Страница 12, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2.2 a) Полусумму чисел z и x; $(z+x)/2$

б) полуразность чисел p и q; $(p-q)/2$

в) квадрат числа x; $x^2$

г) куб числа y. $y^3$

а) Полусумму чисел z и x;
Полусумма двух чисел — это результат деления их суммы на 2. Сначала находим сумму чисел $z$ и $x$, которая записывается как $z + x$. Затем, чтобы найти полусумму, делим полученное выражение на 2. В результате получаем алгебраическое выражение: $\frac{z + x}{2}$.
Ответ: $\frac{z + x}{2}$

б) полуразность чисел p и q;
Полуразность двух чисел — это результат деления их разности на 2. Сначала находим разность чисел $p$ и $q$, которая записывается как $p - q$. Затем, чтобы найти полуразность, делим полученное выражение на 2. В результате получаем алгебраическое выражение: $\frac{p - q}{2}$.
Ответ: $\frac{p - q}{2}$

в) квадрат числа x;
Квадрат числа — это результат возведения этого числа во вторую степень. Для числа $x$ его квадрат записывается как $x$ с показателем степени 2. Таким образом, искомое алгебраическое выражение: $x^2$.
Ответ: $x^2$

г) куб числа y.
Куб числа — это результат возведения этого числа в третью степень. Для числа $y$ его куб записывается как $y$ с показателем степени 3. Таким образом, искомое алгебраическое выражение: $y^3$.
Ответ: $y^3$

2.3 а) Сумму числа $x$ и произведения чисел $a$ и $b$; $x + ab$

б) разность числа $y$ и частного от деления числа $a$ на число $b$; $y - \frac{a}{b}$

в) произведение числа $a$ и суммы чисел $b$ и $c$; $a(b+c)$

г) частное от деления числа $z$ на разность чисел $x$ и $y$. $\frac{z}{x-y}$

а) Чтобы записать выражение, соответствующее "сумме числа x и произведения чисел a и b", сначала нужно найти произведение чисел a и b. Это произведение записывается как $a \cdot b$ или просто $ab$. Затем к этому произведению следует прибавить число x. В результате получаем алгебраическое выражение, представляющее собой сумму.

Ответ: $x + ab$

б) Чтобы записать выражение, соответствующее "разности числа y и частного от деления числа a на число b", сначала найдем частное от деления числа a на число b. Это частное записывается в виде дроби $\frac{a}{b}$. Затем из числа y нужно вычесть полученное частное. Таким образом, мы составляем разность, где y является уменьшаемым, а частное $\frac{a}{b}$ — вычитаемым.

Ответ: $y - \frac{a}{b}$

в) Чтобы записать выражение, соответствующее "произведению числа a и суммы чисел b и c", сначала найдем сумму чисел b и c. Эта сумма записывается как $b + c$. Поскольку число a умножается на всю сумму, а не на одно из слагаемых, сумму необходимо заключить в скобки. Итоговое выражение будет произведением числа a на выражение $(b + c)$.

Ответ: $a(b+c)$

г) Чтобы записать выражение, соответствующее "частному от деления числа z на разность чисел x и y", сначала найдем разность чисел x и y, которая записывается как $x - y$. Затем число z (делимое) нужно разделить на полученную разность (делитель). Это действие удобно записать в виде дроби, где z находится в числителе, а разность $(x - y)$ — в знаменателе.

Ответ: $\frac{z}{x-y}$

2.4 a) Утроенную сумму чисел $m$ и $n$: $3(m+n)$;
б) удвоенную разность чисел $p$ и $q$: $2(p-q)$;
в) произведение полусуммы чисел $x$ и $y$ и числа $z$: $\frac{x+y}{2}z$;
г) частное от деления числа $p$ на полуразность чисел $a$ и $b$: $\frac{p}{\frac{a-b}{2}}$ или $\frac{2p}{a-b}$.

Чтобы записать «утроенную сумму чисел m и n» в виде алгебраического выражения, сначала необходимо найти сумму этих чисел. Сумма чисел m и n записывается как $(m + n)$. Затем, согласно условию, эту сумму нужно утроить, то есть умножить на 3. Чтобы показать, что умножение применяется ко всей сумме, а не только к одному из слагаемых, обязательно использовать скобки.

Ответ: $3(m + n)$

Для записи «удвоенной разности чисел p и q» сначала находим разность этих чисел. Разность p и q записывается как $(p - q)$. Затем эту разность нужно удвоить, то есть умножить на 2. Использование скобок здесь также является ключевым, так как операция умножения должна применяться ко всему результату вычитания.

Ответ: $2(p - q)$

Выражение «произведение полусуммы чисел x и y и числа z» состоит из нескольких частей. Сначала находим «полусумму чисел x и y». Сумма этих чисел — это $(x + y)$, а полусумма — это сумма, разделенная на 2, что записывается в виде дроби $\frac{x + y}{2}$. Далее, нужно найти произведение этой полусуммы и числа z, то есть умножить полученную дробь на z.

Ответ: $\frac{x + y}{2} \cdot z$

В выражении «частное от деления числа p на полуразность чисел a и b» число p является делимым, а «полуразность чисел a и b» — делителем. Сначала определим делитель. Разность чисел a и b — это $(a - b)$. Соответственно, полуразность — это разность, разделенная на 2, то есть $\frac{a - b}{2}$. Теперь нужно разделить число p на полученный делитель. Это можно записать с помощью знака деления или в виде многоэтажной дроби. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь, поэтому выражение можно упростить: $p : \frac{a - b}{2} = p \cdot \frac{2}{a - b} = \frac{2p}{a - b}$.

Ответ: $p : \frac{a - b}{2}$

2.5 а) Квадрат суммы чисел a и b;

б) куб разности чисел x и y;

в) разность квадратов чисел t и w;

г) сумму кубов чисел c и d.

а) Чтобы записать "квадрат суммы чисел a и b" в виде математического выражения, нужно сначала найти сумму чисел a и b. Сумма записывается как $a + b$. Затем полученную сумму необходимо возвести в квадрат (во вторую степень). Для этого сумму заключают в скобки. Таким образом, выражение имеет вид $(a + b)^2$.
Ответ: $(a + b)^2$.

б) "Куб разности чисел x и y" записывается аналогично. Сначала находим разность чисел x и y, что равно $x - y$. Затем эту разность возводим в куб (в третью степень). Получаем выражение $(x - y)^3$.
Ответ: $(x - y)^3$.

в) "Разность квадратов чисел t и w" означает, что сначала нужно найти квадраты каждого числа, а затем найти их разность. Квадрат числа t — это $t^2$. Квадрат числа w — это $w^2$. Разность этих квадратов записывается как $t^2 - w^2$.
Ответ: $t^2 - w^2$.

г) "Сумма кубов чисел c и d" означает, что сначала нужно найти кубы каждого числа, а потом найти их сумму. Куб числа c — это $c^3$. Куб числа d — это $d^3$. Сумма этих кубов записывается как $c^3 + d^3$.
Ответ: $c^3 + d^3$.

2.6 а) Отношение суммы чисел $m$ и $n$ к их произведению; $\frac{m+n}{mn}$

б) отношение разности чисел $c$ и $d$ к удвоенной сумме этих чисел; $\frac{c-d}{2(c+d)}$

в) отношение суммы квадратов чисел $m$ и $n$ к их произведению; $\frac{m^2+n^2}{mn}$

г) отношение разности кубов чисел $p$ и $q$ к их удвоенной сумме. $\frac{p^3-q^3}{2(p+q)}$

а) Чтобы найти отношение суммы чисел $m$ и $n$ к их произведению, необходимо выполнить следующие действия. Сначала запишем сумму чисел $m$ и $n$: $m + n$. Затем запишем их произведение: $m \cdot n$ или просто $mn$. Отношение — это результат деления одного выражения на другое. В данном случае, мы делим сумму на произведение, что можно представить в виде дроби. Числителем дроби будет сумма $m + n$, а знаменателем — произведение $mn$. Таким образом, искомое выражение имеет вид $\frac{m+n}{mn}$.
Ответ: $\frac{m+n}{mn}$

б) Чтобы найти отношение разности чисел $c$ и $d$ к удвоенной сумме этих чисел, составим соответствующее алгебраическое выражение. Разность чисел $c$ и $d$ записывается как $c - d$. Сумма этих же чисел равна $c + d$. Удвоенная сумма означает, что сумму нужно умножить на 2, то есть $2(c+d)$. Теперь найдем отношение разности к удвоенной сумме, для чего разделим первое выражение на второе. В результате получится дробь, где в числителе будет разность $c - d$, а в знаменателе — удвоенная сумма $2(c+d)$.
Ответ: $\frac{c-d}{2(c+d)}$

в) Для нахождения отношения суммы квадратов чисел $m$ и $n$ к их произведению, выполним следующие шаги. Квадрат числа $m$ — это $m^2$, а квадрат числа $n$ — это $n^2$. Их сумма будет $m^2 + n^2$. Произведение чисел $m$ и $n$ равно $mn$. Отношение суммы квадратов к произведению представляет собой дробь. В числитель этой дроби мы помещаем сумму квадратов $m^2 + n^2$, а в знаменатель — их произведение $mn$.
Ответ: $\frac{m^2+n^2}{mn}$

г) Чтобы найти отношение разности кубов чисел $p$ и $q$ к их удвоенной сумме, необходимо составить математическое выражение. Куб числа $p$ записывается как $p^3$, а куб числа $q$ — как $q^3$. Разность кубов этих чисел будет $p^3 - q^3$. Сумма чисел $p$ и $q$ равна $p+q$. Удвоенная сумма — это $2(p+q)$. Отношение разности кубов к удвоенной сумме — это деление первого выражения на второе. Запишем это в виде дроби, где числителем является разность кубов $p^3 - q^3$, а знаменателем — удвоенная сумма $2(p+q)$.
Ответ: $\frac{p^3-q^3}{2(p+q)}$

Используя математические термины, прочитайте выражение:

2.7 a) $x + 2$;

б) $c - d$;

в) $8z$;

г) $\frac{p}{q}$.

а) Данное выражение $x + 2$ является алгебраической суммой. В математике числа, которые складываются, называются слагаемыми. Результат сложения называется суммой. Таким образом, $x$ — это первое слагаемое, а $2$ — второе слагаемое.
Ответ: Сумма числа $x$ и числа 2.

б) Выражение $c - d$ является разностью. В математике число, из которого вычитают, называется уменьшаемым ($c$), число, которое вычитают, — вычитаемым ($d$), а результат операции — разностью.
Ответ: Разность чисел $c$ и $d$.

в) Выражение $8z$ является произведением. В алгебре знак умножения между числом (коэффициентом) и переменной принято опускать. Числа, которые перемножаются, называются множителями ($8$ и $z$), а результат — произведением.
Ответ: Произведение числа 8 и числа $z$.

г) Выражение $\frac{p}{q}$ является частным. Черта дроби обозначает операцию деления. Число, которое делят, называется делимым или числителем ($p$), число, на которое делят, — делителем или знаменателем ($q$). Результат деления называется частным. Также данное выражение можно назвать отношением числа $p$ к числу $q$.
Ответ: Частное чисел $p$ и $q$.

2.8 a) $a^2 + b^2;$

б) $x^2 - y^2;$

В) $z^3 + t^3;$

Г) $m^3 - n^3.$

а) Выражение $a^2 + b^2$ представляет собой сумму квадратов. В отличие от разности квадратов, для суммы квадратов не существует формулы разложения на множители с действительными коэффициентами. Таким образом, этот многочлен является простым (неприводимым) над полем вещественных чисел.
Ответ: не раскладывается на множители (в действительных числах).

б) Выражение $x^2 - y^2$ является разностью квадратов. Для разложения этого выражения на множители применяется формула разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
В данном случае $A = x$ и $B = y$. Подставляем эти значения в формулу:
$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Ответ: $(x - y)(x + y)$.

в) Выражение $z^3 + t^3$ является суммой кубов. Для его разложения на множители используется формула суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
В данном случае $A = z$ и $B = t$. Подставляем эти значения в формулу:
$z^3 + t^3 = (z + t)(z^2 - zt + t^2)$.
Ответ: $(z + t)(z^2 - zt + t^2)$.

г) Выражение $m^3 - n^3$ является разностью кубов. Для его разложения на множители используется формула разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
В данном случае $A = m$ и $B = n$. Подставляем эти значения в формулу:
$m^3 - n^3 = (m - n)(m^2 + mn + n^2)$.
Ответ: $(m - n)(m^2 + mn + n^2)$.

2.9 а) $(s+p)^2$;

б) $(u-v)^2$;

в) $(p+q)^3$;

г) $(f-q)^3$.

а) Для того чтобы раскрыть скобки в выражении $(s + p)^2$, необходимо использовать формулу сокращенного умножения, известную как "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае, переменная $a$ соответствует $s$, а переменная $b$ соответствует $p$.

Применим формулу к нашему выражению:

$(s+p)^2 = s^2 + 2 \cdot s \cdot p + p^2 = s^2 + 2sp + p^2$.

Ответ: $s^2 + 2sp + p^2$.

б) Для выражения $(u - v)^2$ применяется формула "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a=u$ и $b=v$.

Подставим эти значения в формулу:

$(u-v)^2 = u^2 - 2 \cdot u \cdot v + v^2 = u^2 - 2uv + v^2$.

Ответ: $u^2 - 2uv + v^2$.

в) В выражении $(p + q)^3$ используется формула "куб суммы": $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

В нашем примере $a=p$ и $b=q$.

Подставляем значения в формулу и выполняем преобразование:

$(p+q)^3 = p^3 + 3 \cdot p^2 \cdot q + 3 \cdot p \cdot q^2 + q^3 = p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$.

Ответ: $p^3 + 3p^2q + 3pq^2 + q^3$.

г) Для раскрытия скобок в выражении $(f - q)^3$ воспользуемся формулой "куб разности": $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a=f$ и $b=q$.

Подставим наши переменные в формулу:

$(f-q)^3 = f^3 - 3 \cdot f^2 \cdot q + 3 \cdot f \cdot q^2 - q^3 = f^3 - 3f^2q + 3fq^2 - q^3$.

Ответ: $f^3 - 3f^2q + 3fq^2 - q^3$.

2.10 а) $\frac{x+y}{2}$;

б) $\frac{a-b}{2}$;

в) $\frac{xy}{2(x-y)}$;

г) $\frac{x+y}{xy}$.

а) Данное выражение $\frac{x+y}{2}$ является целым, так как оно не содержит операции деления на переменные. Знаменатель дроби равен 2, что является константой, не равной нулю. Поэтому выражение определено (имеет смысл) при любых значениях переменных $x$ и $y$.

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях переменных $x$ и $y$.

б) Аналогично предыдущему случаю, выражение $\frac{a-b}{2}$ является целым. Знаменатель — это константа 2, которая не равна нулю. Следовательно, никаких ограничений на значения переменных $a$ и $b$ не накладывается.

Ответ: выражение имеет смысл при любых значениях переменных $a$ и $b$.

в) Выражение $\frac{xy}{2(x-y)}$ является дробно-рациональным, так как содержит переменную в знаменателе. Такое выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. Найдем условие, при котором знаменатель не обращается в ноль. Условие допустимых значений: $2(x-y) \neq 0$. Разделив обе части на 2, получим $x-y \neq 0$, что равносильно условию $x \neq y$.

Ответ: выражение имеет смысл при всех значениях переменных, для которых $x \neq y$.

г) Выражение $\frac{x+y}{xy}$ является дробно-рациональным. Оно определено при всех значениях переменных, для которых знаменатель не равен нулю. Условие допустимых значений: $xy \neq 0$. Произведение двух множителей не равно нулю тогда и только тогда, когда каждый из множителей не равен нулю. Таким образом, должны выполняться два условия одновременно: $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Ответ: выражение имеет смысл при $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

2.11 Запишите утверждение на математическом языке:

а) от перестановки мест слагаемых сумма не изменится; $a + b = b + a$

б) от перестановки мест множителей произведение не изменится; $a \cdot b = b \cdot a$

в) чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме — второе слагаемое; $a + (b + c) = (a + b) + c$

г) чтобы к числу прибавить разность двух чисел, можно сначала прибавить к нему уменьшаемое, а затем из полученной суммы вычесть вычитаемое. $a + (b - c) = (a + b) - c$

а) Это утверждение описывает переместительный (коммутативный) закон сложения. Если обозначить два произвольных числа (слагаемые) как $a$ и $b$, то их сумма запишется как $a + b$. Если поменять их местами, то сумма станет $b + a$. Утверждение о том, что сумма не изменится, на математическом языке означает равенство этих двух выражений.

Ответ: $a + b = b + a$

б) Это утверждение описывает переместительный (коммутативный) закон умножения. Если обозначить два произвольных числа (множители) как $a$ и $b$, то их произведение запишется как $a \cdot b$. Если поменять их местами, то произведение станет $b \cdot a$. Утверждение о том, что произведение не изменится, означает равенство этих двух выражений.

Ответ: $a \cdot b = b \cdot a$

в) Это утверждение описывает сочетательный (ассоциативный) закон сложения. Обозначим "число" переменной $a$, а "сумму двух чисел" как $(b + c)$, где $b$ — первое слагаемое, а $c$ — второе. Тогда операция "к числу прибавить сумму двух чисел" записывается как $a + (b + c)$. Правая часть утверждения "сначала прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме — второе слагаемое" записывается как $(a + b) + c$. Равенство этих выражений и является математической записью данного утверждения.

Ответ: $a + (b + c) = (a + b) + c$

г) Это правило сложения разности с числом. Обозначим "число" переменной $a$. "Разность двух чисел" запишем как $b - c$, где $b$ — это "уменьшаемое", а $c$ — "вычитаемое". Тогда операция "к числу прибавить разность двух чисел" записывается как $a + (b - c)$. Правая часть утверждения "сначала прибавить к нему уменьшаемое, а затем из полученной суммы вычесть вычитаемое" записывается как $(a + b) - c$. Математическая запись данного правила — это равенство двух этих выражений.

Ответ: $a + (b - c) = (a + b) - c$