Страница 8, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1.25 a) $3(2x + y) - 4(2y - x)$, если $x = 0,2$, $y = -\frac{2}{5}$;

б) $7(\frac{2}{7}x - \frac{3}{14}y) - 4(\frac{7}{2}x - \frac{3}{8}y)$, если $x = \frac{5}{6}$, $y = 1$;

в) $2(4a - 0,5b) - (3a - 7b)$, если $a = -0,4$, $b = \frac{1}{3}$;

г) $-6(\frac{2}{3}a - \frac{1}{6}b) + 4(0,75a - \frac{1}{12}b)$, если $a = -1$, $b = \frac{3}{2}$.

а) Сначала упростим выражение $3(2x + y) - 4(2y - x)$.

Раскроем скобки: $3 \cdot 2x + 3 \cdot y - 4 \cdot 2y - 4 \cdot (-x) = 6x + 3y - 8y + 4x$.

Приведем подобные слагаемые: $(6x + 4x) + (3y - 8y) = 10x - 5y$.

Теперь подставим значения $x = 0,2$ и $y = -\frac{2}{5}$. Для удобства представим $0,2$ в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Вычисляем: $10 \cdot \frac{1}{5} - 5 \cdot (-\frac{2}{5}) = \frac{10}{5} - (-\frac{10}{5}) = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$.

Ответ: 4

б) Упростим выражение $7(\frac{2}{7}x - \frac{3}{14}y) - 4(\frac{7}{2}x - \frac{3}{8}y)$.

Раскроем скобки: $7 \cdot \frac{2}{7}x - 7 \cdot \frac{3}{14}y - 4 \cdot \frac{7}{2}x - 4 \cdot (-\frac{3}{8}y) = 2x - \frac{21}{14}y - \frac{28}{2}x + \frac{12}{8}y$.

Сократим дроби: $2x - \frac{3}{2}y - 14x + \frac{3}{2}y$.

Приведем подобные слагаемые: $(2x - 14x) + (-\frac{3}{2}y + \frac{3}{2}y) = -12x + 0 = -12x$.

Теперь подставим значение $x = \frac{5}{6}$ (значение $y$ не понадобилось).

Вычисляем: $-12 \cdot \frac{5}{6} = -\frac{12 \cdot 5}{6} = -2 \cdot 5 = -10$.

Ответ: -10

в) Упростим выражение $2(4a - 0,5b) - (3a - 7b)$.

Раскроем скобки: $2 \cdot 4a - 2 \cdot 0,5b - 3a + 7b = 8a - b - 3a + 7b$.

Приведем подобные слагаемые: $(8a - 3a) + (-b + 7b) = 5a + 6b$.

Теперь подставим значения $a = -0,4$ и $b = \frac{1}{3}$. Для удобства представим $-0,4$ в виде дроби: $-0,4 = -\frac{4}{10} = -\frac{2}{5}$.

Вычисляем: $5 \cdot (-\frac{2}{5}) + 6 \cdot \frac{1}{3} = -\frac{10}{5} + \frac{6}{3} = -2 + 2 = 0$.

Ответ: 0

г) Упростим выражение $-6(\frac{2}{3}a - \frac{1}{6}b) + 4(0,75a - \frac{1}{12}b)$.

Сначала представим десятичную дробь $0,75$ в виде обыкновенной: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.

Выражение примет вид: $-6(\frac{2}{3}a - \frac{1}{6}b) + 4(\frac{3}{4}a - \frac{1}{12}b)$.

Раскроем скобки: $-6 \cdot \frac{2}{3}a - 6 \cdot (-\frac{1}{6}b) + 4 \cdot \frac{3}{4}a + 4 \cdot (-\frac{1}{12}b) = -\frac{12}{3}a + \frac{6}{6}b + \frac{12}{4}a - \frac{4}{12}b$.

Сократим дроби: $-4a + b + 3a - \frac{1}{3}b$.

Приведем подобные слагаемые: $(-4a + 3a) + (b - \frac{1}{3}b) = -a + \frac{2}{3}b$.

Теперь подставим значения $a = -1$ и $b = \frac{3}{2}$.

Вычисляем: $-(-1) + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1 + \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

1.26 Пусть $a$ см и $b$ см — длины сторон прямоугольника, $P$ см — его периметр, $S$ см$^2$ — площадь. Заполните таблицу:

a: 1, 2, 4, 1,8, 1,2, 0,8

b: 1, 3,5, —, 2, $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{9}$

P: —, —, 14, —, 3,6, $4\frac{4}{9}$

S: —, —, 12, $\frac{7}{3}$, —, 0,48

Для заполнения таблицы воспользуемся формулами периметра $P$ и площади $S$ прямоугольника со сторонами $a$ и $b$:

$P = 2 \cdot (a + b)$

$S = a \cdot b$

Из этих формул можно выразить неизвестные стороны:

$a = S / b$ или $a = (P / 2) - b$

$b = S / a$ или $b = (P / 2) - a$

Рассчитаем недостающие значения для каждого столбца.

Столбец 1

Дано: $a = 1$ см, $b = 1$ см.

Находим периметр: $P = 2 \cdot (1 + 1) = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Находим площадь: $S = 1 \cdot 1 = 1$ см$^2$.

Ответ: $P = 4$, $S = 1$.

Столбец 2

Дано: $a = 2$ см, $b = 3,5$ см.

Находим периметр: $P = 2 \cdot (2 + 3,5) = 2 \cdot 5,5 = 11$ см.

Находим площадь: $S = 2 \cdot 3,5 = 7$ см$^2$.

Ответ: $P = 11$, $S = 7$.

Столбец 3

Дано: $a = 4$ см, $S = 12$ см$^2$.

Находим сторону $b$: $b = S / a = 12 / 4 = 3$ см.

Проверяем периметр: $P = 2 \cdot (4 + 3) = 2 \cdot 7 = 14$ см. Значение совпадает с табличным.

Ответ: $b = 3$.

Столбец 4

Дано: $b = 2$ см, $P = 14$ см.

Находим сторону $a$: $a = (P / 2) - b = (14 / 2) - 2 = 7 - 2 = 5$ см.

Находим площадь: $S = a \cdot b = 5 \cdot 2 = 10$ см$^2$.

Ответ: $a = 5$, $S = 10$.

Столбец 5

Дано: $b = \frac{1}{3}$ см, $S = \frac{7}{3}$ см$^2$.

Находим сторону $a$: $a = S / b = \frac{7}{3} \div \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \cdot 3 = 7$ см.

Находим периметр: $P = 2 \cdot (7 + \frac{1}{3}) = 2 \cdot \frac{22}{3} = \frac{44}{3} = 14\frac{2}{3}$ см.

Ответ: $a = 7$, $P = 14\frac{2}{3}$.

Столбец 6

Дано: $a = 1,2$ см, $P = 3,6$ см.

Находим сторону $b$: $b = (P / 2) - a = (3,6 / 2) - 1,2 = 1,8 - 1,2 = 0,6$ см.

Находим площадь: $S = a \cdot b = 1,2 \cdot 0,6 = 0,72$ см$^2$.

Ответ: $b = 0,6$, $S = 0,72$.

Столбец 7

Дано: $a = 0,8$ см, $S = 0,48$ см$^2$.

Находим сторону $b$: $b = S / a = 0,48 / 0,8 = 0,6$ см.

Находим периметр: $P = 2 \cdot (0,8 + 0,6) = 2 \cdot 1,4 = 2,8$ см.

Ответ: $b = 0,6$, $P = 2,8$.

Столбец 8

Дано: $b = \frac{2}{9}$ см, $P = 4\frac{4}{9}$ см.

Находим сторону $a$: $a = (P / 2) - b = (4\frac{4}{9} \div 2) - \frac{2}{9} = (\frac{40}{9} \cdot \frac{1}{2}) - \frac{2}{9} = \frac{20}{9} - \frac{2}{9} = \frac{18}{9} = 2$ см.

Находим площадь: $S = a \cdot b = 2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{9}$ см$^2$.

Ответ: $a = 2$, $S = \frac{4}{9}$.

1.27 Известно, что $a + b = 10$, $c = 7$. Найдите:

а) $a + b + 2c$;

б) $\frac{a + b}{2} - c$;

в) $\frac{a + b + c}{2}$;

г) $\frac{7(a + b) + 2c}{3c - 1}$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $a + b + 2c$, мы можем сгруппировать слагаемые $(a + b)$ и подставить известные значения. По условию $a + b = 10$ и $c = 7$.
$(a + b) + 2c = 10 + 2 \cdot 7 = 10 + 14 = 24$.
Ответ: 24.

б) Чтобы найти значение выражения $\frac{a + b}{2} - c$, подставим в него заданные значения $a + b = 10$ и $c = 7$.
$\frac{a + b}{2} - c = \frac{10}{2} - 7 = 5 - 7 = -2$.
Ответ: -2.

в) Для вычисления значения выражения $\frac{a + b + c}{2}$ подставим известные значения $a + b = 10$ и $c = 7$.
$\frac{(a + b) + c}{2} = \frac{10 + 7}{2} = \frac{17}{2} = 8,5$.
Ответ: 8,5.

г) Чтобы найти значение выражения $\frac{7(a + b) + 2c}{3c - 1}$, подставим известные значения $a + b = 10$ и $c = 7$.
Сначала вычислим числитель дроби: $7(a + b) + 2c = 7 \cdot 10 + 2 \cdot 7 = 70 + 14 = 84$.
Затем вычислим знаменатель дроби: $3c - 1 = 3 \cdot 7 - 1 = 21 - 1 = 20$.
Теперь найдем значение всей дроби: $\frac{84}{20} = \frac{21}{5} = 4,2$.
Ответ: 4,2.

1.28 a) Если $a - b = 12$, то чему равно $b - a$?

б) Если $\frac{b}{a} = 3$, то чему равно $\frac{a}{b}$?

в) Если $c - d = 0$, то чему равно $d - c$?

г) Если $\frac{c}{d} = 0,3$, то чему равно $\frac{d}{c}$?

а) Нам дано, что $a - b = 12$. Чтобы найти значение выражения $b - a$, нужно заметить, что это выражение является противоположным исходному. Вынесем $-1$ за скобки в выражении $b - a$:
$b - a = -(a - b)$
Так как мы знаем, что $a - b = 12$, подставим это значение в полученное равенство:
$b - a = -(12) = -12$

Ответ: $-12$.

б) Нам дано, что $\frac{b}{a} = 3$. Выражение $\frac{a}{b}$ является обратным по отношению к выражению $\frac{b}{a}$. Чтобы найти его значение, нужно найти число, обратное 3.
Если $X = 3$, то обратное ему число равно $\frac{1}{X} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, если $\frac{b}{a} = 3$, то $\frac{a}{b} = \frac{1}{3}$.
Это можно показать формально. Из $\frac{b}{a} = 3$ следует, что $b = 3a$ (при условии $a \ne 0$). Подставим это в искомое выражение:
$\frac{a}{b} = \frac{a}{3a} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в) Нам дано, что $c - d = 0$. Чтобы найти значение $d - c$, мы можем, как и в пункте а), вынести $-1$ за скобки:
$d - c = -(c - d)$
Подставляем известное значение $c - d = 0$:
$d - c = -(0) = 0$
Также можно было из $c - d = 0$ сделать вывод, что $c = d$. Тогда $d - c = d - d = 0$.

Ответ: $0$.

г) Нам дано, что $\frac{c}{d} = 0.3$. Как и в пункте б), мы ищем обратное выражение $\frac{d}{c}$. Для этого нужно найти число, обратное $0.3$.
Сначала представим десятичную дробь $0.3$ в виде обыкновенной: $0.3 = \frac{3}{10}$.
Теперь найдем обратное число для $\frac{3}{10}$. Для этого нужно "перевернуть" дробь:
$\frac{d}{c} = \frac{1}{\frac{c}{d}} = \frac{1}{0.3} = \frac{1}{\frac{3}{10}} = \frac{10}{3}$
Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа:
$\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{10}{3}$ (или $3\frac{1}{3}$).

1.29 Сравните значение выражений $a^2 - b^2$ и $(a - b)(a + b)$, если:

а) $a = 17, b = 13;$

б) $a = -15, b = 12;$

в) $a = -13, b = -5;$

г) $a = 5, b = -4.$

Для сравнения значений выражений $a^2 - b^2$ и $(a-b)(a+b)$ воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как "разность квадратов":

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Это тождество означает, что при любых значениях переменных $a$ и $b$ значения данных выражений всегда будут равны. Чтобы убедиться в этом, проведем вычисления для каждого из предложенных случаев.

а) если $a = 17$, $b = 13$

1. Вычислим значение первого выражения:

$a^2 - b^2 = 17^2 - 13^2 = 289 - 169 = 120$

2. Вычислим значение второго выражения:

$(a - b)(a + b) = (17 - 13)(17 + 13) = 4 \cdot 30 = 120$

Так как $120 = 120$, значения выражений равны.

Ответ: значения выражений равны.

б) если $a = -15$, $b = 12$

1. Вычислим значение первого выражения:

$a^2 - b^2 = (-15)^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$

2. Вычислим значение второго выражения:

$(a - b)(a + b) = (-15 - 12)(-15 + 12) = (-27) \cdot (-3) = 81$

Так как $81 = 81$, значения выражений равны.

Ответ: значения выражений равны.

в) если $a = -13$, $b = -5$

1. Вычислим значение первого выражения:

$a^2 - b^2 = (-13)^2 - (-5)^2 = 169 - 25 = 144$

2. Вычислим значение второго выражения:

$(a - b)(a + b) = (-13 - (-5))(-13 + (-5)) = (-13 + 5)(-13 - 5) = (-8) \cdot (-18) = 144$

Так как $144 = 144$, значения выражений равны.

Ответ: значения выражений равны.

г) если $a = 5$, $b = -4$

1. Вычислим значение первого выражения:

$a^2 - b^2 = 5^2 - (-4)^2 = 25 - 16 = 9$

2. Вычислим значение второго выражения:

$(a - b)(a + b) = (5 - (-4))(5 + (-4)) = (5 + 4)(5 - 4) = 9 \cdot 1 = 9$

Так как $9 = 9$, значения выражений равны.

Ответ: значения выражений равны.

1.30 Найдите значение выражений $ \frac{a^2 - b^2}{a - b} $ и $ a + b $, если:

а) $ a = 1, b = 2; $

б) $ a = 3, b = 1; $

в) $ a = 1,4, b = 1; $

г) $ a = -3, b = 1. $

Для решения этой задачи необходимо найти значения двух выражений: $\frac{a^2 - b^2}{a - b}$ и $a + b$ для каждого из заданных случаев.

Сначала упростим первое выражение. Числитель $a^2 - b^2$ является разностью квадратов и может быть разложен на множители по формуле: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Подставив это в исходную дробь, получаем: $\frac{a^2 - b^2}{a - b} = \frac{(a - b)(a + b)}{a - b}$.

Поскольку во всех предоставленных случаях $a \neq b$, знаменатель $a - b$ не равен нулю, и мы можем сократить дробь на общий множитель $(a - b)$. В результате получаем: $\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b$.

Это означает, что для каждой пары значений $a$ и $b$ значения обоих выражений будут одинаковы. Теперь вычислим их для каждого пункта.

а) При $a = 1, b = 2$:

Поскольку $\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b$, достаточно вычислить сумму $a + b$:
$a + b = 1 + 2 = 3$.
Оба выражения равны 3.
Ответ: 3 и 3.

б) При $a = 3, b = 1$:

Вычисляем значение $a + b$:
$a + b = 3 + 1 = 4$.
Оба выражения равны 4.
Ответ: 4 и 4.

в) При $a = 1,4, b = 1$:

Вычисляем значение $a + b$:
$a + b = 1,4 + 1 = 2,4$.
Оба выражения равны 2,4.
Ответ: 2,4 и 2,4.

г) При $a = -3, b = 1$:

Вычисляем значение $a + b$:
$a + b = -3 + 1 = -2$.
Оба выражения равны -2.
Ответ: -2 и -2.