масс = (масса сахара) - (масса ягод). $3x - 2x = x$ (кг).

Ответ: на $x$ кг.

3.23 Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист со скоростью $v_1$ км/ч и мотоциклист со скоростью $v_2$ км/ч и встретились через $t$ ч.

а) Чему равна скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста?

б) Чему равно расстояние от $A$ до $B$?

в) Сколько километров до встречи проехал каждый участник движения?

г) На сколько километров больше проехал до встречи мотоциклист, чем велосипедист?

а) Чему равна скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста?
Скорость сближения — это скорость, с которой уменьшается расстояние между объектами, движущимися навстречу друг другу. Она вычисляется как сумма их индивидуальных скоростей. Если скорость велосипедиста равна $v_1$ км/ч, а скорость мотоциклиста — $v_2$ км/ч, то их скорость сближения $v_{сбл}$ будет:
$v_{сбл} = v_1 + v_2$
Ответ: Скорость сближения велосипедиста и мотоциклиста равна $(v_1 + v_2)$ км/ч.

б) Чему равно расстояние от А до В?
Расстояние между пунктами А и В — это то общее расстояние, которое велосипедист и мотоциклист проехали вместе до момента встречи. Чтобы найти это расстояние, нужно их общую скорость (скорость сближения) умножить на время, которое они были в пути до встречи.
Скорость сближения: $v_{сбл} = v_1 + v_2$
Время в пути до встречи: $t$
Расстояние от А до В ($S_{АВ}$) равно:
$S_{АВ} = v_{сбл} \cdot t = (v_1 + v_2)t$
Ответ: Расстояние от А до В равно $(v_1 + v_2)t$ км.

в) Сколько километров до встречи проехал каждый участник движения?
Чтобы определить расстояние, пройденное каждым участником, необходимо его личную скорость умножить на время движения до встречи. Время движения для обоих одинаково и составляет $t$ часов.
Расстояние, которое проехал велосипедист ($S_1$):
$S_1 = v_1 \cdot t$
Расстояние, которое проехал мотоциклист ($S_2$):
$S_2 = v_2 \cdot t$
Ответ: Велосипедист до встречи проехал $v_1 t$ км, а мотоциклист — $v_2 t$ км.

г) На сколько километров больше проехал до встречи мотоциклист, чем велосипедист?
Чтобы найти разницу в пройденном расстоянии, нужно вычесть из большего расстояния (пройденного мотоциклистом) меньшее (пройденное велосипедистом).
Расстояние, пройденное мотоциклистом: $S_2 = v_2 t$
Расстояние, пройденное велосипедистом: $S_1 = v_1 t$
Разница расстояний ($\Delta S$) вычисляется как:
$\Delta S = S_2 - S_1 = v_2 t - v_1 t$
Вынося общий множитель $t$ за скобки, получаем:
$\Delta S = (v_2 - v_1)t$
Ответ: Мотоциклист проехал до встречи на $(v_2 - v_1)t$ км больше, чем велосипедист.

3.24 Из пункта А одновременно в противоположных направлениях выехали автомобиль со скоростью $v_1$ км/ч и автобус со скоростью $v_2$ км/ч.

а) Чему равна скорость удаления автомобиля от автобуса?

б) Какое расстояние будет между ними через $t$ ч?

в) На каком расстоянии от пункта А окажется каждый участник движения?

г) На сколько дальше от пункта А будет автомобиль, чем автобус?

Для решения задачи введем обозначения:

• $v_1$ — скорость автомобиля в км/ч.
• $v_2$ — скорость автобуса в км/ч.
• $t$ — время движения в часах.

а) Чему равна скорость удаления автомобиля от автобуса?

Когда два объекта движутся из одной точки в противоположных направлениях, их скорость удаления друг от друга равна сумме их скоростей. За каждый час автомобиль проезжает $v_1$ км в одном направлении, а автобус — $v_2$ км в противоположном. Таким образом, общее расстояние между ними за один час увеличивается на $v_1 + v_2$ км.
Скорость удаления ($v_{уд}$) вычисляется по формуле:
$v_{уд} = v_1 + v_2$
Ответ: Скорость удаления автомобиля от автобуса равна $(v_1 + v_2)$ км/ч.

б) Какое расстояние будет между ними через t ч?

Расстояние — это произведение скорости на время. Чтобы найти расстояние между автомобилем и автобусом через время $t$, нужно их скорость удаления умножить на это время.
Расстояние $S$ можно найти по формуле:
$S = v_{уд} \cdot t$
Подставив выражение для скорости удаления из пункта а), получим:
$S = (v_1 + v_2) \cdot t$
Другой способ: расстояние между ними равно сумме расстояний, которое проехал каждый из них от точки А, так как они движутся в разные стороны.
$S = S_{автомобиля} + S_{автобуса} = (v_1 \cdot t) + (v_2 \cdot t) = (v_1 + v_2)t$
Ответ: Через $t$ ч расстояние между ними будет $(v_1 + v_2)t$ км.

в) На каком расстоянии от пункта А окажется каждый участник движения?

Расстояние, пройденное каждым участником движения от точки А, вычисляется как произведение его скорости на время движения $t$.
Расстояние, на котором окажется автомобиль от пункта А ($S_1$):
$S_1 = v_1 \cdot t$
Расстояние, на котором окажется автобус от пункта А ($S_2$):
$S_2 = v_2 \cdot t$
Ответ: Автомобиль окажется на расстоянии $v_1 t$ км от пункта А, а автобус — на расстоянии $v_2 t$ км от пункта А.

г) На сколько дальше от пункта А будет автомобиль, чем автобус?

Чтобы найти, на сколько километров автомобиль будет дальше от пункта А, чем автобус, необходимо найти разность расстояний, которые они проехали от пункта А (рассчитанных в пункте в).
Пусть эта разность будет $\Delta S$.
$\Delta S = S_1 - S_2$
Подставим формулы для $S_1$ и $S_2$:
$\Delta S = v_1 t - v_2 t = (v_1 - v_2)t$
Эта формула показывает, на сколько дальше будет автомобиль, если его скорость $v_1$ больше скорости автобуса $v_2$.
Ответ: Автомобиль будет дальше от пункта А, чем автобус, на $(v_1 - v_2)t$ км.

3.25 Из пункта А одновременно в одном направлении выехали легковой и грузовой автомобили, скорости которых $x$ км/ч и $y$ км/ч соответственно.

а) Чему равна скорость удаления легкового автомобиля от грузового?

б) Какое расстояние будет между ними через $t$ ч?

а) Скорость удаления — это скорость, с которой увеличивается расстояние между двумя движущимися объектами. Когда объекты движутся в одном направлении из одной точки, скорость удаления равна разности их скоростей. По условию, скорость легкового автомобиля составляет $x$ км/ч, а грузового — $y$ км/ч. Поскольку легковой автомобиль удаляется от грузового, это означает, что его скорость больше ($x > y$). Следовательно, скорость удаления легкового автомобиля от грузового равна разности их скоростей.
Ответ: $x - y$ км/ч.

б) Чтобы найти расстояние, которое будет между автомобилями через некоторое время, нужно скорость их удаления умножить на это время. Время движения по условию составляет $t$ часов, а скорость удаления, как мы определили в пункте а), равна $x - y$ км/ч. Таким образом, расстояние $S$ между автомобилями через $t$ часов вычисляется по формуле:
$S = \text{скорость удаления} \times \text{время} = (x - y)t$.
Ответ: $(x - y)t$ км.

3.26 Из пункта А выехал велосипедист. Одновременно с ним из пункта В, отстоящего от пункта А на 30 км по ходу движения велосипедиста, в том же направлении вышел пешеход со скоростью $x$ км/ч. Известно, что велосипедист догнал пешехода через $t$ ч.

a) Какой путь прошёл за это время пешеход?

б) Какой путь проехал за это время велосипедист?

в) Чему равна скорость велосипедиста?

г) На сколько километров велосипедист удалится от пешехода через 15 мин после обгона?

а) Какой путь прошёл за это время пешеход?

Чтобы найти путь, пройденный пешеходом, нужно умножить его скорость на время движения. По условию задачи, скорость пешехода равна $x$ км/ч, а время движения до момента, когда его догнал велосипедист, составляет $t$ ч.
Формула для расчета пути: $S = v \cdot t$.
Таким образом, путь, пройденный пешеходом, равен:
$S_{пеш} = x \cdot t$ (км).

Ответ: $xt$ км.

б) Какой путь проехал за это время велосипедист?

Велосипедист выехал из пункта А, а пешеход одновременно с ним из пункта В, который находился на 30 км дальше по ходу движения. К моменту встречи велосипедист проехал всё расстояние от пункта А до пункта В, а также то расстояние, которое успел пройти пешеход от пункта В до места встречи.
Расстояние от А до В равно 30 км.
Путь, пройденный пешеходом, как мы выяснили в пункте а), равен $xt$ км.
Следовательно, общий путь велосипедиста $S_{вел}$ равен сумме этих двух расстояний:
$S_{вел} = 30 + xt$ (км).

Ответ: $30 + xt$ км.

в) Чему равна скорость велосипедиста?

Скорость объекта можно найти, разделив пройденный им путь на время, затраченное на этот путь. Мы знаем, что велосипедист проехал путь $S_{вел} = 30 + xt$ км за время $t$ ч.
Формула скорости: $v = \frac{S}{t}$.
Подставим значения для велосипедиста:
$v_{вел} = \frac{30 + xt}{t}$.
Это выражение можно упростить, разделив каждый член числителя на знаменатель:
$v_{вел} = \frac{30}{t} + \frac{xt}{t} = \frac{30}{t} + x$ (км/ч).

Ответ: $\frac{30}{t} + x$ км/ч.

г) На сколько километров велосипедист удалится от пешехода через 15 мин после обгона?

После обгона велосипедист и пешеход продолжают двигаться в том же направлении, и расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна разности их скоростей.
Скорость велосипедиста: $v_{вел} = \frac{30}{t} + x$ км/ч.
Скорость пешехода: $v_{пеш} = x$ км/ч.
Скорость удаления: $v_{уд} = v_{вел} - v_{пеш} = (\frac{30}{t} + x) - x = \frac{30}{t}$ км/ч.
Теперь найдем расстояние, на которое велосипедист удалится от пешехода за 15 минут. Сначала переведем 15 минут в часы:
$15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.
Чтобы найти искомое расстояние, умножим скорость удаления на это время:
$\Delta S = v_{уд} \cdot \Delta t = \frac{30}{t} \cdot \frac{1}{4} = \frac{30}{4t} = \frac{7.5}{t}$ (км).

Ответ: на $\frac{7.5}{t}$ км.